湖南省岳阳市四区三十五校2022年中考模拟（第二次）数学试题（含答案与解析）

2022年岳阳市四区三十五校联考试题

数学

温馨提示:

1.本试卷共3道大题，24小题，满分120分.考试时量90分钟;

2.本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区

域内.

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选

出符合要求的一项）

i.下列实数中，为无理数的是（）

£

A.3.14B.n71D.

3

2.下列几何体中，俯视图为矩形的是（)

3.如图，AB//CDtNl=。，AF平分/84E,)

B.a+15°C.a+30°D.2a

4.下列计算正确是（)

A.a2+a3=a5B.2〃3：〃=2〃2C.(3a2)3=9〃6D.(a-b)2=a2-b2

5.函数y=Jx+2中,自变量X的取值范围在数轴上表示正确的是（）

ABD.

0-4000

6.某校计划开展秋季运动会，九年级六班A、B、C、。共4名男同学报名男子立定跳远项目，班主任为选

出1名成绩好且发挥稳定的同学参加本次运动会,于是让这4名同学各跳10次，他们的平均成绩及其方差

如表，则班主任应选（）

测试者平均成绩（单位：m）方差

A2.70.20

B1.9030

C1.90.18

D2.70.32

A.A同学B.B同学C.C同学D.Z）同学

7.下列各命题中，真命题是（）

A.两点之间，射线最短B.不在同一直线上的三个点确定一个圆

C.对角线相等的四边形是矩形D.三角形的外心是三角形三条高的交点

8.定义：我们将某函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，从而形成新图象的过程称为

“非正变换”.已知抛物线y=-f-2x+3的图象如图所示，则将其进行“非正变换”后得到的图象与直线y

有四个交点时〃?的范围是（）

上<加<3C.--<m<-\D.-<m<3

444

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）

9.因式分解：m2-3m=

10.每日傍晚，岳阳楼前，华灯初上，歌舞升平，今年五一期间“夜游岳阳”活动如期登场，吸引来自各

地的游客前来打卡.据统计，截止5月4日中午12：00,岳阳楼景区累计营业收入超过7400000元.数

字7400000用科学记数法表示为.

X+l20

11.不等式组《c,八的解集是.

2x-4<0

12.从分别标有数-1,0,1,2,3的五张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上的数小于1的概率是

13.已知一个正多边形的内角和为360。，则它的一个外角的度数为.

14.若2x+3>--6的值是3,则6x+9），+II的值是.

15.《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：”昨日丈量地回，记得长步整三十.广斜相并五十步，不知几亩

及分厘其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步.不知

该田有几亩？请我帮他算一算，该田有一亩（1亩=240平方步）.

16.如图，在锐角△ABC中，AC=\2,以AC为直径作。。，交8c边于点M,M是8C的中点，过点M

作。。的切线交AB于点N.

①若乙4=50°,则场=；

②若MN=4,则tmZBMN=

三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.计算：g）T-3tan30。一（万-2022）°+卜一百］.

18.如图，四边形ABCO是平行四边形，点E为边BC的中点，连接QE并延长交AB的延长线于点F.求

证：AB=BF.

19.如图，已知反比例函数产一与正比例函数产气（原0）的图象交于A（4,m）,3两点.

x

V

(1)求该正比例函数的表达式；

(2)将点B向下平移4个单位得到点C,连接OC、AC,求^AOC的面积.

20.高尔基说：“书，是人类进步的阶梯.”阅读可以启智增慧，拓展视野.为了解学生寒假阅读情况，

开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期(28天)的阅读总时间作了随机抽样分析.设被抽样的每

位同学寒假阅读的总时间为f(小时)，阅读总时间分为四个类别：4(0Wf<12),B(12<r<24),C

(24Wr<36),DG236),将分类结果制成两幅统计图(尚不完整).

根据以上信息，回答下列问题：

(1)本次抽样的样本容量为，请补全条形统计图；

(2)扇形统计图中。的值为,圆心角B的度数为；

(3)若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？

(4)政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读

之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率.

