河北省唐山市五校2021-2022学年高三第一次调研测试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设a=log802b=logo34,c=403,则（）

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<hD.b<a<c

2.设尼分别是椭圆E：J+2=l（”>b〉0）的左、右焦点，过分的直线交椭圆于A，8两点，且通一通'=（）,

a~h~

南=2可，则椭圆E的离心率为（）

2「V5D,也

A.

334

3.将函数/（%）=若sin2x-2cos2x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移J个单位长

O

度，则所得函数图象的一个对称中心为（

03

4.a=log,0.5,b=log020.3,c=2»则a,"c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

5.复数满足z+目=4+8i,则复数z在复平面内所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（）

A.正方体B.球体

C.圆锥D.长宽高互不相等的长方体

7.已知6、尸2分别是双曲线C：二—二=1（。>0力>0）的左、右焦点，过B作双曲线c的一条渐近线的垂线，分

a~b~

别交两条渐近线于点A、B,过点3作x轴的垂线，垂足恰为耳，则双曲线C的离心率为（）

A.2B.曲）C.2百D.亚

8.已知直四棱柱ABC。-ABG2的所有棱长相等，ZABC=60%则直线BQ与平面AC0A所成角的正切值等

于（）

卡Vio「小n\/1~5

A・D■-----L•------IJ.---------

4455

9.平行四边形4BCQ中，已知A3=4,A£）=3,点£、户分别满足I羽=2防，DF^FC＞且AR屏=—6,

则向量而在质上的投影为（）

33

A.2B.—2C.—D.-----

22

10.已知抛物线C：f=8y,点P为。上一点，过点p作PQLx轴于点。，又知点A（5,2）,贝！||PQ|+|PA|的最

小值为（）

A.—B.4J10-2C.3D.5

2

11.点AB,C是单位圆。上不同的三点，线段OC与线段A3交于圆内一点M,若

OC^mOA+nOB,(m>0,n>0),m+n^2,则NAOB的最小值为(

712万

D.—

623

12.下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价

格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（）

六个械市春运在返机票的平均价格和憎福

3000

2500

2000

1500

1OOO

500

平均价福——舟幅

A.深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高

B.天津的往返机票平均价格变化最大

C.上海和广州的往返机票平均价格基本相当

D.相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在平面直角坐标系xOy中，若圆G：x2+(j-1)2=/(/•>())上存在点P,且点P关于直线x-y=()的对称点。

在圆C2：(X-2)2+(J-1)2=1上，则r的取值范围是.

14.已知函数/(x)=->1,则/(/⑵)=——•

、2

15.已知z,i=l+2i3为虚数单位)，则复数z=.

16.已知函数/(尤)="—e-'—l,则关于x的不等式/(2幻+/3+1)>—2的解集为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛4｝中，ax=a(实数。为常数)，々=2,S“是其前"项和，S,尸幽7a且数列也｝是等

比数列，4=2,&恰为其与打-1的等比中项.

(1)证明：数列｛4｝是等差数列;

(2)求数列也｝的通项公式；

3111,>

(3)若。=一，当2时——-+-——-+•••+—,{c,J的前〃项和为7；,求证：对任意〃22,都有

2%+1%+2bn

127；26〃+13.

18.(12分)已知函数〃x)=or2+cosx(awR)

(1)当时，证明了'(x)20,在［0,+<功恒成立；

(2)若/(x)在x=0处取得极大值，求。的取值范围.

19.(12分)如图1,在等腰放AA8C中，ZC=90°,D,E分别为AC,AB的中点，尸为8的中点，G在线

段上，且3G=3CG。将AM)石沿。E折起，使点A到A的位置(如图2所示)，且

,1

A

(1)证明：BE//平面4尸G；

(2)求平面4FG与平面4BE所成锐二面角的余弦值

20.(12分)已知函数f(x)Ux—。|

(1)当。=一1时，求不等式/(x)W|2x+l|-l的解集；

(2)若函数g(x)=/(x)—|x+3|的值域为4,且［―求a的取值范围.

3

21.(12分)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos2C=一-.

(1)求sinC的值；

(2)当c=2a,且人=3我时，求AABC的面积.

22.(10分)如图，在四棱锥尸-A8C。中，底面A8C。为菱形，R4_L底面ABC。，ZBAD=60°,AB=PA=4,E是

21的中点，AC,8。交于点O.

(1)求证：OE〃平面PBC；

(2)求三棱锥E-PBD的体积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

结合指数函数及对数函数的单调性，可判断出-1<。<0,力<-1,。>1,即可选出答案.

【详解】

由logo.34<logo,31=—1，即匕<一1,

x-l=log80.125<logs0.2<Iog8l=0,gp-l<tz<0,

40,3>L即。>1,

所以bV。<c.

故选:D.

