2023学年人教A版高一上学期数学讲义第1讲集合的含义与表示（解析版）

集合与函数概念

瞄［本章综述

现代数学是用集合语言描述的，数学靠它强大的逻辑力量成为刻画自然科学和社会科学的科学语言和

有效工具，深刻理解掌握这些概念、基本方法是成功跨入数学大门的前提。本章以集合知识为重点，涉及

的多是集合的基本运算，其中与不等式结合的含参试题体现了区分度。充分条件与必要条件这一节是必考

内容，由于本章节内容的工具性，因此相关试题的特点必然是综合其他知识，但主要是与其他各章节的最

基础的知识相结合，突显难度的试题不多，学习本章的总则：以集合为中心，简易逻辑化归为集合。

竿雄隼：位人号寸〒

教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向

1.函数的概念数学抽象水平1水平21.理解函数的概念和函

数的三要素，尤其是对

2.函数的三要素数学抽象水平2水平2应关系的实质。

【考查内容】函数的定义

2.掌握函数定义域、值域、值域的求法。

3.区间的概念与应用数学运算水平1水平1

域的求法，并能根据其

【考查题型】选择题、填

意义解决一些逆向问

空题

题。

4.复合函数与抽象函数数学抽象水平1水平2【分值情况】5分

3.理解复合函数的概

念，能求一些复合函数

知识通关

一、集合的含义

知识点1元素与集合的概念

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母。，仇C,…表示.

(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母…表示.

(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的.

(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性.

知识点2元素与集合的关系

关系概念记法读法

Q£A

属于如果a是集合A的元素，就说。属于集合/a属于集合A

a^A

不属于如果。不是集合/中的元素，就说。不属于集合4a不属于集合A

知识点3常用数集及表示符号

非负整数集

数集正整数集整数集有理数集实数集

(自然数集)

符号NN*或N*ZQR

题型一集合的判定问题

规律方法判断一组对象能否构成集合的依据例1、下列每组对象能否构成一个集合：

(1)我们班的所有高个子同学；

(2)不超过20的非负数；

(3)直角坐标平面内第一象限的一些点;

(4)V3的近似值的全体.(3)中由于“较胖”的标准不明确，不满足

集合元素的确定性，所以不能构成一个集合。

解析：

(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成

集合.题型二元素与集合的关系

规律方法判断元素与集合关系的两个关键点

(2)任给一个实数x,可以明确地判断是不,是

“不超过20的非负数”，即“04x〈20”与

判断一个元素是否属于一个集合，一要明确

"%>20曲<0",两者必居其一，且仅居其一，故

集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否

“不超过20的非负数”能构成集合；

满足该集合中元素的共同特征.

(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是

否在.“一些点”中无法确定，因此“‘直角坐标平面

内第一象限的一些点”不能构成集合；

例2、(1)给出下列关系：②叵史Q：

⑷“百的近似值”不明确精确到什么程度，

因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，③|一3|2N；@|-V3e2|；⑤0后N.其中正确的

所以“V3的近似值”不能构成集合.

个数为()

A.1B.2C.3D.4

【变式训练1】(2)集合A中的元素x满足-9—eN,xwN,则集

3-x

下列每组对象是否构成一个集合：

合A中的元素为

(1)数学必修一课本中所有的难题；

(3)集合A={x|x=4+,判断

(2)方程V—16=0在实数范围内的解；

下列元素0,——,广।L

与集合A的关系

V2-1V3-V2

(3)高一年级全体较胖的学生。

(4)己知集合加={(x,y)|x+y=2},

解析：

N={(x,y)|x—y=4},若aeMELaeN,

(1)“难题”无明确的标准，对于某个题是

否“难”无法客观地判断，因此不能构成一个集合;

那么a为()

(2)任给一个实数“X”，可以明确地判断

A.{3,-1}B.(3,-1)

是否是该方程的解，两者必居其一，因此能构成一

个集合；C.{(3,-1)}D.{x=3,y=—1}

解析：x=3

程组的解，即《且4是元素而不是集合。

U=T

(1)①②正确；③④⑤不正确.

