二阶线偏微分方程的分类市公开课金奖市赛课一等奖课件

第十章二阶线性偏微分方程分类

本章将简介二阶线性偏微分方程基本概念、分类办法和偏微分方程原则化.尤其对于常系数二阶线性偏微分方程化简办法也进行了详细讨论，这对后面偏微分方程求解是十分有用.第1页第1页10.1基本概念(1)

偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数方程，如其中是未知多元函数，而

是未知变量；

为偏导数.有时为了书第2页第2页写以便，通常记(2)方程阶偏微分方程中未知函数偏导数最高阶数称为方程阶．(3)方程次数偏微分方程中最高阶偏导数幂次数称为偏微分方程次数．第3页第3页(4)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数所有（组合）偏导数幂次数都是一次，就称为线性方程，高于一次以上方程称为非线性方程．(5)准线性方程一个偏微分方程，假如仅对方程中所有最高阶偏导数是线性，则称方程为准线性方程．(6)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数项称为自由项．第4页第4页比如：方程通解和特解概念二阶线性非齐次偏微分方程通解为其中是两个独立任意函数．由于方程为二阶，因此是两个任意函数．若给函数指定为特殊，则得到解第5页第5页称为方程特解．

n阶常微分方程通解含有n个任意常数，而n阶偏微分方程通解含有n个任意函数．10.2数学物理方程分类第6页第6页在数学物理方程建立过程中，我们主要讨论了三种类型偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们解也表现出各自不同特点．我们在解析几何中知道对于二次实曲线其中为常数，且设第7页第7页则当

时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类.

下面主要以含两个自变量二阶线性偏微分方程为例，进行理论分析．而对于更多个自变量情形尽管要复杂一些，但讨论基本办法是同样．两个自变量(x,y)二阶线性偏微分方程所含有普遍形式为第8页第8页（10.2.1）其中为已知函数．

定理10.2.1假如是方程(10.2.2)普通积分，则是方程第9页第9页(10.2.3)一个特解．在详细求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式1.当判别式以求得两个实函数解

时，从方程(10.2.10)可第10页第10页也就是说，偏微分方程(10.2.1)有两条实特性线．于是，令即可使得．同时，依据(10.2.4)式，就能够断定．因此，方程(10.2.6)即为(10.2.4)第11页第11页或者进一步作变换于是有因此第12页第12页又能够进一步将方程(10.2.11)化为

这种类型方程称为双曲型方程．我们前面建立波动方程就属于这类型．2．当判别式时：这时方程(10.2.10)一定有重根第13页第13页因而只能求得一个解，比如，，特性线为

一条实特性线．作变换就能够使由(10.2.4)式能够得出，一定有，故可推出．这样就能够任意选取另一个变换，只要它和彼此独立，即雅可俾式第14页第14页即可．这样，方程(10.2.6)就化为

这类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于这种类型．第15页第15页3.当判别式面讨论，只但是得到时：这时，能够重复上和是一对共轭复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)两条特性线是一对共轭复函数族．于是是一对共轭复变量．进一步引进两个新实变量第16页第16页于是因此

方程(10.2.11)又能够进一步化为第17页第17页

这种类型方程称为椭圆型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz方程都属于这种类型．

总而言之，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式

即可.

第18页第18页10.3二阶线性偏微分方程原则化对于二阶线性偏微分方程(10.3.1)若判别式为，则二阶线性偏微分方程分为三类：第19页第19页时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型;时，方程称为椭圆型;1.双曲型偏微分方程由于双曲型方程相应判别式因此特性曲线是两族不同实函数曲线，第20页第20页设特性方程解为令(10.3.2)进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式第21页第21页(10.3.3)上式称为双曲型偏微分方程第一个原则形式，再作变量代换，令或则偏微分方程又变为第22页第22页(10.3.4)上式称为双曲型偏微分方程第二种形式．注：上式中“*”号不代表共轭，仅阐明是另外函数。如与是两个不同函数。

2．抛物型偏微分方程第23页第23页由于抛物型偏微分方程判别式线是一族实函数曲线．，因此特性曲其特性方程解为(10.3.5)因此令进行自变量变换，则原偏微分方程变为(10.3.6)第24页第24页上式称为抛物型偏微分方程原则形式．3.椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程判别式，因此特性曲线是一组共轭复变函数族．其特性方程解为(10.3.7)若令第25页第25页(10.3.8)作自变量变换，则偏微分方程变为(10.3.9)上式称为椭圆型偏微分方程原则形式．第26页第26页10.4二阶线性常系数偏微分方程进一步化简

假如二阶偏微分方程系数是常数，则原则形式方程还能够进一步化简．下面按三种类型分别简介化简办法1.双曲型

对于下列含常系数第一个原则形式双曲型原则方程还可进一步化简第27页第27页注：上式中用小写字母代表常系数，以便与我们不妨令大写字母代表某函数区别开来,比如．为了化简，从而有(10.4.2)第28页第28页其中

由第二种原则形式双曲型偏微分方程（含常系数）能够进一步化简(10.4.3)式中均为常系数．若令第29页第29页

则有(10.4.4)(10.4.5)其中第30页第30页对于含常系数抛物型偏微分原则方程（含常系数）

（10.4.6）还能够进一步化简．上式中小写字母均为常系数．为了化简，不妨令从而有(10.4.7)2.抛物型第31页第31页3.椭圆型对于下列第一个原则形式椭圆型原则方程(含常系数)(10.4.8)还能够进一步进行化简．上式中小写字母为常系数．第32页第32页为了化简，不妨令从而有(10.4.9)其中第33页第33页

含有两个自变量线性偏微分方程普通形式也能够写成下面形式：其中L是二阶线性偏微分算符，G是x,y函数．线性偏微分算符有下列两个基本特性：10.5线性偏微分方程解特性第34页第34页其中均为常数．进一步有下列结论：1.齐次线性偏微分方程解有下列特性：为方程解时，则也为方程解；(1).当为方程解，则也是方程解；(2)若2.非齐次线性偏微分方程解含有下列特性：第35页第35页为非齐次方程特解，为齐次方程通解，则为非齐次方程通解；(1