24.2 直角三角形的性质 同步练习

第24章解直角三角形24.2直角三角形的性质基础过关全练知识点1直角三角形斜边上的中线的性质1.(2023河南周口淮阳期末)如图，木杆AB斜靠在墙壁上，P是AB的中点，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动，则下滑过程中OP长度的变化情况是()A.逐渐变大 B.不断变小 C.不变 D.先变大再变小2.(2023海南海口九中海甸分校月考)一副三角板按如图所示的位置摆放，△BDE的直角边BD恰好经过Rt△ABC中斜边AC的中点M，BE交AC于点F，则∠BFM=°.

3.如图，已知点D是△ABC中边AB的中点，∠ACB=∠A+∠B，AC=6，BC=8，求CD的值.4.(2023山西晋城陵川月考)已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，CE是AB边上的中线，G是CE的中点，DG⊥CE于点G.求证：∠B=2∠BCE.[变式](2023湖南衡阳华新实验中学期中)如图，BD、CE是△ABC不同边上的高，点G、F分别是BC、DE的中点，试证明GF⊥DE.知识点2含30°角的直角三角形的性质5.(2023山西吕梁汾阳期末)如图，衣架框内部可以近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC，若AB=AC=26cm，D是BC的中点，∠ABC=30°，则AD的长为()A.11cm B.12cm C.13cm D.14cm6.(2023吉林长春绿园期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8.若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC的内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为.

7.(2023河南许昌禹州期中)图1是某超市门口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC=BD=62cm，且与闸机箱侧立面的夹角∠ACP=∠BDQ=30°.求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度.图1 图2能力提升全练8.(2022山西长治模拟)如图，在长方形台球桌上打台球时，如果击打黑球时入射角∠1=30°，恰好使黑球在上边框的点A处反弹后进入袋中，点A到右边框BC的距离为3，则黑球从点A到进袋所走过的路径AC约为()A.3 B.4 C.5 D.69.(2022辽宁大连中考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°.分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN.直线MN与AB相交于点D，连结CD，若AB=3，则CD的长是(A.6 B.3 C.1.5 D.110.(2023河南开封金明中学期末)如图，已知∠AOB=60°，点P在OA边上，OP=12cm，点E、F在边OB上，且PE=PF，若EF=2cm，则OE=cm.

11.(2023陕西西安碑林模拟)如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠CAB=30°，以AC为斜边作Rt△ADC.使∠ADC=90°，∠CAD=∠CAB，E、F分别是BC、AC的中点，连结EF、DE、DF，则DE的长为.

12.(2023河南鹤壁淇滨期中)如图所示，一轮船由西向东航行，早上8点，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，以每小时20海里的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛P在北偏东60°的方向上，已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险?13.(2023四川资阳安岳期末)已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=45°，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线.(1)求证：AE=CD；(2)求∠ACE的度数.14.(2023吉林长春净月期末)如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB=90°，∠ACB=90°，E是AB的中点.(1)求证：DE=CE；(2)若∠CAB=30°，∠DBA=40°，求∠DEC的度数.素养探究全练15.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，点F是BD的中点.(1)求证：EF⊥BD；(2)若∠BED=90°，求∠BCD的度数；(3)若∠BED=α，直接写出∠BCD的度数.(用含α的代数式表示)