答案⑴B(2)0,1,2

3-x

(3)OGA,—7=^—£A,」「€A

V2-1V3-V2

...当x=0时”-9—=2eN,x=0满足题意;

3-x

(4)B

当x=l时，4-=3eN,，x=l满足题意；

【变式训练2】

3-x

(1)用适当的符号填空：

当工=2时，-9—=6eN,；.x=2满足题意；

3-x已知A={x|x=3攵+2,攵£Z},

当x>3时，一9一<0不满足题意，B={x\x=6m—l.meZ},则有：

3-x

17A；-5A；17Bo

所以集合A中的元素为0,1,2.

(2)已知集合M={JC|X=3〃,"£Z},

(3)由于工=。+

N={X|X=3〃+1,〃£Z},

二①当〃=匕=0时，x=O,0eA

P={x\x=3n-\.n^Z}

②以—=V2+1=1+V2

且。£知,〃£?/,(?£2，设4=。一/?+。，则()

V2-1

，当。=。=1时，。+41b=1+V2A.d£MB.deN

C.d^PD.以上都不对

解析：

③-1_=百+痣(1)由3女+2=17,解得左=5wZ/.17GA；

V3-V2

7

由3攵+2=—5解得攵=——eZ,・••一5宏A；

当a=yfi,人=1时，a+yplb—V3+V2,3

由6m—1=17解得〃2=36Z,17eB0

但A/3任Z-；=产任Ao

V3-V2

(2)设a=3n,b-3m+1,c—35—1,m,〃，5GZ

(4)。是方程x+y=2和x-y=4联立的方

则d=3n-(3m+1)+(3s-1)

=3(n-m+s)-2当a=—l时，A={-3-3,12},

=3(“一zn+s—1)+1不符合集合中元素的互异性，舍去；

，deN故选B37

当a=—二时，A={——-3,12},满足题意

22

答案(1)G/e(2)B

3

故a=—

题型三集合中元素的特性2

规律方法利用集合中元素的互异性求参数的策答案-士3

略及注意点2

(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解

出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互【变式训练3】

异性对集合中的元素进行检验.已知集合A={a+2,(a+l)2,/+3。+3},

(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题若leA,求实数a的值。

解析：

(1)若。+2=1,则a=—1,此时A={1,O,1},

例3、已知集合A={a-2,2a2+5a,12}，且—3eA与集合中元素的互异性矛盾，舍去；

求。的值。(2)若(a+l)2=1,则a=0或a=—2

解析：当。=0时，A={2,1,,3},满足题意；

由于—3eA,故一3为集合A中的元素，因此

当a=—2时，A={0,1,1},与集合中元素的互

—3=a—2或一3=2。2+5。，分别解这两个方程异性矛盾，舍去；

再检验即可。

(3)若。2+3。+3=1,则a=—1或a=—2由

VA={a-2,2a2+5a,12},且一3eA上述过程知，都不满足题意；综上所述，a=0

答案0

/.—3=a—2或—3=2a2+5a

„3

解得a=—1或a=—

2二、集合的表示

知识点集合的表示方法(2)8={x[(x-l)2(x-2)=0}；

(1)列举法：

(3)Af={(x,y)|x+y=4,xeN”,ywN“'}

①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花

括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法：(4)P=

6-x

②形式：A={a,a,a,...,a].

i2in解析：

(2)描述法：(1)V|x|<2,XGZ

①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合

—2<x<2,xGZ

的方法称为描述法；

**•x——2,—1,0,1,2

②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素

的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，r.A={-2-1Al,2}

在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

(2)和2是方程(x—l)2(x—2)=0的根,

B={1,2}

(3)•••x+y=4”N*,yeN",

题型四用列举法表示集合

X=\px=2x=3

规律方法用列举法表示集合的三个注意点或<t<

y=3y=2I)'T

(1)用列举法表示集合时，首先要注意元素

是数、点，还是其他的类型，即先定性.AAf={(1,3),(2,3),(3,1)}

(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素

(4)<~^—WN,XGN

个数较少时，用列举法表示集合比较方便.6-x

(3)搞清集合是有限集还.是无限集是选择6

----20日口6—x>0

6-x即’

x>0x>0

/.0<x<6,

/.x=0,1,2,3,4,5

例4、用列举法表示下列集合:

