25.1 锐角的三角比的意义（第1课时）同步练习

25.1锐角的三角比的意义（第1课时）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海·九年级专题练习）在Rt△ABC中，如果，那么表示的(

)A．正弦 B．正切 C．余弦 D．余切2．（2021·上海静安·九年级期末）如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（）A． B． C． D．3．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．4．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测量得知有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是()A．250m B．250m C．m D．250m二、填空题5．（2022·上海市青浦区教育局二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为________米．6．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为_____．7．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在中，∠C=90°，AB=13，AC=5，______．【能力提升】8．（2022·上海徐汇·九年级期末）如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．9．（2021·上海·九年级专题练习）已知如图，正方形ABCD的边长为4，取AB边上的中点E，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF．过点A作AH⊥DF于点H，交CE于点M，交BC于点N，则MN=_____．三、解答题10．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）矩形ABCD中，AB=AE=5，AD=3，求．11．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.求和的値．12．（2020·上海·九年级专题练习）已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图所示）.联结，当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域.

25.1锐角的三角比的意义（第1课时）（解析版）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海·九年级专题练习）在Rt△ABC中，如果，那么表示的(

)A．正弦 B．正切 C．余弦 D．余切【答案】D【分析】根据余切的定义求解可得．【详解】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴cotA=，故选D．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦、正切、余切的定义．2．（2021·上海静安·九年级期末）如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案．【详解】∵，，而，∴，故选：C．【点睛】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各角度的三角函数值是解题的关键．3．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义就可以解决．【详解】解：如图所示，Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．根据锐角三角函数的定义：A、∵tanA=，cotA=，，∴，故成立；B、∵tanA=，cotB=，，∴，故不成立；C、∵tanA=，cotB=，∴，故不成立；D、∵cotA=，tanB=，∴，故不成立；故选：A．【点睛】本题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，结合图形容易求解．4．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测量得知有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是()A．250m B．250m C．m D．250m【答案】A【详解】解：由已知得：∠AOB=30°，OA=500m．则AB=OA=250m．故选A．二、填空题5．（2022·上海市青浦区教育局二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为________米．【答案】【分析】由正切的定义分别确定的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案．【详解】解：如图，CD为树高，点C为树顶，则，BD=AD-100∴依题意，有由①得将③代入②，解得故答案为：．【点睛】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关键．6．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为_____．【答案】【分析】根据三角函数的定义直接解答．【详解】解：如图：∵在中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴tanA＝＝．故答案为．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键．7．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在中，∠C=90°，AB=13，AC=5，______．【答案】【分析】先根据勾股定理求出的长，再利用余切公式．【详解】解：中，，．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理以及余切定理，掌握这两个定理是解题的关键．【能力提升】8．（2022·上海徐汇·九年级期末）如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，，的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，可得，则，即可判断B选项，根据A选项可得，即，即可判断C，根据，可得，，即可判断D选项．【详解】解：，，故A选项正确，不符合题意；CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，，故B选项不正确，符合题意；，即，故C选项正确，不符合题意；，即，又故D选项正确，不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了三角形中线，高线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，找出图中相等的角是解题的关键．9．（2021·上海·九年级专题练习）已知如图，正方形ABCD的边长为4，取AB边上的中点E，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF．过点A作AH⊥DF于点H，交CE于点M，交BC于点N，则MN=_____．【答案】1【分析】如图，延长DF交AB于P．首先证明EF：CF=1：4，由△ADP≌△BAN，推出BN=AP，DP=AN，由PE∥DC，推出PE：DC=EF：CF=1：4，推出PE=BP=1，再证明∠NCM=∠NMC即可解决问题；【详解】解：如图，延长DF交AB于P．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠ABN=∠DAP=90°，∵AN⊥DP，∴∠APD+∠PAH=90°，∠ANB+∠PAH=90°，∴∠APD=∠ANB，∴△ADP≌△BAN，∴AN=DP，BN=AP，∵BF⊥EC，∴∠EBF+∠BEF=90°，∠BCE+∠BEC=90°，∴∠EBF=∠BCE，∴tan∠EBF=tan∠BCE=，∵AB=BC，BE=AE，∴tan∠EBF=tan∠BCE=，设EF=a，则BF=2a，CF=4a，∵PE∥DC，∴∵CD=4，∴PE=1，∵BE=2，∴PE=PB=1，∴PF=BE=1，AP=3，在Rt△ADP中，DP=∴DF=4，BN=AP=3，CN=1，∴BC=DF，∴∠DFC=∠DCF，∵∠BCE+∠DCF=90°，∠FMH+∠DFC=90°，∠FMH=∠NMC，∴∠NCM=∠NMC，∴MN=CN=1．故答案为1．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题掌握的压轴题．三、解答题10．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）矩形ABCD中，AB=AE=5，AD=3，求．【答案】3【分析】如图，过点E作EF⊥AB于F，则四边形EFBC为矩形，且在直角△AEF中，由勾股定理求得AF的长度，继而得到BF的长度，由等腰△ABF的性质推知tan∠AEB=tan∠ABE=，得解．【详解】∵矩形ABCD∴DC∥AB，AD=BC，DC=AB，∠D=∠C=90°，∴∠ABE=∠CEB，∵AB=AE=5，AD=3∴∠ABE=∠AEB，由勾股定理得DE==4∴CE=DC-DE=5-4=1∴【点睛】本题考查矩形的性质和解直角三角形，解题关键是熟练掌握三角函数定义．11．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.求和的値．【答案】2；2【分析】根据锐角的正切等于对边比邻边，余切等于邻边比对边即可解答．【详解】解：∵⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.∴，．即=2，=2．【点睛】本题考了锐角三角函数的定义，熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边是解题关键．12．（2020·上海·九年级专题练习）已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图所示）.联结，当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域.【答案】【分析】方法一：过点分别作于点，于点，首先证明四边形PEBF是矩形，进而得出，然后根据平行线分线段成比例得出，则有，然后分别表示出和，求比值即可找到答案；方法二：过点作于点，过点作于点，首先利用勾股定理求出AD的长度，然后根据锐角三角函数表示出QH，CM，然后分别找到和与的关系，从而答案可解