【鲁教54】第三次月考卷

九年级数学上册第三次月考测试题一、单选题1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝则cosA等于（）A. B. C. D.2.关于反比例函数，下列说法错误的是（）A.图象关于原点对称 B.y随x的增大而减小C.图象分别位于第一、三象限 D.若点在其图象上，则3.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A.米 B.12米 C.米 D.10米4.如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得，连接，则点到的距离为（）A. B. C. D.25.在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC如图放置，则sin∠ABC的值为（）A. B. C. D.16.若点A(x1，m)，B(x2，n)都在二次函数为常数，且的图象上，且x1<x2<1则和的大小关系是（）A. B. C. D.以上答案都不对7.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①a<0，，b<0；②b2-4ac>0；③a+b>am2+bm；④b+2a=0；⑤-a+c>0正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.9.已知中，，，D是边的中点，点E、F分别在、边上运动，且保持．连接、、得到下列结论：①是等腰直角三角形；②面积的最大值是2；③的最小值是2．其中正确的结论是（）A.②③ B.①② C.①③ D.①②③10.如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（）A. B. C. D.11.如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（）A. B. C. D.12.如图，一段抛物线记为，它与x轴交于两点O，，将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，一直进行下去，直至得到，则抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.二、填空题13.（2017辽宁省葫芦岛市）一艘货轮又西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为______海里（结果保留根号）．14.已知抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M平移该抛物线，使点M平移后的对应点落在x轴上，点B平移后的对应点落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为___________．15.“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁.古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头.卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为______米．16.如图，以为圆心的圆与直线相交于，两点，若恰为等边三角形，则弧的长度为______．17.如图，分别为的内接正方形、内接正三角形的边，是圆内接正边形的一边，则的值为_______________________．18.如图，已知直线y=与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最小值是_____．三、解答题19.计算：（1）； （2）．20.如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．21.如图，在中，，的角平分线交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E，F．（1）试判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若，，求⊙O的半径．22.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（结果保留根号）23.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC．（1）求证：AC平分∠DAO；（2）若∠DAO＝105°，∠E＝30°，①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．24.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE＝．（1）求证：AM•MB＝EM•MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值．25.已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

九年级数学上册第三次月考测试题一、单选题1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝则cosA等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出，根据的值结合勾股定理，得到三个边的比例关系，再求出的值．【详解】解：如图，画出，∵，设，，根据勾股定理，，∴．故选：D．【点睛】本题考查锐角三角函数值，解题的关键是掌握根据一个角的正切值求余弦值的方法．2.关于反比例函数，下列说法错误的是（）A.图象关于原点对称 B.y随x的增大而减小C.图象分别位于第一、三象限 D.若点在其图象上，则【答案】B【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵反比例函数，

∴该函数图象关于原点轴对称，故选项A正确；

在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项B错误；

该函数图象为别位于第一、三象限，故选项C正确；

若点M（a，b）在其图象上，则ab=3，故选项D正确；

故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．3.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A.米 B.12米 C.米 D.10米【答案】A【解析】【分析】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质．【详解】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°．作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，∴CE=2，EF=4cos30°=2，在Rt△CED中，CE=2，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4．∴BD=BF+EF+ED=12+2．∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，∴在Rt△ABD中，AB=BD=．故选：A．4.如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得，连接，则点到的距离为（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】连接，过点作于，由勾股定理可求的长，由直角三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，由面积法可求的长，由锐角三角函数可求解．【详解】解：如图，连接，过点作于，，，，，点是的中点，，将沿翻折得，，，，垂直平分，，，，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高．解题时注意：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．5.在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC如图放置，则sin∠ABC的值为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】作AD⊥BC于D，由勾股定理得出BC＝=，AB＝＝，由△ABC的面积求出AD＝，由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：作AD⊥BC于D，如图所示：

