导数和微分的概念产生的历史

关于导数和微分的概念产生的历史第1页，共24页，2023年，2月20日，星期三从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

第2页，共24页，2023年，2月20日，星期三到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。第3页，共24页，2023年，2月20日，星期三牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才，出版它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程给定时间内经过的路程(积分法)。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。第4页，共24页，2023年，2月20日，星期三

不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右，但是整是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。

第5页，共24页，2023年，2月20日，星期三①公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。②到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。许多著名的数学家、天文学家、物理学家等为解决这些问题提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。③十七世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。④19世纪初，以柯西为首的法国科学家们，对微积分的理论进行了研究，建立了极限理论，后又经过数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。促使微积分进一步发展。归结导数和微分概念产生历史背景返回第6页，共24页，2023年，2月20日，星期三导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数另一个定义：当x=x0时，f‘(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivativefunction）（简称导数）。

y=f(x)的导数有时也记作y'，即f'(x)=y'=limΔx→0[f(x+Δx)-f(x)]/Δx物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。什么是导数第7页，共24页，2023年，2月20日，星期三导数是针对连续且可导的函数而言的，函数在某一点的导数说白了就是函数值在该点的变化率，说形象了就是函数在该点的切线的斜率，切线斜率的大小反映了该点的函数值变化的快慢。你要从极限的角度去理解导数，就是想象在某一点有一个无穷小的区间包含了该点，然后函数自变量增加或减小一个无穷小的值，相应的函数值也会发生一定量（看成无穷小）的改变，在这点的导数就反映出函数值随自变量的改变而改变的快慢能力。第8页，共24页，2023年，2月20日，星期三我们组员认为导数说白了它其实就是斜率总之：返回第9页，共24页，2023年，2月20日，星期三在记忆中我们觉得高中求导基本有两种方法：一·利用limΔ(f(x0+x)-f(x))/Δx二·初等函数的求导法则在记忆中我们觉得高中求导基本有两种方法：一·利用limΔ(f(x0+x)-f(x))/Δx二·初等函数的求导法则求导基本公式

(tanx)‘=sec^2x (cotx)‘=-csc^2x (sec)’=secxtanx (cscx)’=-cscxcotx (arcsinx)=’1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)=’-[1/(1-x^2)^1/2]; (arctanx)’=1/(1+x^2) (arcotx)=’-[1/(1+x^2)] (x^1/2)’=1/(2x^1/2); [f(x)^1/2]=f(x)/[2f(x)^1/2]

C'=0(C为常数)；

(x^n)'=nx^(n-1)(n∈Q)；

(sinx)'=cosx；

(cosx)'=-sinx；

(e^x)'=e^x；

(a^x)'=a^xIna（ln为自然对数）

(Inx)'=1/x（ln为自然对数)第10页，共24页，2023年，2月20日，星期三现在新增的求导法则我们小组认为基本和高中是一致的（仅代表本小组意见），新增加了隐函数求导和高阶求导在大学期间我们所学的求导方法1·四则运算2·复合函数的求导3·反函数的求导4·隐函数的求导5·商阶导数由一个方程F（x，y）所确定的隐函数的求导法就是将方程两边分别对x求导，在求出dx/dy即可常用的基本初等函数的n阶导数公式有：（x^n）^(n)=n!(e^x)^(n)=e^x(sinx)^(n)=sin(x+nπ/2)(cosx)^(n)=cos(x+nπ/2)返回第11页，共24页，2023年，2月20日，星期三微分的思想是什么？第12页，共24页，2023年，2月20日，星期三基本思想是:

把一样东西无限分割，然后在累加起来

注：在微分学中有两个基本问题：变化率问题和增量问题。函数在点的导数表示该函数在点处的变化率，它是描述函数变化性态的一个局部概念。

有时我们需要计算函数，当自变量在处有一个微小改变量时，函数改变量的大小。

往往是的一个较复杂的函数，要精确计算它是困难的，甚至是不可能的；并且我们在理论研究和实际应用中，往往只需要了解的近似值就可以了。因而计算函数改变量的近似值就显得特别重要。

