江苏省无锡市天一中学2018-2019学年高三11月月考数学试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2018-2019学年江苏省无锡市天一中学高三11月月考数学试题此卷此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号数学注意事项:1．答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、填空题1．设集合A={1,2,3,5},B={2,3,6}，则A∪B=_______．2．命题:“∃x>0,使得x+1>0”的否定为__________.3．函数y=1-xx4．曲线y=x-sinx在x=5．若函数fx=2x6．已知a>0，函数fx=xx-a2和g7．已知函数fx=2sinωx+φ(ω>0)。若8．已知函数fx=sinxx∈0,π与函数g9．已知f(x）是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0）上单调递增.若实数a满足f（2｜a-1｜）＞f（-2），则a的取值范围是10．已知，且，，则______．11．在平行四边形中，，则线段的长为．12．已知π4<α<π2，π4<β<π13．设a≠0,e是自然对数的底数，函数f(x)=aex-x,x≤0x2-ax+a,x>014．设函数f(x)=(x-a)x-a-xx+2a+1（a<0）．若存在则a的取值范围是____．二、解答题15．已知sinθ+cosθ=（1）求θ的值；（2）设函数f(x)=sin2x-sin216．如图，在△ABC中，已知AC=7，∠B=45∘，D是边（1）CD的长；（2)△ABC的面积。17．在平面直角坐标系xOy中,已知向量a=1,0,b=0,2（1）若k=4,θ=π6，求（2）若x//y，求实数k的最大值，并求取最大值时θ的值。18．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(-x)=-f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数f(x)=ax2+2x-4a(a∈R),试判断f(x)是否为“（Ⅱ)若f(x)=2x+m是定义在区间[-1,1]上的“局部奇函数”(Ⅲ）若f(x)=4x-m2x+1+m2-319．如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头,Q为海中一小岛，在水上旅游线AB上．测得tan∠MON=-3，OA=6km,Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km（1）求水上旅游线AB的长；(2）海中P(PQ=6km，且PQ⊥OM)处的某试验产生的强水波圆P，生成t小时时的半径为r=66t32km．若与此同时，一艘游轮以1820．已知函数fx=4x+2（1）求曲线y=fx在点1,f（2）证明：当x≠1时，曲线y=fx恒在曲线y=g(3)当x∈0,k时,不等式2k+1⋅fx≤2018-2019学年江苏省无锡市天一中学高三11月月考数学试题数学答案参考答案1．1,2,3,5,6【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为集合A=1,2,3,5所以A∪B=1,2,3,5,6,故答案为1,2,3,5,6【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或属于集合B的元素的集合.2．∀x>0,x+1≤0【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，既要改写量词，又要否定结论，可得原命题的否定形式.【详解】因为特称命题的否定是全称命题,既要改写量词，又要否定结论，故命题“∃x>0,x+1>0”的否定是∀x>0,x+1≤0，故答案为∀x>0,x+1≤0.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题。全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3．(0,1]【解析】【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0,分式的分母不等于0,列不等式求解即可得结果。【详解】要使函数y=1-x则1-xx≥0x≠0⇒(1-x)x≥0∴函数y=1-xx的定义域为0,1，故答案为【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、不等式的解法,属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式（组）求解；（2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组)求解;（3)若已知函数fx的定义域为a,b，则函数fgx的定义域由不等式4．1【解析】【分析】求出原函数的导函数,可得到曲线y=x-sinx在x=π2【详解】因为曲线y=x-sinx在x=π2处的切线的斜率就是曲线由y=x-sinx得∴y'|即曲线y=x-sinx在x=π2【点睛】本题考查了利角导数研究曲线上某点处的切线斜率,曲线在某点处的导数值，即为曲线上以该点为切点的切线的斜率，是中档题。5．1【解析】【分析】由函数fx=2x+a【详解】∵fx∴f-1=f1，即2+当a=1时,f-x=【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,属于中档题。已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由fx+f-x=0恒成立求解,（2)偶函数由fx-f-x6．