广东省2022届高三数学三模试卷及答案

广东省2022届高三数学三模试卷

一、单选题

1.已知集合4={x|ex<1},B=(x\lnx<0],贝|J()

A.AVB={x|x<1]B.Ar\B=0

C.AQBD.BUA

2.设复数z满足iz=1+i,-zz\=()

A.0B.V2C.2D.272

3.已知直线心丫=依+1与圆。：N+y2=4相交于4、B两点，则“k=0”是=2点’的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.古希腊数学家帕普斯提出著名的蜂窝猜想，认为蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代表.他

在《汇编》一书中对蜂房的结构作出精彩的描写“蜂房是由许许多多的正六棱柱组成，一个挨着一

个，紧密地排列，没有一点空隙.蜜蜂凭着自己本能的智慧选择了正六边形，因为使用同样多的原材

料，正六边形具有最大的面积，从而可贮藏更多的蜂蜜.”某兴趣小组以蜂窝为创意来源，制作了几个

棱长均相等的正六棱柱模型，设该正六棱柱的体积为匕，其外接球的体积为匕，则^=()

A.3B.%C.率D.迪

兀167r257r647r

5.已知双曲线C：为一力=l(a>0,b>0),Fi，&分别是双曲线的左、右焦点，M是双曲线右支

上一点连接M0交双曲线C左支于点N,若AMNF2是以尸2为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的

离心率为()

A.V2B.V3C.2D.V5

6.将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温、信息登记、维持秩序、现场指引4个岗位，每名志愿

者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有()

A.120种B.240种C.360种D.480种

7.已知函数f(x)=3cos(3X—冬)(3>0)，且f(x)在［0,兀］有且仅有3个零点，则3的取值范围

是()

A.«)B.竽)C.学)D.卓,沙

335ooooo

8.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数、公式和定理，如：欧拉函数

(p(n)(nCN*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，(互素是指两个整数

的公约数只有1),例如：9(1)=1;卬(3)=2(与3互素有1、2)；<p(9)=6(与9互素有1、2、4、5、

7、8).记S.为数列｛八@(3与｝的前n项和,则Sio=()

A.^x310+|B.^X31O+JC.^X3n+|D•空x3】1+〃

二、多选题

9.一部机器有甲乙丙三个易损零件，在一个生产周期内，每个零件至多会出故障一次，工程师统计

了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如下柱状图，由频率估计概率，在一个

生产周期内，以下说法正确的是()

A.至少有一个零件发生故障的概率为0.8

B.有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大

C.乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大

D.已知甲零件发生了故障，此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大

10.“圆幕定理''是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2,点P是圆。内

的定点，且OP=&,弦AC、BD均过点P,则下列说法正确的是()

A.(OD+OB)-DB=0

B.方•丽为定值

C.a.沅的取值范围是[-2,0]

D.当4C18D时，丽•而为定值

11.已知a,bER，e是自然对数的底，若b+eb=a+lna,贝哈的取值可以是()

A.1B.2C.3D.4

12.在正方体力BCD-力道1的。1中，4B=1,点P满足而=2而+〃无1，其中;[0,1],“6

[0,1]，则下列结论正确的是()

A.当〃平面&BD时，8止可能垂直C%

B.若BiP与平面CC1%。所成角为1则点P的轨迹长度为今

C.当；1=〃时，|前|+|行|的最小值为与匹

D.当2=1时，正方体经过点公、P、C的截面面积的取值范围为[5，V2]

三、填空题

13.在数列｛剧｝中，。3=3,3an+1=an,为｛斯｝的前n项和，贝!JSd=.

TF

14.已知tana=2,贝ijsin(2a-.)=.

15.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，Fi,F2为C的两个焦点，C的短轴长为4,且C

上存在一点P,使得|PF/=6|PF2],写出C的一个标准方程：.

16.已知函数/'(%)=1+21og2(l+x)(x£(—1,4-oo)).

(1)VxG(—1,+co),/(I+2%)—/(%)=;

(2)若m,n满足/(m-1)+f(n-2)=/(n)-1,则m+ri的最小值是.

四、解答题

17.已知△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，月.2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.

(1)求角Z的大小；

(2)设点。为BC上一点，AD^ABC的角平分线，且4。=2,b=3,求△ABC的面积.

18.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，AB=2,AD=2版,顶点P在底面ABCD的正投

影为AD的中点O.

(1)求证：平面PAC_L平面P0B

(2)若平面PAB与平面PCD的交线为1,P0=2,求1与平面PAC所成角的大小.

19.已知数列｛斯｝的前n项和S”，的=1,an>0,anan+1-4Sn-1.

(1)计算。2的值，求｛斯｝的通项公式；

(2)设垢=(―1)”即册+1，求数列｛%｝的前n项和7”.

20.学习强国APP从2021年起，开设了一个“四人赛”的答题模块，规则如下：用户进入“四人赛''后

共需答题两局，每局开局时，系统会自动匹配3人与用户一起答题，每局答题结束时，根据答题情

况四人分获第一、二、三、四名.首局中的第一名积3分，第二、三名均积2分，第四名积1分；第二局

中的第一名积2分，其余名次均积1分，两局的得分之和为用户在“四人赛''中的总得分.假设用户在

首局获得第一、二、三、四名的可能性相同；若首局获第一名，则第二局获第一名的概率为:若首局

没获第一名，则第二局获第一名的概率为去

(1)设用户首局的得分为X,求X的分布列；

(2)求用户在“四人赛”中的总得分的期望值.

21.已知椭圆E：及+*l(a>b>0)的离心率为最且经过点(-1,|).

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设椭圆E的右顶点为A,点。为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，直线

1：久=t(t>a)交x轴于点P,直线PB交椭圆E于另一点C,直线BA和CA分别交直线1于点M

和N,若O、A、M、N四点共圆，求t的值.

