河南省洛阳市偃师2021-2022学年高三下学期一模考试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合4={（乂丁）|丁=/},3={（x,y）|V+y2=i},则的真子集个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.设“2.71828…为自然对数的底数，函数=若/（。）=1，则“一。）=（）

A.-1C.3D.-3

6+3/

3.若复数z=（加+1）+（2—加）i（加€R）是纯虚数，则)

Z

A.3B.5C.加D.3x/5

4.若z=l+(l—a)i(aeR),|z|=&,则。=()

A.0或2B.0C.1或2D.

5.已知不同直线/、m与不同平面a、0,且/ua,mu0,则下列说法中正确的是（）

A.若a〃/?,贝!)/〃皿B.若a上0,贝!!/_1_根

c.若r。,则D.若a_L/7,贝!Jm_La

6.要得到函数y=2sin2x+^的图象，只需将函数y=2cos2x的图象

A.向左平移（个单位长度

B.向右平移与个单位长度

C.向左平移5个单位长度

6

D.向右平移J个单位长度

6

7.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60。，则双曲线C的方程不可能为（）

222222

/LiB.工-匕=1X工=1D.工-J

155515312217

2

8.若区表示不超过”的最大整数(如[2.5]=2,[4]=4,[-2.5]=-3),已知%=亍、10",々=q,

2=q-10%(WWN*,〃22),则如9=()

A.2B.5C.7D.8

9.若不等式f+仪+120对于一切xe(0,；恒成立，则。的最小值是()

A.()B.-2C.--D.-3

2

12

10.若函数必+”2—彳在区间(。，。+5)上存在最小值，则实数。的取值范围是

A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(-3,0)

■,

11.已知A,8是函数/(x)={'一图像上不同的两点，若曲线>=/(x)在点A,8处的切线重合，则

xlnx-a,x>0

实数。的最小值是()

11

A.-1B.一一C.-D.1

22

12.已知△ABC的面积是:，A6=1,8C=及，则AC=()

A.5B.石或1C.5或1D.75

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在长方体ABC。-44GA中，AD=3,AA=AB=4,则异面直线与AC所成角的余弦值为()

.V2n2,、2&n4

A.B.—C.--------D.—

5555

14.已知(2x-l)7=a“+aix+。2/+…+.7*7,贝！]/=.

15.(a+x)(l+x)4的展开式中，若x的奇数次幕的项的系数之和为32,则。=.

16.点(2,1)到直线3x+4y=0的距离为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知椭圆。:与+丁=1的右焦点为产，直线/：x=2被称作为椭圆C的一条准线，点P在椭圆C上(异于

椭圆左、右顶点)，过点P作直线〃?：y=Ax+f与椭圆C相切，且与直线/相交于点Q.

(1)求证：PF1QF.

(2)若点P在x轴的上方，当△PQ尸的面积最小时，求直线〃?的斜率%.

附：多项式因式分解公式：t6-3t4-5r-1=(r+l)(r4-4/2-1)

18.(12分)已知函数,f(x)='|x—a|(aeR).

(1)当a=2时，解不等式卜一曰+/(幻之1；

(2)设不等式卜一3+/(x)4x的解集为"，若;,g［用，求实数a的取值范围.

19.(12分)已知函数/(x)=ae'-sinx,其中aeR,e为自然对数的底数.

(1)当a=l时，证明：对Vxe［0,”o)J(x)..l；

(2)若函数/(x)在(o,5］上存在极值，求实数”的取值范围。

20.(12分)设函数/(x)=6cos2x-Qsin2x.

7T

(1)求/(五)的值；

乃

(2)若~,7T,求函数/(X)的单调递减区间.

21.(12分)交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性

驾驶员，其中平均车速超过905?/〃的有30人，不超过90Q〃//?的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速

超过90攵m/〃的有5人，不超过90切?//1的有15人.

(1)完成下面的2x2列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过9()如〃〃与驾驶员的性

别有关；

平均车速超过90攵根/〃平均车速不超过

合计

的人数90切2//2的人数

男性驾驶员

女性驾驶员

合计

(2)根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车,记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90七%/〃

的人数为假定抽取的结果相互独立，求4的分布列和数学期望.

n^ad-bcf

参考公式：K2其中〃=a+Z?+c+d

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

pg*。)0.0500.0250.0100.0050.001

k。3.8415.0246.6357.87910.828

22.（10分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国G。尸总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242

将年份1978,1988,1998,2008,2018分别用1,2,3,4,5代替，并表示为f；＞表示全国GOP总量，表中

z,=In>;(/=1,2,3,4,5),z=

3/=i

以"25

tyz

/=!i=Ii=l

326.4741.90310209.7614.05

（D根据数据及统计图表，判断夕=4+。与9=ce”（其中e=2.718…为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国

GO尸总量》关于/的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于/的回归方程.

