苏教版选择性必修第一册3.2.2双曲线的几何性质随堂作业

【优选】双曲线的几何性质-1随堂练习一．填空题1．若双曲线的离心率为，则直线的倾斜角为_______．2．已知双曲线的焦距为是的右顶点，在的一条渐近线上存在两点，使得，且，写出符合条件的双曲线的一个标准方程为___________.3．已知双曲线：的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是________．4．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线分别与两条渐近线交于．两点，若，，则______.5．设是双曲线的右焦点，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则双曲线的渐近线方程是______.6．若双曲线的虚轴长为，则实数的值为__________.7．双曲线的虚轴长是___________________.8．以下四个关于圆锥曲线的命题：①设．是两个定点，为非零常数，若，则的轨迹是双曲线；②过定圆上一定点作圆的弦，为原点，若，则动点的轨迹是椭圆；③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线与椭圆有相同的焦点.其中正确命题的序号为__________9．已知动圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为_______.10．已知双曲线C：的左焦点为F，过F且与C的一条渐近线垂直的直线l与C的右支交于点P，若A为PF的中点，且为坐标原点，则C的离心率为________.11．已知双曲线，则渐近线方程为______；离心率e为______.12．已知是双曲线上的一点，，是双曲线的两个焦点，且，则的面积是______.13．在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线与双曲线（，）的渐近线分别交于P，Q两点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________.14．已知F是双曲线的右焦点，若点P是双曲线的左支上一点，，则周长的最小值为______．15．已知双曲线=1的左．右焦点分别为F1．F2，M是双曲线上一点，若，则三角形的面积为______.

参考答案与试题解析1．【答案】【解析】∵双曲线的离心率为，∴，∴，∴直线的倾斜角为.故答案为：2．【答案】（答案不唯一）【解析】分析：设渐近线方程为，则点到渐近线的距离，结合，，推出，然后求解离心率，再写一个简单的标准方程即可.详解：设渐近线方程为，则点到渐近线的距离，又，，则，即有，所以，，再写一个简单的标准方程即可.故答案为：（答案不唯一）3．【答案】【解析】分析：要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，必有，而焦点到双曲线渐近线的距离为，故，利用双曲线的离心率的计算公式解答．详解：解：∵，，所以离心率，圆是以为圆心，半径的圆，要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，必有，而焦点到双曲线渐近线的距离为，所以，即，所以，所以双曲线的离心率的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的灵活运用．4．【答案】1【解析】分析：由题意画出图形，结合已知可得B（，），写出F1B的方程，与联立求得A点坐标，得到A为B．F1的中点，可得结论．详解：如图，因为B在渐近线上，∴设B（，）,且，，∵，∴，则B（，）∴F1B：y（x+2），联立，解得A（，），即A为B．F1的中点∴．故答案为：1.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．5．【答案】【解析】分析：由题意可得，则，设渐近线为的倾斜角为，则可得，，根据二倍角公式可求解.详解：双曲线C：的渐近线为，由题意，得，则在中，，则.设渐近线为的倾斜角为，即，则，则在中，，在中，，则，即，即，所以，故双曲线的渐近线方程为：故答案为：【点睛】本题考查求双曲线的渐近线的方程，考查双曲线的几何性质，考查三角函数的二倍角公式的应用，属于中档题.6．【答案】或1【解析】分析：分别讨论，两种情况，根据双曲线的虚轴长，即可得出结果.详解：因为双曲线的虚轴长为，①当时，双曲线方程可化为，有，得；②当时，双曲线方程可以化为，得；故实数的取值为或1.故答案为：或1.7．【答案】6.【解析】分析：根据双曲线的几何性质可以得出虚轴长.详解：解：双曲线的虚轴长是，所以双曲线的虚轴长是6.故答案为：6.【点睛】双曲线中：（1）实轴长为，实半轴长为；（2）虚轴长为，虚半轴长为.8．【答案】③④【解析】分析：根据双曲线的定义可判断①的正误；推出点是的中点，利用垂径定理和圆的定义可判断②的正误；求出方程的两根，结合椭圆．双曲线离心率的取值范围可判断③的正误；求出双曲线与椭圆的焦点坐标，可判断④的正误.详解：①不正确，若动点的轨迹为双曲线，则，当点在的延长线上时，显然这种曲线是射线，而非双曲线；②不正确，，，则是的中点，根据垂径定理，圆心与弦的中点连线垂直于这条弦，设圆心为，那么有，即恒为直角，由于是圆的半径，为定值，而恒为直角，也就是说，在以为直径的圆上运动，为直径所对的圆周角，所以点的轨迹是一个圆；③正确，方程的两根分别为和，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④正确，双曲线与椭圆的焦点坐标都是.故答案为：③④.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标．表示相关点的坐标．，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标．之间的直接关系难以找到时，往往先寻找．与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.9．【答案】【解析】分析：根据题意利用两圆相切的性质，分类讨论求出圆的圆心轨迹的方程.详解：解：设，的圆心分别为，圆的半径为.当圆与圆内切，与圆外切时，这时有，圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线的左支；当圆与圆外切，与圆内切时，这时有，圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线的右支，因此圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线，，所以方程为：.故答案为：.【点睛】，进而得圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线即可得方程.10．【答案】【解析】分析：设双曲线的右焦点为，设直线l与渐近线交于，可求出，，，由椭圆定义可得，，在直角三角形中，，即可求出，得出离心率.详解：如图所示，设双曲线的右焦点为，不妨设直线l与渐近线交于，在直角三角形中，由点到直线的距离可得，，，为的中位线，，，，，，则在直角三角形中，，化简得，.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解题的关键是正确利用直角三角形的性质和椭圆的定义表示出各线段长度，得到.11．【答案】【解析】分析：由已知得双曲线的焦点在轴上，故其渐近线方程为，离心率详解：由已知得双曲线的焦点在轴上，，故其渐近线方程为，即，离心率.故答案为：①，②12．【答案】【解析】分析：由双曲线定义，可知，且，在中，由余弦定理和双曲线的定义，求得，结合面积公式，即可求解.详解：设点为双曲线右支上的点，且由双曲线定义，可知则在中，由余弦定理可知：，即，即，解得，则.故答案为：.13．【答案】【解析】分析：先求出的面积，再利用等积法可求的关系，从而可求离心率.详解：不妨设在轴的上方，在轴的下方.抛物线的准线方程为：，双曲线的渐近线方程为：.故，，故.而，故，所以，故.故答案为：.【点睛】关键点点睛：圆锥曲线的离心率的计算，关键是利用已知条件构建关键的等量关系式，遇到三角形的内切圆半径的计算问题时，一般利用等积法来沟通半径与三角形的边的关系.14．【答案】34【解析】分析：把到右焦点的距离转化为到左焦点的距离后易得最小值．详解：双曲线中，，，即，设是双曲线的左焦点，，则∵在双曲线的左支上，∴，即，∴周长为，显然，当且仅当是线段与双曲线的交点时等号成立．∴周长的最小值为．故答案为：34.【点睛】方法点睛：本题考查双曲线上的点到定点和双曲线一个焦点距离和（或差）的最值问题．解题关键是掌握转化思想，根据双曲线的定义，如果涉及的是，则把转化为到另一焦点的距离，如