高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量其运算312空间向量的数乘运算1数学教案

空间向量的数乘运算1．空间向量的数乘运算01a的乘积λa仍旧是一个向量，称为向量的数乘运算．(1)定义：□实数λ与空间向量向量a与λa的关系λ的范围方向关系模的关系λ>002方向□同样λ＝0λa＝0，其方向是随意的04λa的模是a的模的□|λ|倍λ<003方向□相反空间向量的数乘运算律设λ，μ是实数，则有：①分派律：λ(a＋b)＝□05λa＋λb.λμa06λμa②联合律：( )＝□( ).2．共线向量与共面向量共线(平行)向量共面向量1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．( )若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．( )(3)→→→)假如OP＝OA＋tAB，则P，A，B共线．((4)空间中随意三个向量必定是共面向量．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.(2)已知b＝－5(|a|＝2)，则向量b的长度为________，向量b的方向与向量a的方a向________．(3)已知正方体

ABCD－A1B1

C1D1中，

→1→→→→→A1E＝4A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则

x＝______，y＝______.→1→→(4)(教材改编P89T1)已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB＋2(BD＋BC)等于________．51→答案(1)－7(2)10相反(3)14(4)AG→1→→→1→→→→分析(4)AB＋2(BD＋BC)＝AB＋2×(2BG)＝AB＋BG＝AG.研究1空间向量的数乘运算例1已知正四棱锥P－ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求以下各式中x，y，z的值．→→→→(1)OQ＝PQ＋yPC＋zPA；→→→→(2)PA＝xPO＋yPQ＋PD.[解](1)如图，→→→∵OQ＝PQ－PO→1→→＝PQ－(PA＋PC)2→1→1→＝PQ－2PC－2PA，1∴y＝z＝－2.∵O为AC的中点，Q为CD的中点，→→→→→→∴PA＋PC＝2PO，PC＋PD＝2PQ，→→→→→→∴PA＝2PO－PC，PC＝2PQ－PD，→→→→∴PA＝2PO－2PQ＋PD，∴x＝2，y＝－2.拓展提高利用向量的线性运算求参数的技巧利用向量的加减运算是办理此类问题的基本方法，一般地能够找到的关闭图形不是独一的，但不论哪一种门路，结果应是独一的．利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．【追踪训练1】以下图，在平行六面体ABCD－ABCD中，O为AC的中点．11111→1→化简：A1O－2AB－2AD；→2→→→→→(2)设E是棱DD1上的点，且DE＝3DD1，若EO＝xAB＋yAD＋zAA1，试务实数x，y，z的值．解(1)→1→＋→→→＝→＋→→1－()＝1－1＝1.AO2ABADAOAOAOOAAA(2)连结，则→＝→－→＝1(→＋→)－→－2→1＝1→－1→－2→1，AEEOAOAE2ABADAD3AA2AB2AD3AA112∴x＝2，y＝－2，z＝－3.研究2共线向量→→AC111111111→2→上，且A1F＝3FC.求证：E，F，B三点共线．[证明]→→→连结EF，EB，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c.→→→2→∵A1E＝2ED1，A1F＝3FC，2→→2→A1E＝3A1D1，A1F＝5A1C.2→2→2→→A1E＝3AD＝3b，A1F＝5(AC－AA1)2→→→2221∴→＝→→242＝221－1＝－－5a－b－c.EFAFAE5a15b5c3→→→→2211→2→∴EF＝5EB，∴E，F，B三点共线．→2→[条件研究]将例2的条件改为“O为A1C上一点，且A1O＝3A1C，BD与AC交于点M”．求证：C1，O，M三点共线．证明