（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.

线性回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

,大可--元）（丫厂歹）

3二上—-------------,a=y-bx.

f（X,-元）2

/=!

参考数据:

n45678

e"的近似值5514840310972981

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

求出AC8的元素，再确定其真子集个数.

【详解】

y=x2

由，,.•.AnB中有两个元素，因此它的真子集有3个.

x2+y2=1

故选：C.

【点睛】

本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合

A6都是曲线上的点集.

2.D

【解析】

利用/(a)与/(一的关系，求得/(一。)的值.

【详解】

依题意/(a)=e"-eT-l=l,e〃—e-"=2,

所以/(-a)=ea—ea—l————2—1=—3

故选：D

【点睛】

本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.

3.C

【解析】

先由已知，求出加=-1,进一步可得"包=1-2i,再利用复数模的运算即可

Z

【详解】

由z是纯虚数，得机+1=0且2—/nH0,所以m=—1,z=3i.

6+3/6+3/

因此,=|l-2/|=V5.

z3/

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.

4.A

【解析】

利用复数的模的运算列方程，解方程求得。的值.

【详解】

由于z=l+(l-a)i(aeR),|z|=0,所以"二彳二］=及，解得。=0或。=2.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.

5.C

【解析】

根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.

【详解】

对于A,若a〃尸，则/,〃?可能为平行或异面直线，A错误；

对于8,若则/,〃?可能为平行、相交或异面直线，8错误；

对于C,若/，尸，且/ua,由面面垂直的判定定理可知aJ■广，C正确；

对于。，若a_L/?,只有当〃?垂直于体，的交线时才有a,。错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.

6.D

【解析】

先将y=2sin(2x+?)化为y=2cos21—,根据函数图像的平移原则，即可得出结果.

【详解】

因为y=2sin[2x+^)=2cos[2x-q=2cos2卜-看],

所以只需将y=2cos2x的图象向右平移9个单位.

O

【点睛】

本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.

7.C

【解析】

判断出已知条件中双曲线。的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.

【详解】

两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x轴的夹角时要分为两种情况.依题意，双曲渐近线与x轴的夹角为30。或60。,

双曲线C的渐近线方程为>=土巧》或旷=±百%八选项渐近线为/=±半乂，B选项渐近线为y=±Jir,C选项

|r—Y~

渐近线为y=±5X，D选项渐近线为y=+y/3x.所以双曲线C的方程不可能为'一合■=1・

故选：C

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.

8.B

【解析】

求出乙，b2,瓦,瓦,b,bh,判断出｛2｝是一个以周期为6的周期数列，求出即可.

【详解】

-I

w

解：4=-xlO.b=avn>2),

=

a=\^-\=2=b｝,^2l~y~J~28,

%=28-10x2=8,

同理可得:%=285,4=5；包=2857,2=7；%=28571,々=1.4=285714,%=4；%=2857142,4=2,

b"*6=b”.

故他｝是一个以周期为6的周期数列，

则82019=%(336+3=4=5.

故选：B.

【点睛】

本题考查周期数列的判断和取整函数的应用.

9.C

【解析】

试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论.

成立，等价于a"x-L对于一切成立，

解：不等式x2+ax+lZ0对一切xG(0

2xV2_

•••y=-x-，在区间I。,：上是增函数

x12」

/.-x--<---2=--

x22

：•a>-—

•••a的最小值为故答案为C.

2

考点：不等式的应用

点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中

档题

10.C

【解析】

求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解.

【详解】

由题意，/(X)=X2+2X=X(X+2),故|x)在(一8,-2),(0,+◎上是增函数，在(一2,0)上是减函数，作出其图象如

图所示.

122

令一炉+*2---=,得无=。或x=-3,

333

-3<o<0

则结合图象可知,解得ae[—3,0),

a+5>0

故选C.

【点睛】

本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.

【解析】

先根据导数的几何意义写出了(x)在A,B两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树,

从而得出a=g(#-e2』)，令函数8(力=3卜2-62).40),结合导数求出最小值，即可选出正确答案.

【详解】

解：当x<0时，f(x)=x2+x+a,则/'(x)=2x+l；当%>0时，/(x)=xlnx-a

则/'(x)=lnx+L设4(尤」(％)),8(々,/(々))为函数图像上的两点，

当％<々<0或0<玉<龙2时，/'(x,)^/'(x2),不符合题意，故％<0<%.

