2013北京春季普通高中会考数学(含解析)

2013年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷第一部分选择题（每小题3分，共60分）一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．如果集合，，那么集合等于（）．A．B．C．D．2．不等式的解集为（）．A．B．C．D．或3．已知向量，，那么等于（）．A．B．C．D．4．如果直线与直线平行，那么的值为（）．A．B．C．D．5．如果，那么的最小值是（）．A．B．C．D．6．要得到函数的图象，只要将函数的图象（）．A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7．在等差数列中，已知，，那么等于（）．A．B．C．D．8．在函数，，，中，奇函数是（）．A．B．C．D．9．的值为（）．A．B．C．D．10．函数的最小正周期是（）．A．B．C．D．11．已知函数在区间上最大值是，那么等于（）．A．B．C．D．12．在中，，，，则角等于（）．A．B．或C．D．或13．口袋中装有个大小、材质完全相同的小球，球的颜色分别是红色、黄色、蓝色和白色，从口袋中随机摸出个小球，摸到红色小球和白色小球的概率是（）．A．B．C．D．14．为了解决某学校门前公路的交通状况，从行驶过的汽车中随机抽取辆进行统计分析，绘制出关于它们车速的频率分布直方图（如图所示），那么车速在区间的汽车大约有（）．A．B．C．D．15．已知平面、，直线、，下面的四个命题①；②；③；④中，所有正确命题的序号是（）．A．①②B．②③C．①④D．②④16．当，满足条件时，目标函数的最大值是（）．A．B．C．D．17．针对年全面建成小康社会的宏伟目标，十八大报告中首次提出“实现国内生产总值和城乡居民人均收入比年翻一番”的新指标．按照这一指标，城乡居民人均收入在这十年间平均增长率应满足的关系式是（）．A．B．C．D．18．一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（）．A．B．C．D．19．将长度为米的绳任意剪成两段，其中一段的长度小于米的概率是（）．A．B．C．D．20．记时钟的时针、分针分别为、（为两针的旋转中心）．从点整开始计时，经过分钟，的值第一次达到最小时，那么的值是（）．A．B．C．D．第二部分非选择题（共40分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21．计算的结果为．22．已知圆，那么圆心到坐标原点的距离是．23．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的的值为．24．已知数列是公差为的等差数列，且各项均为正整数，如果，，那么的最小值为．三、解答题（共4个小题，共28分）25．（本小题满分7分）如图，在正方体中，是棱的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）证明：．26．（本小题满分7分）在平面直角坐标系中，角，，的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积．27．（本小题满分7分）已知圆，直线过点且与圆相交于，两点．（Ⅰ）如果直线的斜率为，且，求的值；（Ⅱ）设直线与轴交于点，如果，求直线的斜率．28．（本小题满分7分）已知函数满足：①的一个零点为；②的最大值为；③对任意实数都有．（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）设函数是定义域为的单调增函数，且．当时，证明：．2013年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷参考答案一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．【答案】C．【解析】由于集合，，因此，故选C．2．【答案】C．【解析】令，解得或，因此不等式的解集为，故选C．3．【答案】D．【解析】根据向量的坐标运算，故选D．4．【答案】A．【解析】根据两条直线平行的条件可知，，得，故选A．5．【答案】B．【解析】根据题意，求的最小值可应用均值不等式，则，当且仅当，即时等号成立，故选B．6．【答案】A．【解析】根据图象平移左加右减的原理，要得到函数的图象，只要将函数的图象向左平移个单位，故选A．7．【答案】A．【解析】由等差数列前和的计算公式，知，解得，故选A．8．【答案】B．【解析】对于A，定义域为，，是偶函数；对于B，定义域为，，是奇函数；对于C，定义域，，因此是非奇非偶函数；对于D，定义域，不关于原点对称，因此是非奇非偶函数，故选B．9．【答案】D．【解析】根据诱导公式，，故选D．10．【答案】B．【解析】根据辅助角公式，，最小正周期，故选B．11．【答案】C．【解析】①当时，函数是减函数，那么当时，取得最大值，不符合题意；②当时，函数是增函数，那么当时，取得最大值，即，故选C．12．【答案】A．【解析】根据正弦定理：，可得，即，那么或，因为，所以，所以，故选A．13．【答案】A．【解析】根据题意符合古典概型的条件，基本事件空间{（红色，黄色），（红色，蓝色），（红色，白色），（黄色，蓝色），（黄色，白色），（蓝色，白色）}基本事件总数为，摸到红色小球和白色小球的事件为{（红色，白色）}，事件数为，摸到红色小球和白色小球的概率是，故选A．14．【答案】D．【解析】根据频率分布直方图可知，车速在区间的概率为，车辆数为：，故选D．15．【答案】A．【解析】若两条直线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面①正确；若两条都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，②正确；若两个面垂直，两个面内的直线不一定互相垂直，③错误；若两个平面平行，两个面内的直线平行或异面，④错误，故选A．16．【答案】C．【解析】根据题意，不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当过点时，取得最大值，故选C．17．【答案】C．【解析】根据题意可知，设原收入为，则十年后为，因此，即，故选C．18．【答案】B．【解析】由三视图可知该空间几何体的直观图为横着放的直三棱柱，，故选B．19．【答案】B．【解析】根据题意，符合几何概型的条件，因此将概率转化为长度的比，那么长度小于米的概率是，故选B．20．【答案】B．【解析】因为，所以要使的值第一次达到最小时，对应的夹角，因为时针一分钟转的角度为：，分针一分钟旋转的角度为：，经过分钟后，有，即，解得，故选B．第二部分非选择题（共40分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21．【答案】．【解析】根据指数与对数的运算法则，，故答案为：．22．【答案】．【解析】由题知，圆心，因此圆心到坐标原点的距离，故答案为：．23．【答案】．【解析】第一次循环，当时，；第二次循环，当时，；第三次循环，当时，；第四次循环，当时，；当时，循环结束，输出的值为，故答案为．24．【答案】．【解析】根据等差数列的通项公式，且各项均为正整数，即，只有当，或，解得，或，，有最小值，故答案为：．三、解答题（共4个小题，共28分）25．证明：（Ⅰ）连接交于，连接，因为是正方形，所以为的中点，因为是棱的中点，所以．又因为平面，平面，所以平面．（Ⅱ）因为是正方形，所以因为平面，且平面，所以．又因为，所以平面．又因为平面，所以．26．解：（Ⅰ）因为在单位圆中，点的纵坐标为，所以，因为，所以，所以．（Ⅱ）因为在单位圆中，点的纵坐标为，所以．因为，所以．由（Ⅰ）得，，所以．又因为，，所以的面积．27．解：（Ⅰ）由已知，直线的方程为，圆心到直线的为．因为，所以，解