21.近期，上海新冠肺炎疫情牵动着全国人民的心，为帮助上海人民平稳渡过这次疫情，长沙紧急调配一

批蔬菜共计500吨驰援上海，原计划使用中型卡车运输，后因车辆调度原因实际调整为重型卡车运输，在

每辆车刚好装满的情况下实际比原计划少用30辆车，已知每辆重型卡车运货量是中型卡车的2.5倍，则每

辆重型卡车的运货量是多少吨？

22.某种落地灯如图1所示，立杆48垂直于地面，其高为120cm,BC为支杆，它可绕点8旋转，其中

8c长为30cm,CD为悬杆，滑动悬杆可调节8的长度，支本F与悬杆。之间£

70°.

4\1B

A

图1图2图3

(1)如图2,当月、B、C三点共线且CO=50cm时，求灯泡悬挂点/)距离地面的高度；

(2)在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转50°,同时调节8的长(如图3),此时测得

灯泡悬挂点。到地面的距离为160cm,求C£>的长.(结果精确到1cm,参考数据：sin70°心0.94,

cos700-0.34,tan70°—2.75,sin500弋0.77,cos50°-0.64,tan50°=«1.19)

23.如图，在菱形ABC。和等腰△£>样中，DE=EF,/A£>C=2NEDF=2a,点F在边A8上，对角线

BD交EF于点、G.

(1)求证：△DEGSXDAF；

(2)如图2,连接CE,若a=30。，AF=6CE.

①求”的值；

CE

②求证：点G为线段EF的中点；

EF

(3)如图3,延长在交CO于”，若BF=24尸，请直接写出——的值(用含a的式子表示).

EH

,3

24.如图1,直线y=2x+2交x轴于点4,交y轴于点C,过A、C两点的抛物线y=+C与x轴

的另一交点为艮

(1)求该抛物线函数表达式；

(2)如图2,点。是抛物线在第一象限内的一点，连接。Q,将线段。。绕。逆时针旋转90°得到线段

OM,过点M作出〃*轴交直线AC于点N.求线段的最大值及此时点。的坐标；

(3)在(2)的条件下，若点£是点A关于)，轴的对称点，连接。E,试探究在抛物线上是否存在点P,

使得NPE£>=45°?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选

出符合要求的一项）

1.下列实数中，为无理数的是（）

A3.14B.74C.兀D.1

【答案】C

【解析】

【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数''逐个分析判断即可.

【详解】解：在3.14,74=2.兀,g中，3.14,“万，g是有理数，乃是无理数，

故选C

【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环

小数，③含有左的数.

2.下列几何体中，俯视图为矩形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】找到从上面看所得到的图形为矩形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中,

看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线.

【详解】解：A、从上面看，俯视图是一个圆，故不符合题意；

B、从上面看，俯视图是矩形，符合题意；

C、从上面看，俯视图是一个圆，不符合题意；

D、从上面看，俯视图是圆，且中间有一个点；

故选：B.

【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

3.如图，AB//CD,Zl=«,AF平分NBAE,则N2的度数为（）

A.aB.a+15°C.a+30°D.2a

【答案】D

【解析】

【分析】根据A3||CO,得出，根据4尸平分NBAE,得出NEAF=NBAF=a,最后根

据外角的性质即可得出结论.

【详解】解：：人吕||CO,

NBAF=N1=a>

平分NBAE,

ZEAF^ZBAF=a,

•••/2是44EF的外角，

：.Z2=Z1+ZEAF=2i,故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，根据题意得出

ZEAF^ZBAF^a,是解题的关键.

4.下列计算正确的是()

A.a2+a3=a5B.2a^a=2a2C.(3a2)3=9«6D.(a-b)2=a2-b2

【答案】B

【解析】

【分析】根据合并同类项，同底数基相除，积的乘方，完全平方公式，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、居和苏不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；

B、2a39a=2“2,故本选项正确，符合题意；

C、(3/)3=27〃6,故本选项错误，不符合题意；

D、(a-b)2=a2-2ab+b2,故本选项错误，不符合题意；

故选：B

【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数基相除，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则

是解题的关键.