则/(x)在A处的切线方程为y-卜；+玉+a)=(2X|+l)(x-xj；

/(x)在3处的切线方程为y—x21nx2+a=(lnx2+l)(x-x2).由两切线重合可知

二二I：，整理得a=g(x：_e2'，)(x«0)不妨设g(x)=g(x2_e2')(xW0)

则g'(x)=x-e2',g"(x)=l-2e2',由g"(£)=。可得x=?ng

则当x=：ln；时，g'(x)的最大值为=

贝雅(力=；(/-02,)在(3,0］上单调递减，则a2g(o)=一；.

故选:B.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的

难点是求出。和x的函数关系式.本题的易错点是计算.

12.B

【解析】

.=gA8BCsin8=g，AB=l,BC=O

..1V2

・・sinBR=—f==—

A/22

①若B为钝角，贝!ICOS8=-Y-,由余弦定理得AC?=AB2+BC2-2COS8-A8-8C，

2

解得AC=6；

②若3为锐角，则cosB=在，同理得AC=1.

2

故选B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.C

【解析】

根据A8//C2确定ZACR是异面直线AB与AC所成的角，利用余弦定理计算得到答案.

【详解】

由题意可得AC=A〃=5,43=0=48.因为48//C0,

所以ZACR是异面直线48与AC所成的角，记为凡

AC?+CO：-AD；25+32-2520

故cos0-

2ACCD,2x5x405

故选：C.

【点睛】

本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

14.-84

【解析】

根据二项展开式的通项公式即可得结果.

【详解】

解：（2x-l）7的展开式通式为：7；M=3（2x）7f（—1丫

当/*=5时，々=《（2x）2（-1）5=—84》2,

则=-84.

故答案为：-84

【点睛】

本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.

15.3

【解析】

试题分析：由已知得（1+x）4=1+4x+6x2+4?+/,故（。+x）（l+尤y的展开式中x的奇数次第项分别为4以,

40r3,x,6x3,其系数之和为而+4。+1+6+1=32,解得a=3.

考点：二项式定理.

16.2

【解析】

直接根据点到直线的距离公式即可求出»

【详解】

|3x2+lx4|

依据点到直线的距离公式，点（2,1）到直线3x+4y=0的距离为=2。

出2+"

【点睛】

本题主要考查点到直线的距离公式的应用。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）证明见解析（2）

【解析】

近2-1

—得（炉）+以次+产-2=0令△=（）可得*=2攵2+1，进而得到「（一竺二］,同理

（1）由，2+2+if2

y-kx+t

Q（2,2Z+。，利用数量积坐标计算方.成即可；

（2）S=-+2k--,分女20，k<0两种情况讨论即可.

&Py0F22t

【详解】

（1）证明:点尸的坐标为（1，0）.

联立方程=1,消去y后整理为（2公+1）/+4依+2/—2=0

y=kx+t

2kt2la__2k

有△=16%2f2-4（2公+1）（2产-2）=0,可得*=2=+1,X-I

2女2+1t2t

2k2ttI

y--F，=z=—•

2公+12k1+\t

可得点P的坐标为（一与,；）.

当x=2时，可求得点。的坐标为（2,2Z+f）,

竺-J2k+tn一

~FP二一FQ=（l,2k+f）.

有丽屈=_^^+^^=0,

故有PFLQF.

（2）若点P在x轴上方，因为r=2二+1，所以有，21,

由(1)知|丽|='I+"=秒:?一+1=在＞：’)2+1；|也|=](2k+1)?+1

SAW=：I所上①J2"+l4公+4灯+『+1(2/-2)+4上+尸+1

~2t―2t~

3t~+4kf—13t.1

---------=—+2k——

2t22t

①因为ZNO时.由（1）知4=

由函数/C）=y+^2（r-l）-^（Z>1）单调递增，可得此时SAPQF>/（D=l.

②当k<°时，由⑴知Z=

A/、3，/c/21/、八，/、3y[2,t13/+1>/2t

令g（”万一西旬一五《川送"）=5一E+讲=3=E

（3r2+lY_（Qt丫_（3/+1『_2t^__（3/+1）2（『一I）_8a_『一3/一5”-1

12t2J-[4_]J__4?7^1—--—4.（产—i）

—«2+1*_4/_1）（/+]）「2_Q+包「2_Q_⑹]时

~一彳FR——狗心故3>A/2+J5时，

g'（r）>0,此时函数g⑺单调递增：当1金<也+石时'g'⑺<0,此时函数g。）单

调递减，又由g（l）=L故函数g«）的最小值g（也+船）<1，函数gO）取最小值时

2公+1=2+逐，可求得％=

由①②知，若点P在x轴上方，当APQF的面积最小时，直线m的斜率为—J浮1

【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题.

,八14

18.(1){x|0或X21}；(2)——

【解析】

(1)使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果.

(2)利用等价转化的思想，可得不等式|3x-l|+|x-。区3x在恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关

系，可得结果.