【点睛】

本题考查了几个数的大小比较，考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.

2.C

【解析】

根据班=2石石表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出关系，求出离心率.

【详解】

-.AF^=2F\B

设BF2-x,则AF2-lx

由椭圆的定义，可以得到A耳=2。-2乂8耳=2。—%

•.•丽•而=0,，AFl±AF2

在放中，有（2a—+（3x）2=（2a—力2,解得8=]

-2。-4a

••AF2=—,AF]=—

在RtZVU花中，有（先+用2=（2c了

整理得二=3,.・*=£=如

a29a3

故选C项.

【点睛】

本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出。关系，得到离心率.属于

中档题.

3.D

【解析】

先化简函数解析式，再根据函数y=击%(5+。)的图象变换规律，可得所求函数的解析式为y=2sin[I尤--1,

再由正弦函数的对称性得解.

【详解】

,/y=>/3sin2x-2cos2x

=6sin2x-(l+cos2x)=2sin^2x--j-1,

将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为

y=2sin—x----1,

■136；

再向右平移!个单位长度,所得函数的解析式为

8

-x--=k7r^x=-k7i+—,keZ,

3428

(34

%=0可得函数图象的一个对称中心为飞-一1»故选D.

【点睛】

三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等,

其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与

落实.三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数

解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）

函数的性质求解.

4.A

【解析】

选取中间值。和1,利用对数函数y=log3x,y=log0,2无和指数函数y=2'的单调性即可求解.

【详解】

因为对数函数y=log3x在（（）,+<»）上单调递增，

所以Iog3（）.5<log31=0,

因为对数函数y=log02X在（（）,+8）上单调递减，

所以0=log021<log020.3<log020.2=1,

因为指数函数V=T在R上单调递增,

所以2°-3>2°=1,

综上可知,4<Z?<C.

故选:A

【点睛】

本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是

求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

5.B

【解析】

22

设z=a+bi{a,beR）,则z+|z|=a+hi+yja+h=4+8i,可得<"++"=",即可得至九z，进而找到对应的点所

Z?=8

在象限.

【详解】

设z=a+初（。,匕eR）,则z+忖=a+bi+\Ja2+b2=4+8i,

a+yJa2+b2=4a=-6.

*<，.二z=-6+8i,

〃=8b=8

所以复数z在复平面内所对应的点为（-6,8），在第二象限.

故选:B

【点睛】

本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模，考查运算能力.

6.C

【解析】

根据基本几何体的三视图确定.

【详解】

正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是

全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形.

故选：C.

【点睛】

本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键.

7.B

【解析】

设点8位于第二象限，可求得点B的坐标，再由直线BF,与直线＞垂直，转化为两直线斜率之积为T可得出匕

aa~

的值，进而可求得双曲线。的离心率.

【详解】

,』「rbhe/be

设点8位于第二象限，由于轴，则点8的横坐标为台=-c,纵坐标为力=一-x=一,即点8-c,一

aBa\a

也

hb2。

由题意可知，直线与直线y=-x垂直，a_t)a,=2,

aKRF——-=—er

监2c2ab

因此，双曲线的离心率为e=士=/三&=卜忑=6.

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出。、〃、C'的等量关系，考查计算能力，属于中等题.

8.D

【解析】

以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AO所在直线为)'轴,AA所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系.求解平面ACG4的法向量，利用线面角的向量公式即得解.

【详解】

如图所示的直四棱柱ABC。—AgG。，NABC=60"，取BC中点E，

以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AO所在直线为)'轴，A4所在直线为z轴,

建立空间直角坐标系.

/n

设AB=2,则A(0,0,0),4(0,0,2),5(73,-1,0),。(君,1,0),C1电,1,2),

BCy=(0,2,2),AC=(6,1,0),可=(0,0,2).

设平面AC£A的法向量为3=(x,y,z),

n-AC-y=0,

则——取x=l,

ii-AA}=2z=0,

得7=(1,-60).

设直线Be】与平面ACQA所成角为氏

贝(Isin0=

cos0-

...直线8G与平面ACG4所成角的正切值等于半

故选：D

【点睛】

本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.

9.C

【解析】

_.一AD-AB

将AEBE用向量而和而表示，代入衣.诙=-6可求出而•通=6,再利用投影公式人百可得答案-

\AB\

【详解】

解：AF-BE^（AD+DF）-（RA+AE）

_____9___1____1___2__.

=ADAB+AD-AD——ABAB+-AB-AD

3223

4—►2cle

=-ADAB+-x32——x4?=6,

332

得通•通=6，

AD-AB63

则向量而在而上的投影为联「=W=5.

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将衣，而用向量而和福表示是关键，是基础题.

10.C

【解析】

由I=I尸耳一2，再运用P,F,A三点共线时和最小，即可求解.