3【解析】【分析】（1）求出函数y=fx的导数，可得极值点，通过与y=gx有相同的极值点，列方程求a【详解】fx则f'x令f'x=0，得x=a或a可得fx在-∞,可得fx在a3,a递减，极大值点为a因为函数fx=xx-a而gx在x=所以a-12=a3，所以【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数fx极值的步骤:(1）确定函数的定义域；(2)求导数f'x；(3)解方程f'x=0,求出函数定义域内的所有根;(4）列表检查f'x在f'x=0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么f7．3【解析】试题分析:由题意得T4≤π2-考点:三角函数周期8．2【解析】联立方程f(x)=sinx与g(x)=13tanx可得13tanx=sinx，解之得x=0,π,cosx=139．(【解析】试题分析：由题意f(x)在(0,+∞)上单调递减，又f(x)是偶函数，则不等式f(2|a-1|)>f(-2)可化为f(2|a-1|【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】利用数形结合解决不等式问题时,在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数"的方法有：（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题,解决数集的交、并、补运算非常有效．（2）借助函数图象的性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需要注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现由“数"向“形”的转化．10．【解析】试题分析:由可得。又因为所以.又因为.又因为所以.所以。本小题关键是角的和差的余弦公式的正逆方向的应用.考点：1.余弦和差公式的应用.2。解三角方程。11．【解析】试题分析：由得，即，所以，于是，又，即,所以；考点：1.向量的数量积；12．-4【解析】【分析】利用同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式化简sin2αsin2=-tanα【详解】∵sin2∴=sinαcostanα可得tanα+∵π4<α<π2，tan=-≤-2tanα【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及利用基本不等式求最值,属于难题。求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解,，利用基本不等式求最值，注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等".13．(-∞,0)∪[4,6]【解析】【分析】对a分四种情况讨论,分别判断函数的单调性与最值,根据单调性、最值，判断函数是否有零点，若函数有零点,判断所有零点的和是否不大于6，综合各种讨论结果,即可得结论。【详解】①a<0，x≤0时，f'x=ae且f0=a<0,∴fx在-∞,0x>0时，fx在0,+∞∵f1=1，∴fx在0,+∞有一个小于②a>0（1）0<a≤1时,fx在-∞,0f0=a>0,∴fx在又∵Δ=a2-4a<0，故fx(2）1<a<4时，fx在-∞,ln1afln1a=1+又∵Δ=a2-4a<0，故fx(3)a=4时,fx=4efx在0,+∞上只有零点2，满足条件（4)a>4时，fx在-∞,0上没有零点，在0,+∞且和为a，故满足题意的范围是4<a≤6。综上所述，a的取值范围为-∞,0∪4,6，故答案为【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与零点以及分类讨论思想的应用。属于难题。分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度。运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点。充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中。14．[-3,【解析】【分析】存在x0∈-1,1，使fx0≤0，等价于fminx≤0,x∈-1,1,化简fx的解析式，判断fx【详解】∵存在x0∈-1,1，∴f当x≤a时,fx∴fx在-∞,a当a<x<0时，fx∴fx在a,a2当x≥0时,fx∴fx在0,+∞（1)若a2≤-1,即a≤-2时,fx在∴f解得-3≤a≤-1,∴-3≤a≤-2；（2）若-1<a2<0，即-2<a<0时，f在a2∴f解得-2-2综上，a的取值范围是-3,-2+2,故答案为-3,-2+【点睛】本题主要考查不等式有解问题以及利用导数研究函数的单调性、求函数最值，考查了分类讨论思想的应用,属于难题。不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题,还可以转化为a≤f(x)有解（a≤f(x)max即可)或转化为a≥f(x)有解（a≥f15．(1）-π6；（2）kπ【解析】【分析】(1)由sinθ+cosθ=3-12，两边平方可得sin2θ=-32,结合θ∈-π4 ， π4，可得【详解】（1）由sinθ+cosθ=即sin2θ+2sinθ因为θ∈-π4 ， π4（2）由（1）知，f(x)=sin所以f(x)=1=12cos2x-π3令2kπ-得kπ-π6≤x≤kπ+π【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及正弦函数的单调性，属于中档题。