由勾股定理得：BC＝=，AB＝＝，

∵△ABC的面积＝BC×AD＝×3×1−×1×1，

∴××AD＝×3×1−×1×1，

解得：AD＝，

∴sin∠ABC＝==；

故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握勾股定理和三角函数定义是解题的关键．6.若点A(x1，m)，B(x2，n)都在二次函数为常数，且的图象上，且x1<x2<1则和的大小关系是（）A. B. C. D.以上答案都不对【答案】A【解析】【分析】因为，所以二次函数图像开口向上，二次函数的对称轴为直线，当x<1，时，y随x的增大而减小，即可求得．【详解】二次函数的对称轴为直线又∵∴二次函数图像开口向上∴当x<1，时，y随x的增大而减小，即可求得又∵x1<x2<1∴故选A【点睛】本题考查二次函数的对称轴和二次函数图像上的点的坐标特征，熟练掌握二次函数对称轴知识是解题的关键．7.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①a<0，，b<0；②b2-4ac>0；③a+b>am2+bm；④b+2a=0；⑤-a+c>0正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】①根据二次函数的开口方向、与y轴的交点、对称轴即可得；②根据二次函数与x轴的交点个数即可得；③根据二次函数的最值即可得；④根据二次函数的对称轴即可得；⑤根据时，即可得．【详解】由函数图象得：，，则结论①错误；二次函数的图象与x轴有两个交点，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，此方程的根的判别式，则结论②正确；由图象可知，当时，y取得最大值，最大值为，当时，，，即，则结论③错误；，，即，则结论④正确；当时，，将代入得：，即，则结论⑤正确；综上，结论正确的是②④⑤，共有3个，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．8.函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分a＞0与a＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．【详解】解：①当a＞0时，二次函数y=ax2-a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；②当a＜0时，二次函数y=ax2-a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．对照四个选项可知C正确．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．9.已知中，，，D是边的中点，点E、F分别在、边上运动，且保持．连接、、得到下列结论：①是等腰直角三角形；②面积的最大值是2；③的最小值是2．其中正确的结论是（）A.②③ B.①② C.①③ D.①②③【答案】B【解析】【分析】证明，进一步可得，，所以可知是等腰直角三角形．故①正确；根据由于是等腰直角三角形，可知当时，最小，此时，．故③错误；利用，推出，当面积最大时，此时的面积最小，求出此时，故②正确；【详解】解：①∵是等腰直角三角形，∴，；在和中，∴；∴，；∵，∴，∴是等腰直角三角形．故此选项正确；③由于是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小；即当时，最小，此时．∴．故此选项错误；②∵，∴，∴，当面积最大时，此时的面积最小，∵，，∴，∴，此时，故此选项正确；故正确的有①②，故选：B【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用．10.如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝125°，∴∠C＝180°−∠A＝55°，∴∠BOD＝2∠C＝110°．故选：C．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．11.如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】连接BP，取BE的中点G，连接PG，通过两组对应边成比例且夹角相等，证明，得到，则，当P、D、G三点共线时，取最小值，求出DG的长得到最小值．【详解】解：如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG，∵，，∴，∵G是BE的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长，．故选：C．【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相似三角形将转换成，再根据三点共线求出最小值．12.如图，一段抛物线记为，它与x轴交于两点O，，将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，一直进行下去，直至得到，则抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解方程得，再利用旋转的性质得，依此规律得到，且抛物线的开口向上，利用交点式，设抛物线的解析式为，然后确定此抛物线顶点坐标即可．【详解】解：当时，，解得，∴，∵将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，∴∴即∵抛物线C506的开口向上，∴抛物线的解析式为∵抛物线的对称轴为直线当时，∴抛物线的顶点坐标是．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的几何变换和二次函数的性质．二、填空题13.（2017辽宁省葫芦岛市）一艘货轮又西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为______海里（结果保留根号）．【答案】