当x=0,3,4,5这4个自然数时,

(1)A={x|国<2,xeZ}；

二^=1,2,3,6也是自然数,x要满足条件x=K,

6-xq

〃={0,3,4,5}123

.,.£={0,4)

【变式训练4】

用列举法表示下列集合：

(1)C={y|y=-x~+4,xeN,yeN}

题型五用描述法表示集合

(2)£>={(%,y)|y--x2+4,xeN,y^N}；

规律方法用描述法表示集合的注意点

(3)E={x[E=x,p+q=5,peN,qeN*1。

q

(1)“竖线”前面的xeR可简记为x；

解析：

(2)“竖线”不可省略；

(1)由y=-/+4,xeN,ywN知

(3)p(x)可以是文字语言，也可以是数学符

0<y<4,0<x<2号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表

示；

...x=0,1,2时，y=4,3,0,符合题意,

AC={0,3,4}

(2)•.•点(x,y)满足条件

2

y=-x+4,x&N,y&N,则有例5、用描述法表示下列集合：

x—0,x—1,x—2,(1)正偶数集；

<<«

7=4,[y=3,[y=0,

(2)被3除余2的正整数的集合；

.•.£>={(0,4),(1,3),(2,0))

(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.

(3)依题意知p+q=5,peN,qeN”,

解析：

p=0,〃=1,1p=2,p=3/〃=4,(1)偶数可用式子x=2〃,〃eZ表示，但此题要

则《<

<7=5,q=4,q=3,q—2,q=1.求为正偶数，故限定〃eN*,所以正偶数集可表示

为{x|x=2〃,〃eN*\.{(x,y)|x<0,y>0}.

(2)设被3除余2的数为x,则x=3〃+2,【变式训练5-2】

neZ,但元素为正整数，故x=3〃+2,〃eN,

用描述法表示图中阴影部分点(含边界)的

所以被3除余2的正整数集合可表示为坐标的集合.

{x|x=3〃+2,“wN}.

(3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中

至少有一个为0,即盯=0,故.坐标轴上的点的集

合可表示为{(x,y)|孙=0}.

【变式训练5-1】解析：

用描述法表示平面直角坐标系中位于第二本题是用图形语言给出的问题，要求把图形

象限的点的集合.语言转换为符号语言.用描述法表示(即用符号语

言表示)为

解析：

31

位于第二象限的点(x,y)的横坐标为负，纵坐{(x,y)|-l<x<-,--<y<l,xy>0}

标为正，即x<0,y>0,故第二象限的点的集合为

思维拓展

-设实数集s是满足下面两个条件的集合

考向一集合中的探索性问题

①1三s;②若aes,则——es

\-a

规律方法

集合离不开元素，元素是集合的核心，所以(1)求证：若aes,则1-工es;

解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入a

手，作为解题的切入点。解此题关键在于由已知

(2)若2es,则在s中必含有其他的两个数，试求

aeA,aR1,得至U---GA,-----：—sA,然后

l-«i―1.出这两个数；

1-67

(3)求证：集合s中至少有三个不同的元素。

逐步探索，再根据集合中元素的互异性，从而将

问题加以解决.(3)中用到反证法的解题思想.解析：

综上所述，集合S中至少有三个不同的元素。

(1)证明：由aes,则一—es

\-a【变式训练6】

可得——ws.

