2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第三章函数及其应用第八节 第2课时函数模型及其应用

第2课时函数模型及其应用

【考试要求】1.了解指数函数、对数函数、幕【高考考情】考点考法：高考命题常以指数、

函数的增长特征；结合实例体会直线上升、指对数、幕函数及分段函数为载体，考查利用函

数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含数模型解决实际问题，与指数、对数函数相关

义.的数学文化、社会热点等问题是高考热点，常

2.了解指数函数、对数函数、基函数、分段以选择题形式出现.

函数等函数模型的广泛应用.核心素养：直观想象、数学运算、数学建模

O=一、物系赫理,思推求活,一=rO

【归纳•知识必备】

1.常见的函数模型3

一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、累函数.

注解1函数模型应用问题的步骤(四步八字方针)：审题，建模，解模，还原.

2.三种函数模型的性质

产H(方>1)产logj(a>l)尸，(〃>0)

(0,+8)上

单调递增单调递增单调递增

增减性

增速越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐

图象的

渐表现为与Z随X的增大逐渐表现为与X轴平行随〃值变化而各有不同

变化

轴平行

值的比较存在一个Ab,当x>xo时，有

-智学•变式探源

1.必修一P152例62.必修一P148例3

1.(改变选项)下列函数，增长速度最快的是()

A.y=202TB.y=x021

C.y=log202iXD.y=2021x

【解析】选A.比较一次函数、基函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快.

2.（改变情景）某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为尸厂，

其中A为常数，C表示时间（单位：小时），y表示1个细菌经繁殖后的总个数，则经过5小时,

1个细菌通过繁殖个数变为.

1-k

【解析】由题意知，当t=~时，y=2,即2=e2,所以A=21n2,所以y=

e2"叱当大=5时，尸02.2=2|。=1024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1024.

答案：1024

一慧考•四基自测

3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力

3.（已知函数模型解决问题）卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所

在平面，轨迹高度为36000km（轨道高度指卫星到地球表面的最短距离），把地球看成一个

球心为。半径为6400km的球，其上点/的纬度是指如与赤道所在平面所成角的度数，地

球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为叫该卫星信号

覆盖的地球表面面积5=2nr2（l-cosa）,（单位:km2）,则S占地球表面积的百分比为（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【解析】选C.由题意可得，S占地球表面积的百分比约为

6400

1-

27下(1-cosa)1—cosa6400+36000

=---------=----------------=42%.

4"

2_

4.（数形结合法）当16<x<20时,/和10g2X的大小关系为

【解析】作出f（x）=/和g（x）=log2*的图象，如图所示:

由图象可知，在（0,4）内，N>log2*;x=4或x=16时，*2=]_0g2x；在（4,16）内，x-<log2^；

在(16,20)内,x'>log2X.

2_

2

答案：^r>log2x

5.（二次函数模型应用）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某

种商品x万件时的生产成本为C（x）/+2T+20（万元）.一万件售价为20万元，为获取更

大利润，该企业一个月应生产该商品数量为万件.

【解析】利润£（x）=20x—C（x）=—3（x—18T+142,当x=18时，£（x）有最大值.

答案：18

6.（函数模型的选择）在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表:

X0.500.992.013.98

y-0.990.010.982.00

则对x,y最适合的拟合函数是（）

A.y=2xB.y=x~\

C.产:2x—2D.y=log2-¥

【解析】选D.根据x=0.50,y=-0.99,代入计算，可以排除A；根据x=2.01,y=0.98,

代入计算，可以排除B,C；将各数据代入函数尸log2%可知满足题意.

c―考点探究•憎法培优,。

7考点一利用函数的图象刻画实际问题自主练透

1.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月

的本地网内打出电话时间t（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当通话150分钟时,

这两种方式电话费相差（）

410元8.20元C.30元w■元

O

【解析】选4设A种方式对应的函数解析式为s=k,t+20,B种方式对应的函数解析式为s

=k2t,

当t=10°时,1。*+2。=1。*，化简得kLk尸除

当t=150时，150k2—150冗-20=150*!-20=10(元).

5

2.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水

槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是()

【解析】选8.开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后

慢，与6图象相吻合.

3.已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的

路程为x,4ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是()

O\4812x

D

【解析】选〃依题意知当0WxW4时，f(x)=2x；当4<xW8时，f(x)=8；当8<xW12时,

f(x)=24-2x,观察四个选项知与〃图象相吻合.

教师专用司【规律方法】

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合方法

(1)构建函数模型法：当由题意易构建函数模型时，可建立函数模型，结合模型选图象.

(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合,

从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.K

is

【加练备选】

如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a®)(0

VaV12),4勿，不考虑树的粗细，现在用16加长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD.

设此矩形花园的面积为S(/),S的最大值为f(a),若将这棵树围在花园内，则函数u=f(a)

的图象大致是()

B"c

777777777777777777777/7777777777'

【解析】选C设BC=xm,则DC=(16—x)/，

由，得aWx<12.

,16—x^4,

Y—I—(］6—x)2

矩形面积S=x(16—x)W-----------=64

当x=8时取等号.当0VaW8时，u=f(a)=64；

当a>8时，由于函数在［a,12］上为减函数，所以当x=a时，矩形面积取最大值S%.=f(a)

=a(16—a).