【详解】

闸+附=附|-2+附2附-2=5-2=3.

故选：C

【点睛】

本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题.

11.D

【解析】

由题意得1=加2+〃2+2m〃cosNAO8，再利用基本不等式即可求解.

【详解】

将反=mOA+nOB平方得1=»?+/+2mncosZAOB,

,“八言\-m2-n2l-（m+H）2+2mn33,1

cosNAOB=------------=-----------------=--------+1<-----------------+1=一一

2mn2mn2mn2x（m+n）2?

（当且仅当加=〃=1时等号成立），

0<ZAOB<冗,

.•.4。8的最小值为27考r，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题.

12.D

【解析】

根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项.

【详解】

对于A选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A选项叙述正确.

对于B选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B选项叙述正确.

对于C选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C选项叙述正确.

对于D选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D选项

叙述错误.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.[72-1,72+1]

【解析】

设圆Ci上存在点尸（xo,yo）,则。（中，xo）,分别满足两个圆的方程，列出方程组，转化成两个新圆有公共点求参数

范围.

【详解】

设圆G上存在点尸（xo,jo）满足题意，点尸关于直线x—y=0的对称点。（yo,xo）,

/2+（%-1）2=产

则V，2，

-2）+（%-1）=1

故只需圆好+（J—1）2=/与圆（X—1）2+（J—2）2=1有交点即可，所以|r—1区J（I—0）2+（2—1）2*+1,解得

V2-l<r<V2+l-

故答案为：[夜—1,行+1]

【点睛】

此题考查圆与圆的位置关系，其中涉及点关于直线对称点问题，两个圆有公共点的判定方式.

1

14.-

2

【解析】

先由解析式求得/(2),再求/(7(2)).

【详解】

f(2)=%2=7,/(-1)=2-1=-,

所以/(/(2))=/(—1)=(,

故答案为：—

2

【点睛】

本题考查对数、指数的运算性质，分段函数求值关键是“对号入座”，属于容易题.

15.2-i

【解析】

解：•.•z・i=l+2i

ii~

故答案为：2—i

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.

16.(,--,1+oo)、

【解析】

判断g(x)=/(x)+l的奇偶性和单调性，原不等式转化为g(2x)>T(xk)=g(—x—),运用单调性，可得到所

求解集.

【详解】

令g(x)=/(x)+l,易知函数g(x)为奇函数,在R上单调递增,

〃2x)+/(x+l)>-2o〃2x)+l+〃x+l)+l>0,

即g（2x）+g（x+l）>0,

g（2x）>T（x>）=g（_%_）

2x>-x-l»即x>--

3

故答案为：（一]-00]

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）见解析（2）d=2",〃eN*（3）见解析

【解析】

（1）令〃=1可得4=E=0,即。=0.得到5,,=望，再利用通项公式和前n项和的关系求解，

n

⑵由（1）知勺=2（〃-1）,〃eN*.设等比数列圾｝的公比为《,所以2==2q-',再根据«4恰为S4与仇-1

的等比中项求解，

（3）由（2）得至！J几22时，C=----1-----：----F...H---->-----1-----1■…H,

n2〃一+12〃一+22〃2〃2〃2〃

=2'一（2"--1）+1=建」求得（，再代入证明。

2"2"2

【详解】

net

（1）解：令n=1可得q=&=0,即a=0.所以S“=年.

2时a“=S,,—S,i=等一（"管,可得（〃一2）。“=（〃一1）%_1,

当〃23时2=^4,所以4=-^-x-x.-x幺x%=2（〃-1）.

显然当〃=1,2时，满足上式.所以Q“=2（〃-1）,MGN*.

•••4加-勺=2,所以数列｛4｝是等差数列，

(2)由(1)知。“=2(〃-1),n€N“.

设等比数列出｝的公比为4,所以a=如"T=2/T

：.a4=6,S4=\2,b2=2q,

恰为S4与人2T的等比中项，

所以6?=12x(24—1),

解得q=2,所以a=2",〃eN*

(3)“22时，Tn=C|+c2+...+cn,

111111

c=------1------+・・.4------>—4-------F...H------9

"2n-'+l2'-'+22n2〃T2"

2"-(2H-'-l)+l2"-1_1

2"2"2

256x2+13

所以当〃=2时,

U+卜汨1212

,1111116〃+13

=C,+C,+…+c“>1+—+-+—+—+—+•••+—

当〃23时,“23422212

二对任意九22,都有127；N6〃+13,

【点睛】

本题主要考查数列的通项公式和前"项和的关系，等差数列，等比数列的定义和性质以及数列放缩的方法，还考查了

转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题，

18.(1)证明见解析(2)-oo,-l

【解析】

(D根据/(x)=gx2+cosx,求导/(x)=x-sinx,令/z(x)=x-s加，用导数法求其最小值.

