初中数学三角形中的角平分线中线高线和中垂线

一.教学内容：三角形中的角平分线、中线、高线和中垂线

二.教学内容1.三角形的角平分线和中线2.三角形的高线和中垂线3.角平分线性质定理、中垂线性质定理

三.教学目标和要求1.理解三角形角平分线、中线、高线和中垂线的概念，并能画出相应的线。2.掌握三角形角平分线、中线、高线及中垂线的一些特征，并能在解题中灵活应用。

四.教学重点、难点1.重点：角平分线性质定理及中垂线性质定理的运用2.难点：三角形中线在面积方面的应用，角平分线性质定理、中垂线性质定理的运用是本周难点。

五.知识要点1.角平分线性质定理2.中垂线性质定理3.三角形中的三条角平分线4.三角形中的三条中线5.三角形中的三条高线6.三角形中三边上的中垂线

【典型例题】例1.如图，△ABC的两条角平分线AD，CE相交于P，PM⊥BC于M，PN⊥AB于N，则PN＝PM，请说明理由。解：过P作PF⊥AC，垂足为F∵AD平分∠BAC，PN⊥AB，PF⊥AC∴PN＝PF（为什么）∵CE平分∠ACB，PM⊥BC，PF⊥AC∴PM＝PF∴PM＝PN（为什么）

例2.如图，BP、CP分别为△ABC的两个外角的平分线，则点P到△ABC三边的距离相等吗？若相等，请说明理由。解析：略

例3.已知△ABC，要把它分成面积相等的6块，且只能画三条线，应怎样分？并说明分法的正确性。解：分法：分别画△ABC的三条中线AD、BE、CF，交于P点，所分得的6块面积相等。理由：∵AD为中线∴BD＝CD∴S△PBD＝S△PCD设S△PBD＝S△PCD＝a同理：可设S△PCE＝S△PEA＝b；S△PAF＝S△PBF＝c∵AD为△ABC的中线∴S△ABD＝S△ACD即a+2c＝a+2b∴c＝b同理可得a＝b∴a＝b＝c∴△ABC三条中线分得的6块三角形面积相等。

例4.△ABC的三条中线交于P点，点P把每条中线分成的两条线段的长度之比为多少?请说明理由。解：先说明6个小三角形面积相等（方法同例3）下接：∴S△ABP＝2S△DBP∵高相同∴PA＝2PD同理：CP＝2PFBP＝2PE∴点P把每条中线分成的两条线段的长度之比为2：1

例5.如图△ABC中，∠A＝，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2，依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5，则∠A5的度数为多少?再画下去……，∠An的大小呢?解：∵∠ACD为△ABC的外角∴∠ACD＝∠ABC+∠A即∠ACD－∠ABC＝∠A∵∠A1CD为△A1BC的外角∴∠A1CD－∠A1BC＝∠A1∵BA1，A1C分别平分∠ABC，∠ACD∴∠A1CD＝∠ACD，∠A1BC＝∠ABC∴（∠ACD－∠ABC）＝∠A1即∠A1＝∠A同理：∠A2＝∠A1＝∠A∠A3＝∠A2＝∠A∠A4＝∠A3＝∠A∠A5＝∠A4＝∠A∠A5＝∠A＝∠An＝∠A＝

例6.如图，已知AC，BD相交于点O，BE，CE分别平分∠ABD，∠ACD，且交于E，则∠E＝（∠A+∠D），请说明理由。解：∵∠5为△CDN与△BEN的外角∴∠5＝∠4+∠D＝∠2+∠E即：∠4+∠D＝∠2+∠E…（1）∵∠6为△AMB和△CME的外角∴∠6＝∠1+∠A＝∠3+∠E即∠1+∠A＝∠3+∠E…（2）（1）式+（2）式得∠1+∠4+∠A+∠D＝∠2+∠3+2∠E∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴∠A+∠D＝2∠E∴∠E＝（∠A+∠D）

【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、填空题1.RtΔABC中，∠C＝90°，其中∠A，∠B的平分线的交点为E，则∠AEB＝度。2.如图，D为△ABC的BC边上一点，BD：DC＝3：2，△ABC的面积为45，则△ABD的面积为。3.如图，△ABC中,BC＝16cm,AB,AC边上的中垂线分别交BC于E,F,则△AEF的周长是cm．4.如图，△ABC三条中线AD、BE、CF交于点O，S△ABC＝12,则S△ABD＝，S△AOF＝。5.一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形三边上的高线之比为。

二、选择题1.下列叙述正确的个数是（）⑴三角形的中线，角平分线都是射线；⑵三角形的中线，角平分线都在三角形内部；⑶三角形的中线就是一边中点的线段；⑷三角形三条角平分线交于一点；A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.如图，△ABC中，D，E分别为BC边上的两点，且BD＝DE＝EC，则图中面积相同的三角形有几对（）A.2对 B.3对 C.4对 D.5对3.直角三角形的两锐角的角平分线的夹角的度数是（）A.45° B.135° C.45°或135° D.以上都不对4.已知△ABC的外角∠CBE，∠BCF的角平分线BP，CP交于P点，则∠BPC是（）A.钝角 B.锐角 C.直角 D.无法确定5.如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CD平分∠ACB交AB于D，∠ADC＝150°，则∠B为（）A.120° B.130° C.140° D.150°6.如图，S△ABC＝1，若S△BDE＝S△DEC＝S△ACE，则S△ADE＝（）A.1/5 B.1/6 C.1/7 D.1/8

三、解答题1.在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，已知四边形ABCD的面积为1，求四边形DEBF的面积。2.∠A＝70°求∠ABD，∠BFC的度数。3.如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，请说明AD+DE＝BE成立的理由。4.如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于点G，若∠BDC＝140°,∠BGC＝，∠A的度数是多少？

【试题答案】一、1.135 2.27 3.16 4.6；2 5.20：15：12

二、1.C 2.C 3.C 4.B 5.C 6.B

三、1.提示：连接BD2.；3.解：∵∠C＝90°，DE⊥ABBD平分∠CBA∴DC＝DE（角平分线性质定