5.函数y=中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是()

【答案】D

【解析】

【分析】根据负数没有算术平方根求出x的范围，表示在数轴上即可.

【详解】解：由y=675,得到x+2K),

解得：x2-2,

表示在数轴上，如图所示:

广'

故选D.

【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞,引向右

画；＜,W向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等

式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“》”，“W”要用实心

圆点表示；“＜”，要用空心圆点表示.

6.某校计划开展秋季运动会，九年级六班4、B、C、。共4名男同学报名男子立定跳远项目，班主任为选

出1名成绩好且发挥稳定的同学参加本次运动会，于是让这4名同学各跳10次，他们的平均成绩及其方差

如表，则班主任应选（）

测试者平均成绩（单位：m）方差

A2.70.20

B1.90.30

C1.90.18

D2.70.32

A.A同学B.8同学C.C同学D.D同学

【答案】A

【解析】

【分析】平均数可以确定成绩高低，方差可以判断成绩的稳定性，从而分析求解.

【详解】•••/!和D的平均成绩比B和C的平均成绩高，

和。的成绩比较好，

VA同学成绩的方差比D同学成绩的方差小，

同学成绩比D同学成绩更稳定，

这四位同学，成绩较好，且成绩较稳定的是4同学，

故选：A.

【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据偏离平均数越

大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

7.下列各命题中，真命题是（）

A.两点之间，射线最短B.不在同一直线上的三个点确定一个圆

C.对角线相等的四边形是矩形D.三角形的外心是三角形三条高的交点

【答案】B

【解析】

【分析】根据线段的性质，圆的的确定方法，矩形的判定定理以及三角形外心的定义依次判断解答.

【详解】解：A、两点之间线段最短，故该项不是真命题；

B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故该项是真命题：

C、对角线相等的平行四边形是矩形，故该项不是真命题；

D、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故该项不是真命题；

故选：B.

【点睛】此题考查了真命题的定义：正确的命题是真命题，熟记线段的性质，圆的的确定方法，矩形的判

定定理以及三角形外心的定义是解题的关键.

8.定义：我们将某函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，从而形成新图象的过程称为

“非正变换已知抛物线y=-/-2x+3的图象如图所示，则将其进行“非正变换”后得到的图象与直线y

=x+机有四个交点时，〃的范围是()

--<3

C.D.~—<m<3

444

【答案】A

【解析】

【分析】先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x轴有四个交点的情形，最后求得直线

的解析式，从而可求得，"的值.

【详解】解：由)=0可知，抛物线与c轴交于A(-3,0),8(1,0)两点,

“非正变换”后的图像如下图所示：

当xV-3或c>l时，由图像可得函数解析式仍y=-F2x+3,

当-30烂1时，计算可得函数解析式为y=/+2x-3.

当直线与抛物线交于A点时，此时交点数为1；在A8点中间交点数为2；

向下移动至B点时，交点数为3,再向下移动则交点为4；

向下移动至与抛物线相切时交点为3,在这之前交点为4个.

y=x2+2x-3

联立抛物线与直线,，

y=x+m

得x2+x-3-m=0,

抛物线与直线只有一个交点，所以方程有两个相等的实数根，

:.△=l-4x(-3-m)=0,

13

m=---,

4

.B

・・1TL>-.

4

综上，---V/7/V-1.

4

故选：A.

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出如图，找出新图象与直线尸x+加有四个不

同公共点的条件是解题的关键.

二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，满分32分)

9.因式分解：m2-3m=.

【答案】

【解析】

【分析】题中二项式中各项都含有公因式”2,利用提公因式法因式分解即可得到答案.

【详解】解：nr-3m=,

故答案为：〃?（加一3）.

【点睛】本题考查整式运算中的因式分解，熟练掌握因式分解的方法技巧是解决问题的关键.

10.每日傍晚，岳阳楼前，华灯初上，歌舞升平，今年五一期间“夜游岳阳”活动如期登场，吸引来自各

地的游客前来打卡.据统计，截止5月4日中午12：00,岳阳楼景区累计营业收入超过7400000元.数

字7400000用科学记数法表示为.

