2023高考数学备考：高考数学填空题解法

2023：高考数学应瞬去

高考数学填空题的特征是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解

题”.填空题与选择题也有质的区别：第一，填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误

干扰之好处，但也有缺乏提示之不足;第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言

中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，

考查方法比较灵活.从历年高考数学成绩看，填空题得分率一直不是很高，因为填空题的

结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求

在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”

解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，

在“巧，，字上下功夫.解填空题的基本原则是“小题不能大做，，，基本策略是“巧做”.解填空题的

常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等.

方法一：直接法

直接法就是从题干给出的条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通

过变形、推理、计算等，直接得出结论.这种策略多用于一些定性的问题，是解填空题最

常用的策略.这类填空题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题

设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的

推理、合理的验证得出正确的结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意

识地采用灵活、简捷的解法.

例1.已知双曲线C1；-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,第一象限内的

点M(x0,y0)在双曲线C1的渐近线上，且MF1_LMF2,若以F2为焦点的抛物线C2：

y2=2px(p>0)经过点M,则双曲线C1的离心率为.

思路分析：由题意可得yO=xO,又由MF1J_MF2,可得y02+x02=c2,联立得xO=a,

yO=b,又由F为焦点的抛物线C2：y2=2px(p>0)经过点M,化简得c2-4ac-a2=0,根

据离心率e=,可得e2-4e-1=0,即可求解.

【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为y=±x,焦点为F1(-C,0),F2(c,0),

可得yO=xO......①

又MF11MF2,可得・=-1,即为y02+x02=c2……②由a2+b2=c2,联立①②可得xO=a,

yO=b,由F为焦点的抛物线C2：y2=2px(p>0)经过点M,可得b2=2pa,且=m即有

b2=4ac=c2-a2,即c2-4ac-a2=0,由e=,可得e2-4e-1=0,解得双曲线C1的离心率e=2+.

【点评】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥

曲线的离心率的方程是解答的关键.求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有

两种方法：①求出a,c的值，代入公式e=;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐

次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，

即可得e(e的取值范围).

例2.设球的半径为，该球的内接圆锥(顶点在球面上，底面为某平面与球的截面)的

体积为V,则V的最大值为.

【解析】依题意可知，圆锥与球的轴截面如图，

设圆锥的底面圆半径为r,高为h,

则(h-)+r2=(),即r2=h-h2,

所以V=?仔r2h=?仔(h2-h3)(0<h<),<p=""x/h<),<>

求导可得V'(h)=?仔(h-h2),当OvhO,当1vhv时,v'(h)<0,vp=""></hv时,

v'(h)<0,<></h

于是V(h)在(0,1)上单调递增，在(1,)单调递减，所以当h=1时，体积取得

最大值为.

故答案为.

例3.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知aADE

(A'?埸平面ABC)是AADE沿DE翻折过程中的一个图形，给出下列命题：

①平面AFGJ_平面ABC;

②BC〃平面A'DE;

③三棱锥A'-DEF的体积的最大值为a3;

④动点A，在平面ABC上的射影恒在线段AF上；

⑤直线DF与平面A'FG所成角为60°.

其中正确命题的序号是.(写出所有正确命题的序号)

【解析】由已知可得四边形ADEF是菱形，贝UDEJ_GA,DE1GA',DE1GF,所以

DE_L平面AFG,所以平面AFG_L平面ABC,①正确；

又BC〃DE,所以BC〃平面A'DE,②正确；

当平面ADE,平面ABC时，三棱锥A、DEF的体积达到最大，最大值为xxa2xa=a3,

③正确；

由平面AFG,平面ABC,可知点A，在平面ABC上的射影恒在线段AF上，④正确；

在翻折过程中，DF与平面AFG所成角是NDFG=30。，⑤不正确.

所以正确命题的序号是①②③④.

【点评】直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目

的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过

程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.

方法二：特例法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的

信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或

特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行

处理，从而得出待求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.

例4.已知函数f(x)=1+(aGR)为奇函数，则2=.

【解析】根据奇函数的特点，带入特殊值即可求出a的值.

函数f(x)的定义域为R,又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0,即1+=0,解得

a=-2.

【点评】(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)士f

(x)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得

出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个

区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程，从而可得f(x)的值或解析

式.

求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解

结论只有--种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方

法求解.本题中的发现函数过一个定点是本题的运用特值法的前提条件，从而减少了计算

量.

方法三：数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的

直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数

的图像及方程的曲线等，都是常用的图形.

例5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(e+x)=f(e-x),且f(0)=0,当XG(0,

e］时，f(x)=lnx.已知方程f(x)=sin(x)在区间卜e,3e］上所有的实数根之和为3ea.将

函数g(x)=3sin2(x)+1的图像向右平移a个单位长度，得到函数h(x)的图像，则

a=,h(8)=.

【解析】根据函数f(x)为偶函数且f(e+x)=f(e-x),所以f(x)的周期为2e,f

(x)=sin(x)的实数根是函数f(x)和函数y=sin(x)的图像的交点的横坐标，在平面

直角坐标系中画出函数图像，根据函数的对称性可得所有实数根的和为6e,从而可得参数

a的值，最后求出函数h(x)的解析式，代入求值即可.

因为f(x)为偶函数且f(e+x)=f(e-x),所以f(x)的周期为2e.因为xe(0,

e］时,f(x)=lnx,所以可作出f(x)在区间上e,3e］上的图像,而方程f(x)=sin(x)的

实数根是函数f(x)和函数y=sin(x)的图像的交点的横坐标，结合函数f(x)和函数y=sin

(x)在区间卜e,3e］上的简图，可知两个函数的图像在区间［-e,3e］上有六个交点.由图像

的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为6e,所以6e=3ea,故a=2.

因为g(x)=3sin2(x)+1=-cos+,

所以h(x)=-cos［(x-2)］+=cos(x)+.故h(8)=cos(4?仔)+=4.

故答案为2:8.

【点评】图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的

直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方

法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相

关结论求出结果.

方法四：构造法

构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而

简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本

方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到

过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快

速解决.

例6.设f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f(x),若f(x)+f'(x)<1,f(0)

=2018,则不等式exf(x)>ex+2017(其中e为自然对数的底数)的解集为.

【解析】构造函数g(x)=exf(x)-ex,通过求导及已知不等式可得出g(x)为递增

函数，再将原不等式化为g(x)>g(0)可解得.

令g(x)=exf(x)-ex,则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex(f(x)+f'(x)-1),

Vf(x)+f'(x)<1,/.f(x)+f'(x)-1<0,.,.g'(x)<0,g(x)在R上为单调递

减函数.

Vg(0)=f(0)-1=2018-1=2017,.•.原不等式可化为g(x)>g(0),根据g(x)

的单调性得x<0,...不等式exf(x)>ex+2017(其中e为自然对数的底数)的解集为(-8,

0),故答案为(血，0).

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性及单调性的应用，关键是构造函数，

考查了分析问题的能力，属于难题.

方法五：归纳推理法

做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给

出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般

性的结论来解决问题.归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大

胆地猜想.

例7.图中是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图

乙所示的一个树形图，我们彩用“坐标”来表示图乙各行中的白圈黑圈的个数(横坐标表示

白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数)比如第一行记为(0,1),第二行记为(1,2),

第三行记为(4,5)，照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为.

【解析】本题中如何求出第四行中白圈与黑圈的“坐标”是解题的一个关键，也是一个难