第24章解直角三角形24.2直角三角形的性质答案全解全析基础过关全练1.C∵P是AB的中点，∠AOB=90°，∴OP=12AB∵木杆AB的长固定，∴OP的长度不变.2.75解析本题借助一副三角板考查直角三角形斜边上的中线的性质.∵M是Rt△ABC中斜边AC的中点，∴BM=CM，∴∠MBC=∠C=30°，∵∠DBE=∠DEB=45°，∴∠EBC=∠EBD+∠MBC=75°，∵∠BFM+∠FBC+∠C=180°，∴∠BFM=180°-30°-75°=75°.3.解析∵∠ACB=∠A+∠B，∠A+∠ACB+∠B=180°，∴∠ACB=90°，∵D是斜边AB的中点，∴CD=12AB.∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=AC2+∴CD=5.4.证明如图，连结DE，∵G是CE的中点，DG⊥CE，∴直线DG是线段CE的垂直平分线，∴DE=DC，∵AD⊥BC，CE是AB边上的中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE=BE=12AB.∵DE=DC，∴∠DEC=∠BCE，∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠BCE.[变式]证明如图，连结EG、DG，∵BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，点G是BC的中点，∴DG=EG=12BC，∵点F是DE的中点，∴GF⊥5.C∵AB=AC=26cm，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠ABC=30°，∴AD=12AB=13(cm)6.63解析如图，当点F与C重合时，△EFP的边长最大，周长也最大，∵∠ACB=90°，∠PFE=60°，∴∠PCA=30°，∵∠A=60°，∴∠APC=90°，在Rt△ABC中，AC=12AB=4.在Rt△ACP中，AP=12AC=2，∴PC=AC2−AP2=42−227.解析如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，在Rt△ACE中，∠ACE=30°，∴AE=12AC=12×62=31(cm)，同理可得BF=31cm，∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，∴31+12+31=74(cm)，∴当双翼收起时，能力提升全练8.D∵反射角等于入射角，∴∠1=∠2=30°.由题意可得∠2+∠3=90°，∴∠3=60°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=30°，∴AC=2AB=6.9.C由已知可得直线MN是线段AC的垂直平分线，设AC与MN的交点为E，∵∠ACB=90°，MN垂直平分AC，∴∠AED=∠ACB=90°，AE=CE，∴ED∥CB，∴△AED∽△ACB，∴AEAC=ADAB，∴12=ADAB，∴AD=12AB，∴点D为AB的中点，∵AB=3，∴CD=12AB=1.510.5解析如图，过P作PD⊥OB于D，∵PE=PF，EF=2cm，∴ED=FD=1cm，∵PD⊥OB，∴∠PDO=90°，∵∠POB=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=12OP，∵OP=12cm，∴OD=6cm∴OE=OD-ED=6-1=5(cm).11.22解析∵∠CAD=∠CAB，∠CAB=30°，∴∠CAD=30°，∵∠ADC=90°，点F是AC的中点，AC=4，∴DF=AF=12AC=2，∴∠CAD=∠ADF=30°，∴∠DFC=∠CAD+∠ADF=60°∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF=12AB=2，EF∥AB，∴∠EFC=∠BAC=30°，∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=90°.在Rt△DFE中，DE=DF2+E12.解析如图，作PC⊥AB于点C.∵∠PAB=90°-75°=15°，∠PBC=90°-60°=30°，∠PBC=∠PAB+∠APB，∴∠PAB=∠APB=15°，∴BP=AB=20×2=40(海里)，在Rt△PBC中，PC=12PB=40×12=20(海里)<22海里，即若轮船仍向前航行，13.解析(1)证明：如图，连结DE，∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵∠B=30°，∠ACB=45°，∴∠BAD=60°，∠DAC=∠ACD=45°，∴AD=CD，∵点E是AB的中点，∠ADB=90°，∴BE=DE=AE=12AB，∴△AED是等边三角形，∴AD=AE，∴AE=(2)∵DE=EB，∴∠B=∠EDB=30°，∴∠DEC+∠DCE=30°，∵DE=AD，AD=CD，∴DE=DC，∴∠DEC=∠DCE=15°，∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=30°，∴∠ACE的度数为30°.14.解析(1)证明：∵在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB=90°，∠ACB=90°，E是AB的中点，∴DE=12AB，CE=12AB，∴DE(2)在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB=90°，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∠DBA=40°，∴∠DAB=90°-∠DBA=50°，∠ABC=90°-∠CAB=60°，∵E是AB的中点，∴DE=12AB=AE，CE=12AB=BE，∴∠ADE=∠DAB=50°，∠ECB=∠ABC=60∴∠DEA=180°-2∠DAB=180°-100°=80°，∠CEB=180°-2∠ECB=180°-120°=60°，∴∠DEC=180°-∠DEA-∠CEB=180°-80°-60°=40°.素养探究全练15.解析(1)证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，∴DE=12AC，BE=12∴DE=BE，∴△BED是等腰三角形，又∵点F是BD的中点，∴EF⊥BD.(2)∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，∴DE=12AC=EC，BE=12AC=∴∠EDC=∠ECD，∠EBC=∠ECB，在四边形DEBC中，∠EDC+∠ECD+∠ECB+∠EBC+∠BED=360°，∠BED=90°，∴2∠ECD+2∠ECB