【答案】7.4xlO6

【解析】

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为axlO",其中1<时<10,〃为整数，按要求表示即

可.

【详解】解：根据科学记数法要求，7400000的7后面有6个数字，从而用科学记数法表示为7.4x106,

故答案为：7.4x106.

【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定。与〃的值是解决问题的关键.

fx+l>0

11.不等式组心,，、的解集是________.

2x-4<0

【答案】一l〈x<2

【解析】

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找

不到确定不等式组的解集.

fx+l>0®

【详解】解：c“八…

[2x-4<0②

解不等式①得：x>-l,

解不等式②得：%<2,

不等式的解集为：TWxV2.

故答案为：—lWx<2.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键.

12.从分别标有数-1,0,1,2,3的五张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上的数小于1的概率是

2

【答案】-##0.4

【解析】

【分析】从分别标有数-1,0,1,2,3的五张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上的数小于1的有2种

情况，直接利用概率公式求解即可求得答案.

【详解】解：..•从分别标有数-1,0,1,2,3的五张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上的数小于1的

有2种情况，

2

所抽卡片上的数小于1的概率是：y.

2

故答案为二.

【点睛】本题考查列举法求概率，掌握列举法求概率方法，熟记概率公式是解题关键.

13.己知一个正多边形的内角和为360。，则它的一个外角的度数为.

【答案】90°##90度

【解析】

【分析】首先设此多边形为〃边形，根据题意得：180。（〃-2）=360。，即可求得〃=4,再由多边形的外角

和等于360。，即可求得答案.

【详解】解：设此多边形为〃边形，

根据题意得：180°（42）=360°,

解得：n=4,

这个正多边形的每一个外角等于：360。+4=90。.

故答案为：90°.

【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识.关键是掌握多边形内角和定理：（〃-2）T80。，外角

和等于360°.

14.若2x+3y-6的值是3,则6x+9y+11的值是.

【答案】38

【解析】

【分析】将代数式化简，然后由已知可得2x+3y=9,代入即可求解.

【详解】解：：2x+3y-6的值是3,

/.2x+3y=9,

；.6x+9y+11=3（2x+3y）+l1=3x9+11=38,

故答案为:38.

【点睛】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键.

15.《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十.广斜相并五十步，不知几亩

及分厘其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步.不知

该田有几亩？请我帮他算一算，该田有一亩（1亩=240平方步）.

【答案】2.

【解析】

【分析】根据矩形的性质、勾股定理求得长方形的宽，然后由矩形的面积公式解答.

【详解】设该矩形的宽为x步，则对角线为（50-x）步，

由勾股定理，得3。2+/=（50-%）2,

解得x=16

故该矩形的面积=30x16=480（平方步），

480平方步=2亩.

故答案是：2.

【点睛】考查了勾股定理的应用，此题利用方程思想求得矩形的宽.

16.如图，在锐角△ABC中，AC=12,以AC为直径作。O,交BC边于点M,M是8C的中点，过点M

作。。的切线交于点N.

①若/A=50°,则岳1/=:

②若MN=4,则tanZBMN=.

【答案】①.v©•上芭

32

【解析】

【分析】（1）如图，连接OM,易得是aABC的中位线，继而可得OM〃A8,OM=-AB,由平行

2

线的性质可得ZCOM=NA=50°,继而根据弧长公式即可求得而，

（2）连接AM,根据圆周角定理可得4MC=90°,继而易得△ABC是等腰三角形，根据切线的性质可

BNMN

得继而易得肱V〜AMAN,由相似三角形的性质可得——=——，设BN=x,

MNAN

AN=n-x,可得关于x的方程，解方程即可得BN=6-2石，继而即可求得tan/BMN.