⑵设8(%)=/(》)=20«-5沁,研究在_1=0处左正右负，求导g'(x)=2a-cosx.,分a--^'

-：<a<:，三种情况讨论求解.

22

【详解】

(1)因为/(力=5/+COSX,

所以/'(x)=x-sinx,

令〃(x)=x-sinx,则"(x)=l-cosxNO,

所以〃(x)是0+8)的增函数，

故力(力2〃(0)=0,

即r(x"0.

⑵因为g(x)=/'(x)=2ax-s,7u,

所以g'(x)=2a-cosx.,

①当a时，g'(x)>l-co5x>0,

所以函数尸(可在R上单调递增.

若x〉0,贝!|y(x)>/'(0)=0;

若x<0,则尸(力<尸(。)=0,

所以函数“X)的单调递增区间是(0,+O,单调递减区间是(一*0),

所以/(x)在x=0处取得极小值，不符合题意，

②当。〈一；时，g'(x)<-1-COSX<0,

所以函数/(X)在R上单调递减.

若x>0,则/(力</(。)=0,

若x<0,则/(力>/'(0)=0；

所以/(X)的单调递减区间是(0,+8),单调递增区间是(-8,0),

所以/(x)在x=0处取得极大值，符合题意.

③当一时，+o€(O,%),使得co%=2a,

即g'(xo)=。，但当XG(O,X())时，cosx>2a即g'(x)<0,

所以函数/(力在(O,x0)上单调递减,

所以/'(力<,(0)=0,即函数/(6)在(0,x0)上单调递减，不符合题意

综上所述，。的取值范围是1-8,

【点睛】

本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.

19.(1)证明见解析

⑵叵

5

【解析】

(1)要证明线面平行，需证明线线平行，取8C的中点连接DM，根据条件证明DM//BE,DM///G,即

BE//FG；

(2)以尸为原点，尸c所在直线为x轴，过尸作平行于CB的直线为y轴，F&所在直线为z轴，建立空间直角坐标

系尸一“Z,求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：取8C的中点连接DW.

•••BG=3CG,，G为CM的中点.

又F为CD的中低，；.FGHDM.

依题意可知。则四边形血仍£为平行四边形，

ABE//DM,从而BE//FG.

又EGu平面AFG,BEa平面A/G,

:.BE//平面4FG.

(2)­：DELAD,,DEVDC,且

.•.£>E_L平面ADC,4Eu平面A。。，

:.DELA,F,

•.,A,F上DC,RDEcDC=D,

A/J_平面BCDE,

以厂为原点，尸C所在直线为x轴，过户作平行于CB的直线为)‘轴，五4所在直线为z轴，建立空间直角坐标系

F-xyz,不妨设CD=2,

则打0,0,0),A仅，0,6)，5(1,4,0),£(-1,2,0),G(l,l,0),

西=倒,0,百)，而=(1,1,0),近=(-1,2,-百)，丽=(2,2,0).

设平面AFG的法向量为I=(冷%,zJ,

[n-FA,=06Z1=0

则{___，即〈，

n-FG=0[再+y=0

令斗=1,得〃=(1,—1,0).

设平面ABE的法向量为五=(&,%，Z2)，

则,堂=(),即卜#2%-属=(),

[m•EB=0[2X2+2y2=0

令々=1,得/〃=(1,T,-G).

.I-E---i+iVio

从而cos<m,Yl>—―—尸=----，

V2xV55

故平面AtFG与平面4BE所成锐二面角的余弦值为叵.

【点睛】

本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档

题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行

四边形，这些都是证明线线平行的常方法.

20.(1)1或x》l}(2)(-°o,—5]kJ[—1,+oo)

【解析】

(1)分类讨论去绝对值即可；

(2)根据条件分3和介-3两种情况，由[-2,建立关于。的不等式，然后求出a的取值范围.

【详解】

⑴当a=-1时，/(x)=|x+l|.

(x)乎x+l|-1,...当烂-1时，原不等式可化为-x-1W-2x-2,.,.烂T；

当-1<%<一■!■时，原不等式可化为X+1W-2X-2,.•.烂-1,此时不等式无解；

2

当XZ-L时，原不等式可化为x+lW2x,.,•xNL

2

综上，原不等式的解集为{x降-1或x>l).

3+a,x<a

(2)当aV-3时，g(x)=<2工一。+3，a<x<-39

—a—3,x一3

，函数g(x)的值域A={x|3+〃W烂-a-3}.

〃+34—2

V[-2,1]CA,：.<，：.a<-5；

-a-3>1

3+a,x—3

当aN-3时，g(x)=<2x-a+3,-3cx<-3,

-a-3,x>a

二函数g(x)的值域4={x|-a