函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间的求法：(1）代换法：①若A>0,ω>0,把ωx+φ看作是一个整体，由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπk∈Z求得函数的减区间，-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπ16．（1）5；（2）75+553【解析】【分析】（1)在ΔACD中，AC=7,AD=3,∠ADC=120∘，由余弦定理得72=32+CD2-2×3⋅CDcos120【详解】（1）在ΔACD中，由余弦定理得AC2=AD2（2）在ΔBCD中,由正弦定理得BDsin∠BCD=解得BD=5+5所以S=12×3×5【点睛】本题主要考查正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题。对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a2=b2+c2-2bccosA17．（1)4-43;（2）-【解析】试题分析：（1）向量数量积问题可以先求向量的坐标，再利用坐标运算；或者先符号运算进行化简,再代入坐标；（2）由向量共线得到k与θ的关系式,用θ表示出k，再利用导数求该函数的最大值,为了便于运算，可以求1k试题解析：（1）(方法1）当k=4，θ=π6时，x=(1 ，  2-则x⋅y=1×(-4)+(2-3（方法2)依题意，a⋅b=0，则x⋅y=[a+(1-=-4+2×(1-3(2)依题意，x=(1 ，  2-2cosθ)，，因为x整理得，1k=sin则f'(θ)=cosθ(cos令f'(θ)=0，得cosθ=-12或cos列表：θ(02(f-0+f(θ)↘极小值-↗故当θ=2π3时,f(θ)min=考点：1。向量数量积的坐标公式；2.向量共线的坐标公式;3利用导数求函数的最值;18．（1）∴f(x)是“局部奇函数”，理由见解析；(2)[-54,-1]【解析】试题分析：（Ⅰ）判断方程f(x)+f(-x)=0是否有解；（Ⅱ）在方程f(x)+f(-x)=0有解时,通过分离参数求取值范围；(Ⅲ）在不便于分离参数时，通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布.试题解析:f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)+f(-x)=0有解．（Ⅰ）当f(x)=ax方程f(x)+f(-x)=0即有解x=±2，所以f(x)为“局部奇函数”．3分（Ⅱ）当f(x)=2x+m时，f(x)+f(-x)=0因为f(x)的定义域为[-1,1]，所以方程2x+2-x+2m=0令t=2x∈[设g(t)=t+1t，则当t∈(0,1)时，g'(t)<0，故g(t)在当t∈(1,+∞)时,g'(t)>0，故g(t)在(1,+∞)上为增函数，．所以t∈[12,2]所以-2m∈[2,52]，即m∈[-(Ⅲ）当f(x)=4x-m4x设t=2x+从而t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解即可保证f(x)为“令F(t)=t1°当F(2)≤0，t2-2mt+2m由F(2)≤0，即2m2-4m-4≤0，解得1-2°当F(2)>0时，t2-2mt+2mΔ=4m2-4(2m2（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m的取值范围为1-3≤m≤22考点：函数的值域、方程解的存在性的判定。19．（1）92km；(【解析】【分析】（1)以点O为坐标原点，直线OM为x轴，建立直角坐标系,直线ON的方程为y=-3x,Q(x0,2)(x0>0)，由点到直线距离公式得Q(4,2可得交点B(-3,9),结合A(6,0)由两点间距离公式可得AB的长；(2）设试验产生的强水波圆P，生成t小时,游轮在线段AB上的点C处,令h(t)=r2-PC2，求得【详解】（1）以点O为坐标原点，直线OM为x轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得:A(6,0),直线ON的方程为y=-3x，Q(由3x0+210=710∴直线AQ的方程为y=-(x-6)，即x+y-6=0，由y=-3x,x+y-6=0得x=-3,y=9,即∴AB=(-3-6)2+92=9（2）设试验产生的强水波圆P，生成t小时，游轮在线段AB上的点C处,则AC=182t，0≤t≤12令h(t)=r2-PC2∴h(t)==18(12t3-36∴=72(9=72(3t-1)(3t-5)，0≤t≤12由h'(t)=0得t=1x(0,(h+-∴[h(t)]max=h(∴0≤t≤12时,h(t)<0，即亦即强水波不会波及游轮的航行．【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及直线方程、点到直线距离公式以及利用导数研究函数的单调性求函数的最值,属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答。20．(1)y=6x-6；(2）证明见解析；（3）0,1.【解析】【分析】（1）求出f'x=4lnx+2x+4，求出f(1)的值可得切点坐标,求出f'(1)的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;（2）要使得当x≠1时，曲线y=fx恒在曲线y=gx的下方，即需证fx<gxx≠1，不妨设Fx=fx-gx，则【详解】(1）f'x=4ln故切线方程是y=6x-6.（2）要使得当x≠1时,曲线y=fx恒在曲线y=g即需证fx不妨设Fx=fx-gx∴F'x令Gx=F'x，∴