【详解】如图，连接OM,

：AC为。。的直径，

.•.点。是AC的中点，

又M是BC的中点，

是△A8C的中位线，

：.OM//AB,OM=-AB,

2

VZA=50°,

ZCOM=ZA=50°,

又。。的直径AC=12,即半径R=6,

.nnR50x%x65万

..CM=-----=---------=——，

1801803

连接AM,

：AC为。。的直径，

ZAMC=90°,即AMLBC,

又M是BC的中点，

••.△A8C是等腰三角形，

AB=AC=\2,

是。。的切线交AB于点N,

J.OMVMN,

,JOM//AB,

：.AB±MN,

：.ZBMN+NMBN=90°，ZMAN+4MBN=90°,

NBMN=ZMAN,

'：AMAN+ZAMN=90°,

...ZMBN=ZAMN,

：,&BMN〜^MAN,

.BN_MN

设BN=x,4V=12—x,

又MN=4,

.%一

••一4,

4n-x

解得：x=6-2&或x=6+2有,

■:BN<AN,

BN=6-2y[5，

BN6-275_3-^

tan4BMN-

~MN~-4-2

故答案为：兰，三史

32

A

【点睛】本题考查圆的综合题，涉及到相似三角形的判定及其性质、切线的性质、等腰三角形的判定及其

性质、三角形中位线的判定及其性质，正切，弧长公式，解题的关键是熟练掌握所学知识，学会作辅助

线.

三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.计算：一3tan30。一（万-2022）°+卜一百］.

【答案】1

【解析】

【分析】根据负整数指数嘉定义、零指数基定义、绝对值的性质、以及特殊角的三角函数值依次计算，最

后计算加减法即可.

【详解】解：原式=3-3x@-1+百-1

3

=1.

【点睛】此题考查了实数的计算，正确掌握负整数指数基定义、零指数幕定义、绝对值的性质、以及特殊

角的三角函数值是解题的关键.

18.如图，四边形A8CO是平行四边形，点E为边BC的中点，连接OE并延长交AB的延长线于点R求

证：AB=BF.

【答案】见解析

【解析】

【分析】由平行四边形的性质可知A3〃C£）,AB=CD,即推出NF=NCDE,NFBE=NC,再结

合题意E为BC的中点，即可证明43跖也△CED（A45）,由全等三角形的性质可得BE=CD,等量

代换即可求证结论.

【详解】•.•在中A3〃C£）,AB=CD,

:./F=/CDE,/FBE=/C,

•1点、E为边BC的中点，

BE=CE，

ABEF^AC£D(A4S),

:.BF=CD,

；•AB=BF.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质.掌握三角形全等的判定

方法是解题关键.

12

19.如图，已知反比例函数广----与正比例函数产履(原0)的图象交于A(4,m),8两点.

x

(1)求该正比例函数的表达式；

(2)将点3向下平移4个单位得到点C,连接。C、AC求AAOC的面积.

3

【答案】(1)y=--x

4

(2)8

【解析】

【分析】(1)先求得44,-3),利用待定系数法即可求解；

(2)先求得直线AC的解析式为尸-1L2,与)，轴交于点。(0,-2),利用三角形面积公式求解即可.

4

【小问1详解】

12

解：・.,点4(4,〃。在反比例函数产---的图象上，

x

12

.\m=--=-3,贝!JA(4,-3),

将4(4,-3)代入产履中，得-3=4%,

3

・・・正比例函数的表达式为尸-一看

4

【小问2详解】

解：由题意得A,8两点关于原点对称,

AB(-4,3),

・••将8向下平移4个单位得到点q-4,-1),

令直线AC解析式为与y轴交于点。,

4。+b=-3

解得：<4,

-4。+。=-1

b=-2

直线AC的解析式为：尸--x-2,

4

令x=0,得)=-2,则。(0,-2),

><O£)X(XA-XC)=yx2x(4+4)=8.

【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数和反比例函数的解析式，以及三角形的面积，求得交点坐标

是解题的关键.

20.高尔基说：“书，是人类进步的阶梯.”阅读可以启智增慧，拓展视野.为了解学生寒假阅读情况，

开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期(28天)的阅读总时间作了随机抽样分析.设被抽样的每

位同学寒假阅读的总时间为，(小时)，阅读总时间分为四个类别：A(0^r<12),B(12Wf<24),C

(24WV6),D(f236),将分类结果制成两幅统计图(尚不完整).