【解析】【分析】由题意得PC=4海里，得到∠PAC=30°，∠PBC=45°，进而根据三角函数可得PC=BC=4，，进而可求解．【详解】解：根据题意得：PC=4海里，∠PBC=90°﹣45°=45°，∠PAC=90°﹣60°=30°，在直角三角形APC中，∵∠PAC=30°，∠C=90°，∴AC=PC=（海里），在直角三角形BPC中，∵∠PBC=45°，∠C=90°，∴BC=PC=4海里，∴AB=AC=BC=（）海里，故答案为．【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．14.已知抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M平移该抛物线，使点M平移后的对应点落在x轴上，点B平移后的对应点落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为___________．【答案】【解析】【分析】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．【详解】解：当y=0，则，∴，解得：，，∴，，∵，∴M点坐标为：，∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点落在x轴上，点B平移后的对应点落在y轴上，∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，如图，∴平移后的解析式为：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．15.“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁.古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头.卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为______米．【答案】26【解析】【分析】由OA=22知道抛物线经过点A(22，0)，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为2k．【详解】解：由题意知OA=22，抛物线经过点A(22，0)，代入解析式中：得到：，求得，∴抛物线的顶点坐标为(11，13)，∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为2×13=26，故答案为：26米．【点睛】本题考查了二次函数的图形和性质，点在函数图像上，将点的坐标代入，等号两边相等即可求出某些参数的值．16.如图，以为圆心的圆与直线相交于，两点，若恰为等边三角形，则弧的长度为______．【答案】【解析】【分析】设直线交坐标轴于点C、D，作OE⊥CD于点E，根据直线解析式求得C、D点坐标，得到CD长，根据三角形面积公式得到OE长，然后利用弧长公式，即可得到弧AB的长度．【详解】设直线交坐标轴于点C、D，作OE⊥CD于点E当x=0时，y=2，当y=0时，x=2，

故点C的坐标为（0，2），点D（2，0），

故CD=，

∵根据三角形面积公式，得：，

∴OE=，

∵△OAB是等边三角形，

∴∴OA=，

∴弧AB的长度为：，

故答案为：．【点睛】本题考查弧长的计算、等边三角形的性质、一次函数与几何综合，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17.如图，分别为的内接正方形、内接正三角形的边，是圆内接正边形的一边，则的值为_______________________．【答案】【解析】【分析】根据正方形以及正三边形的性质得出，，进而得出，即可得出n的值．【详解】解：如图所示，连接AO，BO，CO．∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的一边，