数集"满足条件：若aeM,则

"一且。70).若3eM,

\—a

则在M中还有三个元素是什么？

解析：

故若aws,贝V3eM,=-2eM,

a1-3

.1+(—2)

--&M,

(2)由2es,贝ij---=_1Gs',■,1-(-2)3

1-2

由一1es,则——-——=—e5,

1-(-1)2

而当时，一［=2es,又回到了开始

2I-1

2

因此当2es时，只有另两个元素一les,又：-2-=3eM

2

1--

2

(3)证明：由(2)知aes时，--—£5,1-—€5

1-42a

.,.在M中还有三个元素一2,—1,g.

下证a,—,1-4三者两两互不相等

\-aa

①若a=-L,即/一。+1=0,无解，答案一2,-；,2

1-a

考向二集合中含参问题

②若a=l—L,即。+1=0,无解，规律方法集合中含参问题的处理方法

a

所以a71——；分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种

a

重要的数学方法，它适用于解答从整体上难以解

③若」一=1一,，即/一。+1=0,无解,决的数学问题。它适用于解答从整体上难以解决

\-aa的数学问题。运用分类讨论思想解决问题时，把

所以一1—所给的已知条件的集合进行科学的划分十分必要，

\-aa必须遵循不重不漏和最简的原则，其一般步骤是：

(1)考察分类讨论的原因和必要性；

(2)明确讨论对象，确定对象的范围：

(3)确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏;

(4)逐类讨论，获得阶段性结果：

已知集合M=[-2,3x2+3x-4,x2+x-4],

若2GM,求x

解析：

例7、已知集合A={x,xy,,

\xy当3x~+3x—4=2时，即x?+x—2—0,

则x=-2或x=l.

5={0,|乂,训且4=6,则（x,y）=

解析：经检验，x=—2,x=l均不合题意.

由已知OeB,A=B,贝ij

当x?+x—4=2时，即x~+x—6-0,

集合A中必有一个元素是0,

则x=-3或r=2

当x=O或呼=0时，则分母无意义，

经检验，x=-3或c=2均合题意.

故A中必然是、二--1=0,

综上所述，x=-3^x=2.

v^y

答案-3或2

解得孙=1,

由此推测B中必有一个元素为1,考向三集合与方程的综合问题

故分W=1和y=1两种情况讨论，

规律方法集合与方程的综合问题的解题思路

若国=1,解得X=±l;

（1）弄清方程与集合的关系，往往用集合表示

当x=1时，•.•孙=1,，y=1,

方程的解集，集合中的元素就是方程的根。

则集合A={l,l,0},与集合的互异性矛盾，舍去；

（2）当方程中含有参数时，若方程是一元二次

当％=-1时，则y=-l,方程，则应综合应用一元二次方程的相关知识

求解。若知道其解集，利用根与参数的关系，

此时集合A={-1,1,0},B={0-1,1,）满足题意；

可快速求出参数的值（或参数之间的关系）；

若y=l,由前面可知，与集合互异性矛盾，舍去;