22.设函数/(x)=--+2sinx.

(1)若a=l,求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；

(2)若/(久)在区间(0,2兀)上有唯一零点，求实数a的取值范围.

答案解析部分

L【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】A,D

10.【答案】A,B,D

1L【答案】C,D

12.【答案】A,B,D

13.【答案】40

14.【答案】嗯

10

15•【答案】号+*=1(答案不唯一)

16.【答案】(1)2

⑵J

17.【答案】(1)解：在△ABC中，由正弦定理及2asin4=(2匕+c)sin8+(2c+b)sinC得：a2

M—be=c2,••

由余弦定理得cos力=迎卫=_L

2bc2

又0<4<兀，所以2=富

(2)解：AD是△SBC的角平分线，^BAD=^DAC=1,

1Ar\•17.7T

由S&A8c=+SKAD可得/besin竽=2cxADxstirxADxsing-

因为b=3,AD=2,即有3c=2c+6,c=6,

故SAABC=3bcsinA=^x3x6x^=

18.【答案】(1)证明：在RtAABC中，tantACBu^，在RtAAOB中，tanzABO=孝，

则〃CB=zAB。，^^AACB+^OBC=J,

所以AC1BO

因为POL平面ABCD,ACu平面4BCD,则ACJLPO；

又POCBO=0,PO,OBu平面P08,所以AC,平面POB,

而ACu平面PAC,所以PAC,平面POB

(2)解：因为的/CD,ABC平面PCD,CDu平面PCD,

所以AB〃平面PCD,.

又平面PABCI平面PCD=1,ABu平面PCD,所以1〃/B.

则1与平面PAC所成角的正弦值等于AB与平面PAC所成角的正弦值..

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Z-xyz,

则A(0,0,0),P(0,V2.V2),B(2,0,0),C(2,2鱼，0),

所以而=(0,V2,V2),AC=(2,2V2,0).AB=(2,0,0).

=

设平面PAC的一个法向量为n=(x,y,z),则广笠H[Jf+°,即『=一每，

i)In-＞1C=0(2x+242y=0Iz=-y

令y=1,得几—(—V2/1,-1).

设1与平面PAC所成角为。，则sin。=|cosV元，荏＞|=J二驾；=/.

又因为。€[0,刍，所以1与平面PAC所成角为全

19.【答案】(1)解：当n=1时,a-la2=4al—1,解得a?=3

由题知即斯+1=4Sn-1①

斯+1%1+2=4S=+i—1②

由②一①得须+1(%+2-即)=4an+1,

因为即＞0,所以。„+2-即=4

所以数列｛a"的奇数项是以劭=1为首项，以4为公差的等差数列；偶数项是以a2=3为首项，以4

为公差的等差数列；

当n为奇数时，厮=1+(粤-1)X4=2n-1

当n为偶数时，=3+(^-1)x4=2n-1所以｛斯｝的通项公式即=2n-l.

（2）解：由⑴可得"=（一1）九（2"-1）（2几+1）.

当n为偶数时，

Tn=一的做+。2a3-a3a4+。4a5+…+(-1)%九册+1

a

=a2(-a1+a3)+。式一。3+。5)-----H时(一册-1+n+i)

贺3+2九-1)

=4((^2+。4+••,+Qn)=4-------7y-------=2九("+1)

乙

当n为奇数时，

当n=1时，4=-3

当n>3时，

九？1(3+271—3)

Tn—7\_]斯斯+]=4---------------------(2n—l)(2n+1)=—2n^—2n+1

经检验，7Y也满足上式，

2

所以当n为奇数时，Tn=-2n-2n+1

2n2+2n,n=2k,kE.N*

综上,数列｛%｝的前n项和7\=

-2n2—2n+1,n=2k—1,kWN*

20.【答案】（1）解：X的所有可能取值为3,2,1,

P(X=3)=*1，P(X=2)=*i+l*l=}P(X=1)=

其分布列为

X321

p111

424

（2）解：方法一：设总得分为丫，贝Ijy的取值为5,4,3,2,

则PW=5）=袅卜去，P（r=4）=lx|+|x|=|l

p（y=3）=X12+京1x1p5（r=2）=11x2|=i1

y的分布列为

Y5432

P11151

2030126

所以E(Y)=5x+4x+3x-^2+2x/=33

方法二：E(X)=3x1+2x|+lx1=2.

设第二局得分为y,则丫的取值为2,1.

则有p（y=2）=1xj+1x|=^,p（y=i）=|x|+1x|=^

化简得丫的分布列为

Y21

37

P

TOTO

37

E(F)=2xyg+1x-jg—1.3>

四人赛总分期望为E(X)+E(Y)=2+1.3=3.3

(c一1

a-2

21.【答案】(1)解：依题意：《三十==1，解得：a2=4,M=3，

Q24b2

2

14—fo=C2

故椭圆c的方程为¥+¥=1；

43

(2)解：设B(%i，y》C(x2,，2)，'••点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，

则直线BC不与x轴重合，则可设BC为工=my+3

与椭圆方程联立得(362+4)y2+6mty+3t2-12=0,

222

则A=367n2t2_12(3m+4)(t-4)>0,可得12V3m+4,

2

由韦达定理可得力+丫2=一磊，32=募普

直线BA的方程为y=形(%-2),令久=t得点M纵坐标yM=马鬻

同理可得，点N纵坐标喷言.

当O、A、M、N四点共圆时，由割线定理可得山川•|PO|=\PM\■\PN\,即t(t-2)=\yMyN\,

..：丫12(£-2)2=丫—2«-2)2=_________%—(・2)2_________=

2

•yMyN-(X