∴，，

∴，

∴，故答案为：12．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆的性质，根据已知得出是解题关键．18.如图，已知直线y=与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最小值是_____．【答案】5【解析】【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最小距离，根据面积公式求出即可．【详解】∵直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x﹣4y﹣12=0，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5．过C作CM⊥AB于M，连接AC，则由三角形面积公式得：×AB×CM=×OA×OC+×OA×OB，∴5×CM=4×2+3×4，∴CM=4，∴圆C上点到直线y=x﹣3的最小距离是：4－2=2，∴△PAB面积的最小值是×5×2=5．故答案为5．【点睛】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解答此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离．三、解答题19.计算：（1）；（2）．【答案】（1）3；（2）．【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角形函数值的运算法则计算即可；（2）根据特殊角的三角形函数值的运算法则计算即可．【小问1详解】解：．【小问2详解】解：．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握运算法则．20.如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．【答案】（1）y＝；y＝x＋7；（2）点E的坐标为（0，6）或（0，8）．【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入y＝，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入y＝，求出n的值，即可得点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y＝kx＋b，求出k、b的值，从而得出一次函数的解析式；（2）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出点P的坐标（0，7），得出PE＝|m﹣7|，根据S△AEB＝S△BEP﹣S△AEP＝5，求出m的值，从而得出点E的坐标．【详解】解：（1）把点A（2，6）代入y＝，得m＝12，则y＝．把点B（n，1）代入y＝，得n＝12，则点B的坐标为（12，1）．由直线y＝kx＋b过点A（2，6），点B（12，1）得，解得，则所求一次函数的表达式为y＝x＋7；（2）如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，则点P的坐标为（0，7）．∴PE＝|m﹣7|．∵S△AEB＝S△BEP﹣S△AEP＝5，∴×|m﹣7|×（12﹣2）＝5∴|m﹣7|＝1∴m1＝6，m2＝8∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．21.如图，在中，，的角平分线交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E，F．（1）试判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若，，求⊙O的半径．【答案】（1）与⊙O相切，理由见详解（2）4【解析】【分析】（1）连接，根据角平分线与等腰三角形得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到证明；（2）在中根据勾股定理即可得到答案．【小问1详解】解：与⊙O相切，理由如下，证明：连接，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴与⊙O相切；【小问2详解】解：在中设半径为r，根据勾股定理可得，，∵，，∴，解得．【点睛】本题考查切线的判定，勾股定理，解题的关键是作辅助线．22.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（结果保留根号）【答案】大楼AB的高度大约是（29+6）米．【解析】【详解】试题分析:延长AB交DC于H,作EG⊥AB于G,则GH=DE=15米,EG=DH,设BH=x米,则CH=米,在直角三角形BCH中,BC=12米,由勾股定理得出方程,解方程求出BH=6米,CH=6,得出BG,EG的长度,证明三角形AEG是等腰直角三角形,得出AG=EG=6+20(米),即可得出大楼AB的高度.试题解析:延长AB交DC于H,作EG⊥AB于G,如图所示:则GH=DE=15米,EG=DH,因为梯坎坡度=1:,所以BH:CH=1:,设BH=x米,则CH=米,在直角三角形BCH中,BC=12米,由勾股定理得:,解得:x=6,所以BH=6米,CH=6米,所以BG=GH-BH=15-6=9(米),EG=DH=CH=6+20(米),因为α是45°,所以∠EAG=,所以三角形AEG是等腰直角三角形,所以AG=AG+BG=6+20+9=29+6(米).23.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC．（1）求证：AC平分∠DAO；（2）若∠DAO＝105°，∠E＝30°，①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．【答案】（1）见解析；（2）①45°，②．【解析】【分析】（1）由切线性质知OC⊥CD，结合AD⊥CD得AD∥OC，即可知∠DAC＝∠OCA＝∠OAC，从而得证；（2）①由AD∥OC知∠EOC＝∠DAO＝105°，结合∠E＝30°可得结果；②作OG⊥CE，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CG＝FG＝OG，由OC＝得出CG＝FG＝OG＝2，在Rt△OGE中，由∠E＝30°可得GE＝，由此计算即可．【详解】（1）证明：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴AD∥OC．∴∠DAC＝∠OCA．∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC．∴∠OAC＝∠DAC．∴AC平分∠DAO．（2）①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°．∵∠E＝30°，∴∠OCE＝180°－∠EOC－∠E＝45°．②作OG⊥CE于点G，∵OC＝，∠OCE＝45°，∴CG＝OG＝2．∴FG＝2．在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝．∴EF＝GE−FG＝．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理等知识，熟练掌握切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理是解题的关键．24.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE＝．（1）求证：AM•MB＝EM•MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值．【答案】（1）见解析（2）4（3）【解析】【分析】（1）连接A、C，E、B点，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出结论，根据圆周角定理可推出它们的对应角相等，即可得△AMC∽△EMB；（2）根据圆周角定理，结合勾股定理，可以推出EC的长度，根据已知条件推出AM、BM的长度，然后结合（1）的结论，很容易就可求出EM的长度；（3）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，通过作辅助线，解直角三角形，结合已知条件和（1）（2）所求的值，可推出Rt△EOF各边的长度，根据锐角三角函数的定义，便可求得sin∠EOB的值．【小问1详解】证