/考点二已知函数模型求解实际问题|讲练互动

［典例1］(1)“喊泉”是一种地下水的毛细现象.人们在泉口吼叫或发出其他声音时声波传入

泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水

越高.已知听到的声强I与标准声强1。(1。约为10一%单位：〃狗之比的常用对数称作声强

的声强级，记作L(贝尔)，即L=/g；.取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已

-Lo

知某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与喷出的泉水高度x(血之间满足关系式y=2x,甲、乙

两名同学大喊一声激起的涌泉的最高高度分别为70勿，60m.若甲同学大喊一声的声强大约

相当于n个乙同学同时大喊一声的声强，则n的值约为（）

A.10B.100C.200D.1000

⑵★（命题•新视角）（多选题）漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，

有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短，

当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t（单位：小时）与失去的新鲜

L:mo<t<io,

度y满足函数关系y=S1000，其中m,a为常数.已知采用该种保鲜方法后，

[ma1,10<tW100,

杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜度，采摘40小时之后失去20%的新鲜度.如今我国物流

行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于85%,则物

流时间（从杨梅采摘的时刻算起）可以是（参考数据：/侬3勺1.6）（）

A.20小时B.25小时C.28小时D.35小时

【解析】（1）选8.设甲同学的声强为L,乙同学的声强为Iz,则140=10/g*，120=107^

LI,

77^77，所以L=101L=L从而7=100.所以n的值约为100.

1U12

10%=ma10

⑵选力比:由题意可知La10，

20%=ma

1

所以a:,0=2即a=230由题意可知当t<10时，失去的新鲜度小于10%没有超

过,当，时则有。.即

汨，所以三W/o及|

W15%,所以^2

+log^2,解得tW28.

，规律方法

求解所给函数模型解决实际问题的关注点

（1）认清函数模型，弄清哪些量为待定系数.

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

（3）利用该模型求解实际问题.

，对点训练

1.（2021•齐齐哈尔模拟）碳一14测年法是由威拉得・利比发明的一种测定含碳物质年龄的

方法，在考古中有大量的应用放射性元素的衰变满足规律N=N°ef1（表示的是放射性元素在

生物体中最初的含量N。与经过时间t后的含量N间的关系），其中X=牛（T为半衰期）.已

知碳一14的半衰期为5730年，No=1.2XlO^2,经测量某地出土的生物化石中碳一14含量

为4X10-3,据此推测该化石活体生物生活的年代距今约（结果保留整数，参考数据log^

1.585）（）

A.7650年B.8890年C.9082年D.10098年

T7N。

【解析】选C.由题意知t=7

In、2

l,2X10~12

5730X7/7

4X10-1357307/73

In2=~In2

=57301。康3心5730X1.585^9082（年）.

2.（2021•昆明模拟）在计算机的算法分析中，常用时间复杂度来衡量一个算法的优劣，算法

的时间复杂度是指算法完成一次运行所需要的运算次数，若用T（n）（单位：次）表示算法的时

间复杂度，它是算法求解问题数据规模n的函数.已知某算法的时间复杂度T（n）=20n'+

nJ侬n（nGN*）,一台计算机每秒可以进行1.3亿次运算，则要保证该算法能在此计算机上1

秒内完成一次运行，则〃的最大值为（）

A.40B.50C.60D.70

【解析】选B.只需要7（A）=20G+z71og2〃Wl.3XIO*的最大〃即可,当〃=40时，7（40）=20

47

X40+40Xlog240^5.12X10<l.3X10%当〃=50时，7（50）=20X50'+50Xlog250^1.25

888

X1O<1.3X10,当/7=60时，7（60）=20X60'+60Xlog260^2.592X10>l.3X10%

综上所述，保证该算法能在此计算机上1秒内完成一次运行，〃的最大值为50.

,考点三构建函数模型解决实际问题|讲练互动

[典例2]（1）（2022•咸阳模拟）某城镇为改善当地生态环境，2016年初投入资金120万元，以

后每年投入资金比上一年增加10万元，从2020年初开始每年投入资金比上一年增加10%,

到2025年底该城镇生态环境建设共投资大约为（）

A.1600万元B.1660万元

C.1700万元D.1810万元

(2)(2022•长沙模拟)由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁来袭.为提高公民的取暖水平,

某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，

每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费

用分别为5千元和8万元.那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区_______处

()

A.5千米B.6千米C.7千米D.8千米

【解析】(1)选〃设2016年到2025年每年投入资金分别为④，a2,a：,,a”b,,也，…，b6,

由已知a”a2,a：?,a”为等差数列，ai=120,34—150,其和为Si=ai+a2+a3+a4=540,乂b”

b2,be为等比数列,bi=150Xl.1,公比q=Ll,

150X11(1—1r)

其和为S=b+b+-+b=-----；一.一=1650(1.16-1),又1.16=(1+0.1)6^1

21261—1.1

1

+C0.1+

6

23

C0.12+C0.13^1.77,所以S2-1270,所以I+S2Pl810,即共投入资金大约为1810万

66

元.

(2)选4设供热站建在离社区x千米处，则自然消费,供热费y2=k2X,当x=20时，

2

Yi=0.5,y=8,所以ki=10,^2=7，两项费用之和：

25

y=y1+y2=W+|X^2A—•=4,当且仅当史=曰x,即x=5时取等号，故供热站应