四种类别的人数条形统计图

四种类别的人数扇形统计图

根据以上信息，回答下列问题：

(1)本次抽样的样本容量为，请补全条形统计图：

(2)扇形统计图中。的值为,圆心角。的度数为；

(3)若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？

(4)政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读

之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率.

【答案】(1)60,见解析

(2)20,144°(3)1000名

(4)-

6

【解析】

【分析】(1)根据B组的人数及百分比求出样本容量，用样本容量乘以A的百分比求出人数即可补全条形

统计图；

(2)用A的人数12除以60,再乘以百分比即可得到“值；用360。乘以百分比得到圆心角的度数；

(3)用C加。的人数和与60的比乘以2000即可得到答案；

(4)列树状图得到所有等可能的结果总数及恰好选中甲和乙的结果数，根据概率公式计算即可.

【小问1详解】

(1)样本容量为18+30%=60,

C组的人数为60x40%=24,

故答案为：60,

统计图如图所示；

人数/人24

ABCD类别

【小问2详解】

12

4%=—X100%=20%,即〃=20；/?=360°x40%=144°,

60

故答案为：20,144。；

【小问3详解】

2000x^^=1000（名），

60

答：全校寒假阅读的总时间少于24小时的学生估计有1000名;

【小问4详解】

（4）画树状图如图：

开始

共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种,

21

一

一

:.P（恰好选中甲和乙）一-6

12

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的

信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的

百分比大小，用列表法或画树状图法求概率.

21.近期，上海新冠肺炎疫情牵动着全国人民的心，为帮助上海人民平稳渡过这次疫情，长沙紧急调配一

批蔬菜共计500吨驰援上海，原计划使用中型卡车运输，后因车辆调度原因实际调整为重型卡车运输，在

每辆车刚好装满的情况下实际比原计划少用30辆车，已知每辆重型卡车运货量是中型卡车的2.5倍，则每

辆重型卡车的运货量是多少吨？

【答案】25吨

【解析】

【分析】根据实际应用题的解题步骤“设、歹I」、解、答"四步，读懂题意，根据等量关系，利用分式方程

求解即可.

【详解】解：设每辆中型卡车运货量为X吨，则每辆重型卡车的运货量为2.5X吨,

生办500500〃

由题后得：----------=30，

x2.5%

解得：x=10,

经检验：x=10是原方程的解，且符合题意，

则2.5%=25,

答：每辆重型卡车的运货量为25吨.

【点睛】本题考查分式方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键.

22.某种落地灯如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为120cm,BC为支杆，它可绕点B旋转，其中

8c长为30cm,CC为悬杆，滑动悬杆可调节C。的长度，支杆BC与悬杆CC之间的夹角N88为

70°.

图3

(1)如图2,当A、B、C三点共线且CD=50cm时，求灯泡悬挂点。距离地面的高度；

(2)在图2所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转50°,同时调节C£＞的长(如图3),此时测得

灯泡悬挂点。到地面的距离为160cm,求CO的长.(结果精确到1cm,参考数据：sin70。比0.94,

cos700弋0.34,tan70°七2.75,sin50°40.77,cos50°^0.64,tan50°七1.19)

【答案】⑴133cm

(2)42cm

【解析】

CECE

【分析】(1)过。作。E_LAC于£在RtZXCOE中，根据cos70°=—=——*0.34,得出CE,即

CD50

可得出答案:

(2)过。作。于E,过C作于凡过8作BGLC产于G,在R^BCG中，根据

BGBG

COS500=---=----«0.64,得出BGv19.2cm,从而求出ETFSgicm,得出Z)77=20.8cm,最后在

BC30

氐△CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出最后结果即可.

【小问1详解】

解：过。作DE_LAC于E,如图所示：

:在中，ZBCD=70°,CD=50cm,

CECE

cos70。=——=——«0.34,

CD50

CE«17cm,

；•AE=AC—CE=120+30—17=133(cm)

答：灯泡悬挂点力距离地面的高度133cm.