连结

AO，AC1，

A1C1.2→A1O＝3A1C，→→→→2→→2→→1→2→∴AO＝AA1＋A1O＝AA1＋3A1C＝AA1＋3(A1A＋AC)＝3AA1＋3AC.→→→→∵AC＝2AM，AA1＝AC1＋

→→→→→C1A1＝AC1－AC＝AC1－2AM，→1→→4→1→2→AO＝3(AC1－2AM)＋3AM＝3AC1＋3AM.123＋3＝1，∴C1，O，M三点共线．拓展提高判断向量共线的策略熟记共线向量的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在独一实数λ，使a＝λb；②若存在独一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.判断向量共线的重点：找到实数λ.2．证明空间三点共线的三种思路关于空间三点P，A，B可经过证明以下结论来证明三点共线．(1)→→存在实数λ，使PA＝λPB建立．(2)对空间任一点→→→O，有OP＝OA＋tAB(t∈R)．(3)对空间任一点→→→．O，有OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1)【追踪训练2】已知向量e1，e2不共线，a＝3e1＋4e2，b＝－3e1＋8e2，判断a与b是否共线．解设a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(－3e1＋8e2)，∵e1，e2不共线，∴－3λ＝3，无解．8λ＝4∴不存在λ，使a＝λb，即a与b不共线．研究3共面向量例3以下图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，而且使OEOFOGOH＝＝＝＝k，求证：E，F，G，H四点共OAOBOCOD面．[证明]OEOFOGOHk，因为＝＝＝＝OAOBOCOD所以→＝→，→＝→，→＝→，→＝→.OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD因为四边形ABCD是平行四边形，所以→＝→＋→，所以→＝→－→＝→－→＝→＝(→＋→)＝(→－→＋→－→)ACABADEGOGOEkOCkOAkACkABADkOBOAODOA＝→－→＋→－→＝→＋→.OFOEOHOEEFEH由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面．拓展提高证明向量共面、点共面的常用方法证明空间三个向量共面，常用以下方法①想法证明此中一个向量能够表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；②找寻平面α，证明这些向量与平面α平行．(2)对空间四点P，M，A，B可经过证明以下结论建立来证明四点共面→→→①MP＝xMA＋yMB；→→→→②对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB；③对空间任一点→→→→O，OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)；→→→→→→④PM∥AB(或PA∥MB，或PB∥AM)．→1→【追踪训练3】(1)已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由OP＝5OA＋2→→P与A，B，C三点共面，则λ＝________.OB＋λOC确立的一点3答案215分析∵点P与A，B，C三点共面，∴1＋2＋λ＝1，解得λ＝2.53151→1→1→已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O知足OM＝OA＋OB＋OC.333→→→①判断MA，MB，MC三个向量能否共面；②判断点M能否在平面ABC内．解→→→→→→→→→→→→→→→①∵OA＋OB＋OC＝3OM，∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)＝BM＋CM，即MA＝BM＋CM＝→→→→→－MB－MC，∴向量MA，MB，MC共面．→→→M，且A，B，C三点不共线，∴M，②由①知向量MA，MB，MC共面，而它们有共同的起点A，B，C共面，即点M在平面ABC内．1.四点P，A，B，C共面?对空间随意一点→→→→O，都有OP＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z＝1.→→→→ABC的向量表达式．由此可知空间中随意平面由空间2.OP＝OA＋xAB＋yAC称为空间平面一点及两个不共线向量独一确立.3.证明(或判断)，，C三点共线时，只要证明存在实数λ，使→＝→(或→＝→)ABABλBCABλAC即可，也可用“对空间随意一点，有→＝→＋(1－)→”来证明，，C三点共线.OOCtOAtOBAB4.空间一点P位于平面内的充要条件是存在有序实数对(x，)，使→＝→＋→，MAByMPxMAyMB知足这个关系式的点都在平面内；反之，平面内的任一点都知足这个关系式．这个MABMAB充要条件常用于证明四点共面.1．给出以下命题：①a＝“从上海往正北平移9km”，b＝“从北京往正北平移3km”，那么a＝3b；②(a＋b)＋λc＋λ(a＋d)＝b＋(1＋λ)a＋λ(c＋d)；③把正方形ABCD平移向量m到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体叫做正方体；→→④有直线l，且l∥a，在l上有点B，若AB＋CA＝2a，则C∈l.此中正确的命题是( )A．①②B．③④C．①②④D．①②③答案C分析由向量相等与起点没关易知①正确；由向量的数乘运算知足分派律及向量的加减运算知足互换律和联合律易知②正确；③中轨迹形成的几何体是平行六面体，不必定是正方→→→→→→B在l上，所以C∈l，故体，③错误；由AB＋CA＝CA＋AB＝CB＝2a知CB与l直线平行，又④正确．应选C.→→→()2．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则必定共线的三点是A．，，B．，，C．，，D．，，ABDABCBCDACD答案A分析由已知可得→＝＋2，→＝→＋→＝2＋4，所以→＝2→，即→，→是共线向ABabBDBCCDabBDABBDAB量，所以，，三点共线．ABD→→1→1→3．已知点M在平面ABC内，而且对空间随意一点O，有OM＝xOA＋2OB＋6OC，则x的值为()1A．1B．0C．3D.3答案D→→1→1→111分析∵OM＝xOA＋2OB＋6OC，且M，A，B，C四点共面，∴x＋2＋6＝1，x＝3.→→→→)4．在平行六面体ABCD－EFGH中，若AG＝xAB－2yBC＋3zDH，则x＋y＋z等于(725A.6B.3C.6D．1答案C分析→→→→→→→因为AG