【详解】

(1)当a=2时，

原不等式可化为|3x—l|+|x—2|23.

①当XV1时，

3

则一3x+1+2—x23=>所以xKO；

②当九<2时，

3

则3x-l-2+x23=x21,所以l«xv2；

⑧当工22时，

3

则3x—1—2+x23nx2—,所以1之2.

2

综上所述：

当。=2时，不等式的解集为{x|x<0或x，l}.

(2)由|x-g|+/(九)

则I3x—1|+|X-6F|<3x,

由题可知：

13x—11+1x-a区3x在—恒成立，

_32_

所以3元一1+|九一a区3%,BP|x-a|<1,

即。一1工%工。+1,

a-1<—

314

所以=>—<a<—

23

a+1>—

2

14

故所求实数。的取值范围是一5，§

【点睛】

本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想，

属中档题.

19.(1)见证明；(2)ae(O,l)

【解析】

(1)利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论；

(2)问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a分类讨论，分别研究a的不同取值下，导函数的单调性及值域，从

而得到结论.法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在

极值.

【详解】

⑴当a=l时，/(x)=e*-sinx,于是，f(x)-ex-cosx.

又因为，当xe(0,+oo)时，/>1且008%41.

x

故当xe(0,+oo)时，e-cosx>0>即/'(x)>0.

所以，函数f(x)="-sinx为(0,+oo)上的增函数,于是，“x""0)=1.

因此，对Vxe［0,+oo),/(x)>l；

⑵方法一：由题意“X)在［。卷］上存在极值，则/'(x)=ae、-co.在上存在零点，

①当ae(0,1)时，f'(x)=aex-cosx为1°，上的增函数，

注意到八0)=。-1<0,/图=①2>0,

所以，存在唯一实数小€(0,1^,使得/'(x0)=0成立.

于是，当xe(O,/)时，r(x)<0,7(x)为(0,%)上的减函数；

当行底，?时，r(x)>。，/(x)为(/，/上的增函数；

所以与6(0,口为函数〃x)的极小值点；

②当a21时，/'(%)=aex-cosx>ex-cosx>0在xw(0,?上成立,

所以/(x)在(0,上单调递增，所以/(力在(0,3上没有极值；

③当aW0时，/'(x)=aex-cosx<0在无上成立，

所以/(x)在(0,T)上单调递减，所以/(同在(0,W)上没有极值，

综上所述，使/(x)在(。，1J上存在极值的。的取值范围是(0』).

方法二：由题意，函数/(x)在(。,段上存在极值，则/'(x)=ae「cosx在上存在零点.

即。=罢在(0,^上存在零点.

设g(x)=/「可0,3则由单调性的性质可得如)为上的减函数•

即g(x)的值域为(0,1),所以，当实数ae(0,1)时，/'(%)=。靖一85在[(),外上存在零点.

下面证明，当a«(),l)时，函数”X)在10,上存在极值.

事实上，当ae(O,l)时，/'(x)=ae'-coax为(0弓)上的增函数,

三兀

注意至i」.f'(0)=a—l<0,e2>0,所以，存在唯一实数x°e[0,5

使得/'(i)=。成立•于是,当xe(O,Xo)时,r(x)<0'/(x)为(0,%)上的减函数;

当xe(xo，，j时，/'(x)>0，/(x)为1%,U上的增函数；

即与为函数/(x)的极小值点•

综上所述，当ae(O,l)时，函数/(x)在(0,上存在极值.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一

道综合题.

20.(1)—=3+6(2)/(x)的递减区间为和——,7C

【解析】

7T

(1)化简函数/(X),代入尤=一,计算即可；

12

71

(2)先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间，再结合无£§,乃即可求出.

【详解】

(1),//(%)=6cos2x-A/3sin2x=3(l+cos2x)->/3sin2x

=-5/3sin2x+3cos2x+3

--25/3sin^2x-yJ+3,

从而/(A=3+5/3.

JTTT7T

(2)令一一+2k7T<2x——<-+2k7T,k&Z.

232

兀5TT

解得-----FRTTWxW---Fkji、keZ.

1212

JI34

即函数/(X)的所有减区间为一二+上犯1+%)MeZ,

nJI5冗11万

考虑到—.71,取左=0,1,可得XW§■，泊XG---，乃

12

541\TC

故y(x)的递减区间为—和丁丁，不

【点睛】

本题主要考查了三角函数的恒等变形，正弦函数的图象与性质，属于中档题.

21.(1)填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过9(am//z与性别有关(2)详见解析

【解析】

(1)根据题目所给数据填写2x2列联表，计算出K?的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过9(次加/〃

与性别有关.

(2)利用二项分布的知