北师大版八年级数学下册 第五章 分式与分式方程 5.2分式的乘除法 教案

5.2分式的乘除法【教学目标】知识与技能】理解分式的乘除运算法则，会进行简单的分式的乘除法运算.【过程与方法】经历探索分式的乘除法法则的过程，并结合具体情境说明其合理性.【情感态度】通过师生讨论.交流，培养学生合作探究的意识和能力.【教学重点】1．理解分式乘除法的法则．2．会进行分式乘除运算．【教学难点】熟练地运用法则进行计算，提高运算能力.【教学过程】一、情境导入问题1：计算，并说出分数的乘除法的法则：【教学说明】复习小学学过的分数的乘除法运算，为学习分式乘除法的法则做准备.问题2：观察下列运算：eq\f(2,3)×eq\f(4,5)＝eq\f(2×4,3×5)，eq\f(5,7)×eq\f(2,9)＝eq\f(5×2,7×9)，eq\f(2,3)÷eq\f(4,5)＝eq\f(2,3)×eq\f(5,4)＝eq\f(2×5,3×4)，eq\f(5,7)÷eq\f(2,9)＝eq\f(5,7)×eq\f(9,2)＝eq\f(5×9,7×2).以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？今天我们仿照分数的乘除来研究分式的乘除．二、合作探究探究点一：分式的乘法【类型一】利用分式的乘法法则和除法法则进行计算计算下列各式：(1)eq\f(3xy2,4z2)·(－eq\f(8z2,y))；(2)－3xy÷eq\f(2y2,3x).解析：(1)直接利用分式的乘法运算法则，先找出公因式，然后进行约分；(2)变为乘法，再直接利用分式的乘法运算法则求出即可．解：(1)eq\f(3xy2,4z2)·(－eq\f(8z2,y))＝－6xy；(2)－3xy÷eq\f(2y2,3x)＝－eq\f(9x2,2y).方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．【类型二】根据分式的除法，判断分式中字母的取值范围若式子eq\f(x＋1,x＋2)÷eq\f(x＋3,x＋4)有意义，则x的取值范围是()A．x≠－2，x≠－4B．x≠－2C．x≠－2，x≠－3，x≠－4D．x≠－2，x≠－3解析：∵eq\f(x＋3,x＋4)≠0，x＋2≠0，∴x＋3≠0且x＋4≠0，解得x≠－2，x≠－3，x≠－4，故选C.方法总结：在分式的除法中，求字母的取值范围时要使被除式的分母不为0，同时还要使除式的分子、分母不为0.【类型三】分式的乘除法的应用老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？解析：不妨设花生的总产量是1，老王家种植的总面积为(a2＋b2)平方米，老李家种植的总面积为2ab平方米，分别求出单位面积产量，再相除即可．解：设花生的总产量是1，eq\f(1,a2＋b2)÷eq\f(1,2ab)＝eq\f(2ab,a2＋b2)(倍)．答：老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的eq\f(2ab,a2＋b2)倍．方法总结：此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可．【类型四】分式乘除法的混合运算计算：eq\f(a－1,a＋2)·eq\f(a2－4,a2－2a＋1)÷eq\f(1,a2－1).解析：先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算．解：原式＝eq\f(a－1,a＋2)·eq\f(（a＋2）（a－2）,（a－1）2)·eq\f(（a＋1）（a－1）,1)＝(a－2)(a＋1)＝a2－a－2.方法总结：分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．探究点二：分式的乘方【类型一】分式的乘方运算下列运算结果不正确的是()A．(eq\f(8a2bx2,6ab2x))2＝(eq\f(4ax,3b))2＝eq\f(16a2x2,9b2)B．[－(eq\f(x3,2y))2]3＝－(eq\f(x3,2y))6＝－eq\f(x18,64y6)C．[eq\f(y－x,（x－y）2)]3＝(eq\f(1,y－x))3＝eq\f(1,（y－x）3)D．(－eq\f(xn,y2n))n＝eq\f(x2n,y3n)解析：A、B、C计算都正确；D中(－eq\f(xn,y2n))n＝(－1)neq\f(xn2,y2n2)，原题计算错误．故选D.方法总结：分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式．【类型二】分式的乘除、乘方混合运算计算：(1)(－eq\f(x2,y))2·(－eq\f(y2,x))3·(－eq\f(1,x))4；(2)eq\f(（2－x）（4－x）,x2－16)÷(eq\f(x－2,4－3x))2·eq\f(x2＋2x－8,（x－3）（3x－4）).解析：(1)先算乘方，然后约分化简，注意符号；(2)先算乘方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解因式，再进行约分化简．解：(1)原式＝eq\f(x4,y2)·(－eq\f(y6,x3))·eq\f(1,x4)＝－eq\f(y4,x3)；(2)原式＝eq\f(（x－2）（x－4）,（x＋4）（x－4）)·eq\f(（3x－4）2,（x－2）2)·eq\f(（x－2）（x＋4）,（x－3）（3x－4）)＝eq\f(3x－4,x－3).方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式．【类型三】分式乘方的应用通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V＝eq\f(4,3)πR3(其中R为球的半径)，求：(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？(3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算？解析：(1)根据体积公式求出即可；(2)根据(1)中的结果得出即可；(3)求出两体积的比即可．解：(1)西瓜瓤的体积是eq\f(4,3)π(R－d)3，整个西瓜的体积是eq\f(4,3)πR3；(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是eq\f(\f(4,3)π（R－d）3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(（R－d）3,R3)；(3)由(2)知，西瓜瓤与整个西瓜的体积比是eq\f(（R－d）3,R3)<1，故买大西瓜比买小西瓜合算．方法总结：本题能够根据球的体积，得到两个物体的体积比即为它们的半径的立方比是解此题的关键．【类型四】分式的化简求值化简求值：(eq\f(2xy2,x＋y))3÷(eq\f(xy3,x2－y2))2·[eq\f(1,2（x－y）)]2，其中x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(2,3).解析：按分式混合运算的顺序化简，再代入数值计算即可．解：原式＝eq\f(8x3y6,（x＋y）3)·eq\f(（x＋y）2（x－y）2,x2y6)·eq\f(1,4（x－y）2)＝eq\f(2x,x＋y).将x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(2,3)代入得原式＝－6.方法总结：先算乘方再算乘除，将原式化为最简形式是解决此类问题的常用方法．三、板书设计1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除．四、教学反思在练习中暴露出一些问题，例如我在传授过程中急于求成，法则的引入没有给学生过多的时间，如果时间足够，学生自己得出法则并不是一件难事.在解决习题时，对学生容易出现的错误没有重点强调.所以学生在后面的练习中仍然出现这样那样的错误.学生答题的规范性还差了些，在黑板上的板书不到位，在以后的教学中加强学生的答题规范性练习.本节是从分数的乘除法则的角