若知道解集中元素个数，利用判别式可求参数

综上所述，x=_l,y=_l的取值范围。

答案（-1,-1）

【变式训练7】

9

-

答案(1)a＞8

』

例8、已知集合4=卜6班氏2-3%+2=0,。£尺｝=(A停

(2)当

(1)若A中不含有任何元素，求a的取值范围94

A于

当。=-

(2)若A中只有一个元素，求。的值，并把这个8={

元素写出来

、9

(3)a-0或a＞—

(3)若A中至多有一个元素，求。的取值范围8

解析：【变式训练8】

集合A是方程以2—3%+2=0在实数范围内A是由方程ax2+2x+l=0(awR)的实数根组

的解集成的集合。

(1)A中不含有任何元素，

即方程以2-3x+2=0无解，则

(1)当A中有两个元素时，求a的取值范围；

2

①当。=0时，a？-3x+2=0的解为》=一，不(2)当A中没有元素时，求a的取值范围；

3

合题意(3)当A中有且仅有一个元素时，求a的值，并

求出此元素。

QW09

②，解得〃＞三

△=(—3)2—8。＜08解析：

(1)当A中有两个元素时，即

2

(2)当。=0时，方程有一解为X=—；

3

方程办2+2x+1=0有两个不相等的实数根

9

当时，△=(),即。=—时，方程有两相等

8.••。/0,且&=4-4。＞0,解得口＜1且。/0

的实数根，

(2)当A中没有元素时，即

,4

即A中只有一个元素为x=—

3

方程以2+2%+1=0没有实数根

9

所以当”=0或。=—时，A中只有一个元素，

8/.a丰0,且A=4—4。＜0,解得a＞1

分别为2*或？4

33(3)当A中有且仅有一个元素时，

(3)A中至多有一个元素，包括A中不含有元素和

即方程aV+2x+l=0有一个实数根

A中只有一个元素两种情况，据(1)(2)的结果,

a

得a=0或或两个相等的实数根。则

8

①当。=0时，方程的根为x=—,；

(3)当a=0时，A={--}；

22

②当awO时，A=4—4a=0,解得”=1,当a=l时，A={—1}

此时x=-l

故当a=0时，x=；当a=l时，x=-l

2

答案（1）a<l且a/0

（2）a>\综合训练

客［A组基础演练

一、选择题

1..下列各组对象不能构成集一合的是（）

A.所有直角三角形

B.抛物线y=N上的所有点

C.某中学高一年级开设的所有课程

D.充分接近小的所有实数

解析：A、B.、C中的对象具备“三性”，而D中的对象不具备确定性.

答案D

2.给出下列关系：

①gdR；@V2«ER；③|一3|GN；④|一小|WQ.

其中正确的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：①③正确.

答案B

3.下列各组中的两个集合M和N,表示同一集合的是（）

A.M={n},N={3.14159}

B.M={2,3},N={（2,3）}

C.-14W1,x《N},N={\}

D.M={1,S，n},N={n，1,|一点|}

解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集,

选项C中集合M={0』},只有D是正确的.

答案D

4.已知集合4中只含1,层两个元素，则实数“不能取（）

A.1B.-1

C.-1和1.D.1或一1

解析：由集合元素的互异性知，。2/1,即aW±l.

答案C

5.集合{xGN*lx-3<2}的另一种表示法是（）

A.{0,123,4}B.{1,2,3,4）

C.{0,1,234,5}D.{1,2,3,4,5}

解析："：x-3<2,xGN*,xCN*,

.♦.x=l,2,3,4.故选B-.

答案B

6.己知集合4={0,1,片},5={1知,2a+3},若A=B，则〃=()

A.-1或3B.0或-1C.3D.-1

解析：由于A=8，故/=2。+3，解得a=—1或a=3.

当〃=一1时，/=],与集合元素互异性矛盾，故。=一1不正确.

经检验可知a=3符合.

答案C

二、填空题

7.若a,b^R,且aWO,后0,则呼+耳的可能取值所组成的集合中元素的个数为

解析：当必＞0时，号+臂=2或-2.

当岫＜0时，囤+粤=0,

ab

因此集合中含有一2,0,2三个元素..

答案3

8.集合M中的元素y满足y^N,且y=l—若则a的值为

解析：由y=l—且yCN知，

y=0或1,.,.集合M含0和1两个元素，又

.'.a—0或1.

答案0或1

9.设集合A={1,-2,/_]},B={I,苏―3。,0},.若从，8相等，则实数a=—

a2—1=0,

解析：：由集合相等的概念得，解得a=l.

la2-3a=~2,

答案：1

10.已知集合A={x|2r+a＞0},且1初，则实数a的取值范围是.

解析：阵{x|2v+tf>.0},

；.2Xl+aW0,即aW-2.

答案aW—2

三、解答题

11.(1)已知集求M；

(2)已知集合.C={T&CZWeN},求C.

解析：(l)：xWN,2WZ,

；.l+x应为6的.正约数.

；.l+x=1,