人们把解决上述问题的出路放在将线性化，用的线性函数来近似代替它，这就是引入微分的基本想法。

第13页，共24页，2023年，2月20日，星期三①它是自变量增量的线性函数，

②它与函数增量之差：是比更高阶的无穷小。

根据上述两个特点，当时，就可以用微分来近似表示增量，即，当越小，其近似程度就越好。这一近似等式是应用微分思想解决近似计算和误差估计等实际问题的基础。微分的几何意义：函数在点的微分等于曲线在点处的切线纵坐标的增量。微分思想的应用第14页，共24页，2023年，2月20日，星期三区别导数与微分第15页，共24页，2023年，2月20日，星期三两者都是建立在函数极限概念基础上。

导数刻划了函数的瞬时变化率,而微分则表示了函数的瞬时变化量导数和微分的定义不同，概念不同，二者有差别，但也有联系。(2)导数的定义是函数f(x)的函数增量△y=△f(x+△x)-f(x)与自变量增量△x的比，当自变量增量△x趋于零时的极限，它的几何意义是曲线y=f(x)的切线的斜率，导数的表示法有dy/dx，也表示为f'(x)。微分的定义是函数f(x)的函数增量△y=△f(x+△x)-f(x)中的一部分，指主要线性部分，微分的表示法就是dy。（3）二者的联系式是，微分dy=（导数）f'(x)*(自变量的增量△x也就是自变量的微分)dx，这个式子变形一下，就是dy/dx=f'(x)，所以导数也是、也叫微商即微分之商，这就是你说的“导数的这种表示方法，与微分的关联”。（4）如果是在自学，能提出问题就好。以上只是简答，还有很丰富的内容，努力吧。返回第16页，共24页，2023年，2月20日，星期三牛顿在数学上最卓越的成就是创建微积分。他超越前人的功绩在於，他将古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法－－微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，如：面积计算可以看作求切线的逆过程。那时莱布尼兹刚好亦提出微积分研究报告，更因此引发了一埸微积分发明专利权的争论，直到莱氏去世才停熄。而後世己认定微积是他们同时发明的。微积分方法上，牛顿所作出的极端重要的贡献是，他不但清楚地看到，而且大赡地运用了代数所提供的大大优越於几何的方法论。他以代数方法取代了卡瓦列里、格雷哥里、惠更斯和巴罗的几何方法，完成了积分的代数化。从此，数学逐渐从感觉的学科转向思维的学科。微积产生的初期，由於还没有建立起巩固的理论基础，被有受别有用心者钻空子。更因此而引发了着名的第二次数学危机。这个问题直到十九世纪极限理论建立，才得到解返回第17页，共24页，2023年，2月20日，星期三德国有一位被世人誉为“万能大师”的通才，他就是莱布尼茨，他在数学、逻辑学、文学、史学和法学等方面都很有建树。莱布尼茨生于莱比锡，6岁时丧父，但作为大学伦理学教授的父亲给他留下了丰富的藏书，引起了他广泛的学习兴趣。他11岁时自学了拉丁语和希腊语；15岁时因不满足对古典文学和史学的研究，进入莱比锡大学学习法律，同时对逻辑学和哲学很感兴趣。莱布尼茨思想活跃，不盲从，有主见，在20岁时就写出了《论组合的技巧》的论文，创立了关于“普遍特征”的“通用代数”，即数理逻辑的新思想。莱布尼茨还与英国数学家、大物理学家牛顿分别独立地创立了微积分学。莱布尼茨是从哲学的角度来研究数学的，他终生奋斗的主要目标是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法，他的许多数学发现就是在这种目的的驱使下获得的。牛顿建立微积分学主要是从物理学、运动学的观点出发，而莱布尼茨则从哲学、几何学的角度去考虑。今天的积分号∫(拉长的字母S)、微分号d都是莱布尼茨首先使用的。值得一提的是，他发明了能做乘法、除法的机械式计算机(十进制)，并首先系统研究了二进制记数方法，这对于现代计算机的发明至关重要。1716年11月14日，莱布尼茨卒于汉诺威。返回第18页，共24页，2023年，2月20日，星期三刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产．

《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作．

《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富．返回第19页，共24页