【小问2详解】

过。作。ELAE于E,过C作C产_L£>E于F,过B作BGJ_C尸于G,如图所示:

ZBCG=40°,/DCF=70°-40°=30°,

在Rt4BCG中，cos50°-----....x0.64,

BC30

解得：19.2cm,

所=AG=AB+8G=120+19.2=139.2(cm),

DF^DE-EF^160-139.2=20.8(cm),

•.•在RtaCO/7中，N£>CF=30。,

，C£>=20尸=41.6=42(cm),

答：CO的长约为42cm.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义，是解

题的关键.

23.如图，在菱形ABC。和等腰△£>£/中，DE=EF,/4OC=2/E£>尸=2。，点尸在边AB上，对角线

BD交EF于点G.

(1)求证：△DEGSXDAF；

(2)如图2,连接CE,若a=30。，AF=^CE.

①求备的值;

②求证：点G为线段E尸的中点;

（3）如图3,延长FE交C£＞于H,若8尸=2AF,请直接写出——的值（用含a的式子表示）.

EH

【答案】（1）见解析；

（2）①G；②见解析；

EF)

(3)---——6cos-ct—1；

EH

【解析】

【分析】（1）由菱形的对角线平分对角可得N£DE=NADB，于是N£DG=NAT下；由菱形的对边平

行，等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得NDM=NA，便可证明；

（2）①由NEDF=NBDC可得NFDB=NEDC,和△CDB都是底角为30。的等腰三角形可得

_=――=\/3,再由便可解答；②由①可得B/7=J^CE，于是BF=AF，

AD=2AF,再由4DEG^/^>AF即可解答;

（3）在线段8。上找一点M,使得8M=fM，过M作MN18F于N,则ADEHs^DMF,令

BM=x,解等腰三角形MFB和ABD可得BD=6xcos2a，再由相似三角形的性质即可解答;

【小问1详解】

证明：ABCD是菱形，则ZADB=-ZADC=a,

2

■:ZEDF=a,

/.ZEDF=ZADB，

/.ZEDF-ZFDB=ZADB-ZFDB，

/.NEDG=ZADF,

ABC。是菱形，则AB〃C。，

AZA+ZAZ)C=180°,NA=180。一2a,

在等腰ADEF中/DEF=180°-2/EDF=180°—2a,

•••ZDEF=ZA，

又,:ZEDG^ZADF,

/\DEGs/\DAF；

【小问2详解】

解：①。=30°,则4M>C=60。，Z£DF=30°,

在菱形ABC。中，AD=AB=BC=CD,ZBDC=-ZADC=30°,

2

:.ZEDF=ZBDC,

：.ZEDF-ZBDE=ZBDC-ZBDE,

:.NFDB=/EDC，

如图，过点E作EQLOF于点Q,

DE=EF，则。9=2。。，

在RfADEQ中,COS30°=—=—，则"=也2=百，

DE2DEDE

同理可得：—=yf3,

CD

.DF_BD_r-

••-----=-----=75,

DECD

又；ZFDB=ZEDC,

：.ABDFs/XCDE,

.•再=空=5

CEDE

②由①得：BF=6CE,又AF=6CE,则班'=AF,

AD^AB，则4）=2诙，

由（1）得：ADEGs^DAF,

DEAD-

Z.——=——=2,

EGAF

：.DE=2EG,

'：DE=EF，

/.EF=2EG,

...点G为线段E尸的中点；

【小问3详解】

解：如图，在线段8。上找一点使得BM=FM，过M作于N,

MF=MB,MNLFB,则3E=2BN,ZDMF=2NMBF=2a,

*「BNzBF2BN〜

在RABMN中,cosa=-----,则=-----=2cosa,

BMBMBM

BD

同理可得：——=2cosa,

AB

令BM—x,则BF=2xcosa,

BF=2AF,则AF=xcosa,AB=BF+AF=3xcosa,

BD=2cosa-AB=2cosa-3xcosa=6xcos2a>

,:/EDF=/CDB=a,

：.ZEDF-BDE=/CDB-BDE,

/.AFDM=AHDE,

DE=EF，则/DEH=2NEDF=2a=/DMF,

/./\DEHs^DMF,

.DEDM6xcos2a-x.,

-------=---------------=6cos-2a-1,

EHFMx