《点到直线的距离公式》示范课教学设计【高中数学人教】

《点到直线的距离公式》教学设计【提出问题，探究公式】问题1：如图，已知点，直线，如何求到直线的距离？追问1：如何求出的距离？答案：利用两点间距离公式，需要先求出P，Q点的坐标.其中，P点坐标已知，因此只需求出点Q的坐标.追问2：如何求出点的坐标？答案：点是直线与垂线的交点，所以联立两条直线方程求交点坐标.追问3：如何求垂线的方程？答案：已知一点，再求出直线的斜率，即可写出直线的点斜式方程.追问4：如何求垂线的斜率？答案：垂线与直线垂直，直线的斜率为，可得垂线的斜率.由此，求得垂线方程为，整理得.解方程组：将（1）×A+（2）×B得，整理得.同理可得，则.利用两点间距离公式，通分，原式.由此，求得点P到直线l的距离.追问5：如图，如果直线平行于轴，点到直线的距离还满足上式吗？答案：此时，到直线的距离,由，也表示为.追问6：如果直线垂直于轴，点到直线的距离还满足上式吗？答案：此时，到直线的距离，点到直线距离也可表示为.一般地，点到直线的距离：.【反思过程，简化方法】问题2：上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗?答案：原因在于，求出的点坐标比较复杂，再代入两点间距离公式造成了运算的复杂.追问1：能否不求出的坐标，推得点到直线距离公式?答案：设，观察两点间距离公式的结构，能否从方程组中直接写出，的表达式？由得将(3)、(4)两边分别平方后相加可得：，所以从而，.追问2：与第一种方法相比，第二种方法的计算量大大降低.能否概述简化运算的过程吗?答案：第二种方法的推导过程，实际上是从所求表达式的结构入手，虽然“设出”点Q的坐标，但是并不求出点Q的坐标，通过整体代换简化了运算.“设而不求”和“整体代换”也是运算中十分常用的方法.【多方联系，探究新法】问题3：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢?答案：如图，点到直线的距离是点与直线上所有点的距离中最短的.追问1：点P与直线l上任一点所成向量与向量有何关系呢？答案：设M（x，y）是直线l上的任意一点，是在直线方向上的投影.，其中n是与直线l的方向向量垂直的单位向量.追问2：如何用坐标表示向量n?答案：因为直线的斜率为，它的一个方向向量为，因此，由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个方向向量为，由此，与直线l垂直的单位向量由此便可计算的长度.因为，其中，所以(5)因为M（x，y）在直线l上，则.代入(5)式整理得.问题4：比较上述推导点到直线距离公式的“坐标法”和“向量法”两种方法，它们各有什么特点?答案：“坐标法”是通过寻找所求量的坐标表示，再经过一系列运算最终得到点到直线距离公式.坐标法运算量较大，所以我们还要寻求简化运算的方法.这里我们用到了设而不求，整体代换的手段.相比之下，“向量法”抓住了点到直线距离是点与直线上点的最短长度这一几何特征，借助投影向量、直线方向向量的概念，将向量用坐标表示，再运算求解.这种方法体现了解析几何形与数、数与形的转化，技巧性强，但是大大降低了运算量.其实“向量法”只是用到了向量的壳，本质上还是在用点的坐标运算.我们不是常说解析几何就是用代数方法研究几何问题.这里的代数方法就是把图形放入坐标系中，用点的坐标来刻画图形间的关系，这是解析几何的本质.【分析结构，理解公式】问题5：点到直线距离公式有什么结构特征？答案：公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把P的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系.特别地，如果P在直线上，点到直线的距离为0，此时，式子中的分子为0，整个式子也等于0.运算结果与实际相符.这么一来，这个公式可以表示平面内任一点到任一直线的距离.注意，因为所求的是距离，所以要加绝对值保证结果为正.【巩固应用，解决问题】例1：求点到直线的距离.答案：教师引导学生先把直线的方程写成一般式，然后运用点到直线的距离公式求解，这是公式的直接应用．进一步，引导学生通过画图或对直线方程的观察，发现方程表示的直线很特殊，因而可以直接运用横坐标差的绝对值求解．点P0（-1，2）到直线l：3x-2=0的距离.例2如图，已知△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积．答案：如图，设边AB上的高为h，则S△ABC=|AB|h．．边AB上的高h就是点C到直线AB的距离．边AB所在直线l的方程为，即x+y-4=0．故点C（-1，0）到直线l：x+y-4=0的距离.【回顾小结，提升认识】问题6：你能写出点到直线的距离公式吗？这个公式如何证明？公式证明的三种方法各有特点，谈一谈你的体会？答案：“坐标法”是解析几何问题中最本质的方法，是通过点的坐标建立方程再计算获得结论.第二种“坐标法”采用了“设而不求”的想法，通过整体代换的思