专题09 解密二项式系数和及二项式展开项的系数和（解析版）

专题9解密二项式系数和及二项式展开项的系数和一、单选题1．（2020·辽宁省高三期末）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【解析】由题意得x3的系数为，故选A．2．（2020·湖北省高三）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小项的系数为（）A．-126 B．-70 C．-56 D．-28【答案】C【解析】只有第5项的二项式系数最大，，的展开式的通项为，展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的展开式系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的展开式系数互为相反数.而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式第4项和第6项的系数相等且最小，系数为.故选：C3．（2020·湖北省华中师大一附中高三月考）设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则()A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】为正整数，由展开式的二项式系数的最大值为，以及二项式系数的性质可得，同理，由展开式的二项式系数的最大值为，可得．再由，可得，即，即，即，解得，故选：．4．（2020·山东省高三月考）若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．210 B．180 C．160 D．175【答案】B【解析】展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴展开式中共有11项，n＝10；∴展开式的通项公式为令，得，常数项是，故选B．5．（2020·四川省石室中学高三月考）若多项式，则（）A．9 B．10 C．-9 D．-10【答案】D【解析】，，根据已知条件得的系数为0，的系数为1故选D.6．（2020·北京高三）的展开式中，的系数是()A．160 B．80 C．50 D．10【答案】B【解析】依题的展开式的通项为:，当时，，此时，所以的展开式中，的系数是.故选：B7．（2020·河南省高三月考）展开式中的系数为（）A．10 B．24 C．32 D．56【答案】D【解析】∵，∴展开式中含的项为，展开式中含的项，故的系数为.故选：D.8．（2020·广东省执信中学高三月考）若的展开式中常数项等于，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵的展开式中的通项公式为，令得，可得常数项为，得，故选：C．9．（2020·深圳市南山区华侨城中学高三月考）已知展开式中的系数小于90，则的取值范围为（）．A． B．C． D．【答案】B【解析】因为展开式为要想得到展开式中的项，只能是，和当时，二项式的展开通项要想得到项，只能，此时的系数为当时，二项式的展开通项要想得到项，只能，此时的系数为当时，二项式的展开通项要想得到项，只能，此时的系数为所以展开式中的系数为所以，解得,故选B.二、填空题10．（2020·河南省高三月考）在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.【答案】112【解析】的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，，通项公式为，令，求得，可得二项展开式常数项等于，故答案为112．11．（2020·陕西省高三）从的展开式各项中随机选两项,则这两项均是有理项的概率为_____.【答案】【解析】的展开式的通项公式为Tr+1=•(﹣1)r•，r=0，1，2，3，4，5，6，7，8.故当r=0，3，6时，该项为有理项，故有理项共有3项，展开式共有9项.各项中随机选两项，则这两项均是有理项的概率为，故答案为：.12．（2020·辽宁省高三月考）在的展开式中，含项的系数是_____，各项系数和是_____．【答案】0【解析】在的展开式中，，当时，含项的系数是：，在的展开式中，各项系数和是．故答案为：．13．（2020·广东省深圳外国语学校高三月考）的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）【答案】180【解析】的展开式中的通项公式，而分别令，，解得，或．∴的展开式中的常数项．故答案为：180．14．（2020·安徽省六安一中高三月考）多项式的展开式中，含项的系数为______.【答案】420【解析】多项式的通项为由题意可知，且若求项的系数，则需求二项式中含项二项式的通项为：由题意可知，且令即若使得且，且成立则，则所求系数为.故答案为：15．（2020·山西省高三月考）若在的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中有理项的个数为__________.【答案】4【解析】因为的展开式中二项式系数的和为128，所以，即，所以的展开式的通项为，当时，为自然数，所以有理项的个数为4.故答案为：416．（2020·河南省南阳中学高三月考）已知展开式的二项式系数的