知识讲解奇偶性编稿审稿

编稿 xf(-x)=f(x)，f(x)称为偶函数.xf(-x)=-f(x)，f(x)称为奇函数. （3）f(-x)=f(x)f(xf(x)0,f(x)1f(x)0ff(-x)=-f(x)f(xf(x)0f(x)1f(x)0，fyyf(x的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既f(xf(xf(x)f(x)f(xf(x的奇偶性.若f(x)=-f(x)，则f(x)是奇函数；f(x)f(xf(xf(x)f(xf(xf(x)f(xf(x)f(xf(x若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f(x)与f(x)之一是否相等.f(xf(xf(x)f(x=0f(x)1ff(x)f(xx与xf(xf(x)对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定-a]f(x是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数f(x1.1-1-1f(x)(x

(2)f(x)=x-4|x|+3 (4)f(x)

1-|x2|1-1(5)f(x)x2x(x

(6)f(x) [g(x)-g(x)](x2（2）（3）（4）（5）（6）【解析】(1)∵f(x)的定义域为-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数1-1-1-

-1x1-x21-x2x+2x0且x

x-1,0f(x) (x2)- 1-(-1-f(-1-(-1--

f(x，∴f(x) f(-x)1{g(-x)-g[-(-x)]}1[g(-x)-g(x)]-f(f(-x)

2x2f(x)

x2

(2)f(x)|x1||x1|； (3)f(x)

xx22x (x(4)f(x) (x0)x22x1(x（2）（3）（4）【解析】(1)f(xRf(x)

(x)23

3xx23

f(x，f(xf(xRf(x|x1||x1||x1||x1|f(x，f(x是偶函数f(x)(x)2(x)1x2xf(xf(x)且f(xf(xf(x为非奇非偶函x<0，则-x>0f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=- 【课堂：函数的奇偶性356732例2（1【课堂：函数的奇偶性356732例2（2【变式3】设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ A．f(x)+|g(x)|是偶函 B．f(x)-|g(x)|是奇函C．|f(x|+g(x)是偶函数D．|f(x|-g(x)【答案】2f(xxR，若对于任意实数abf(abf(af(bf(xab，都有f(ab)f(af(b)abf(x)f(x)a0f(bf(0f(b，f(00又设axbx，则f(0f(xf(xf(xf(x，f(x是奇函数【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断f(x)f(xf(0的值才行.1f(xxRx1x2f(x1x2f(x1x22f(x1f(x2f(x【解析】令

x10x2

f(x)f(x)2f(0)f

，令x20,x1 f(x)f(x)2f(0)f由上两式f(xf(xf(xf(x，即f(xff(x类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结3.f(x)，g(xH(x)af(xbg(x2在05H(x在,0）上的最小值 【答案】-f(xg(xH(xH(xH(x)+H(x)=af(x)bg(x)2af(x)bg(x)f(x)f(x),g(x)g(x)H(x)H(x)4x0H(x)4H(x而x0，H(x)5，H(x)H(x在(0上的最小值为-【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现af(xbg(x

x0H(x5，x0af(xbg(x的最大值为3，x0时af(xbg(x的最小值为-3，x0时，H(x的最小值为-【答案】-∴8a-2b=- ∴g(-2)=- g(2便能迎刃而解.4（2014f(x)Rx＞0f(xx2x（2），x2x1(x（1）f(x0(xx2x1(x

1（2（－∞，－2

12∴f(x)(x)2(x)1x2x∴f(－x)=∴f(x)f(x)x2xx=0f(0x2x1(x f(x)0(xx2x1(xyy1Ox（－∞2

12f(xx0f(0)0，即它的图象必过原点（0，0【课堂：函数的奇偶性356732例31】（1）f(x的定义域是R，x0f(xx23x1，求f(x)的解析式.（2）g(xRx0g(x)x22x1，g(x

x23x1(x

x22x1(x【答案】（1）f(xx23x1(x

；（2）g(x)

（xx22x1(x5.[－2，2]g(xx≥0g(xg(1mm1－m，m∈[―1，2]1―m，m在[―2，0]，[0，2]的哪个区间内尚f(xf(x)f(x)f(|x|【答案】

1,)2g(xg(1m)g(m1)，g(m)g(|m|)x≥0时，g(x)|m1||m

m22m1故g(1m)g(m)g(|m1|)g(|m|) 1|

2m1

1m12m的取值范围是

11,)2

2m1―m，m转化到同一单调区间上，避免了对由于6.yf(x是偶函数，且在[0，+∞）f(1x2【解析】∵f(x是偶函数，且在[0，+∞）f(x在（－∞，0]上是增函数．u=1―x2，则函数f(1x2是函数f(u)u=1―x2的复合函数．0≤x≤1时，uu≥0u≥0f(uf(1x2x≤－1时，uu≤0u≤0f(uf(1x2同理可得当－1≤x≤0x≥1f(1x2取值范围．本例中，x≥1时，u仍是减函数，但此时u≤0f(u的减区间，所以不能取x≥1f(x)f(x)0的解集为 x D（﹣1，0）∪（0，1）【答案】f（x）可知f(xf(x)2f(x)0xf（x） f（x）在（0，+∞）f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，时，f（x）＜0=f（1f（x）＞0=f（﹣10＜x＜1或﹣1＜x＜0．【总结升华】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．首先利用奇函数定义与f(xf(x)0xf（x）f（﹣1）=﹣f（1）=0，f（x）的单调性解出答案．a=0a≠0a1时，f(x

3aa1时，f(x

3a1a1时，f(x

a21

a=0f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；a≠0f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.xa时f(x)x1)23 a1时，函数f(x)在a，上的最小值为f1)3 1且 )12a1时，函数f(x)在a2f(x)在axa时f(x)x2-xa1x1)2a a1时，函数f(x)在-a2f(x)在-，af(a)a2a1时，f(x)在-，af1)3a，且f(1)

f 综上：a-1时，f(x) 3-a;a1时，f(x) 3 1a1时，f(x

a21

1f(x)|xa||xa|aR【答案】当a0f(x既是奇函数，又是偶函数；当a0f(x【解析】对aa0，则f(x|x||x|0xR，R关于原点对称，f(xa0

f(x)|xa||xa||xa||xa|f(x)

f(x)综上，当a0f(xa0f(x8.对于函数f(xx0∈R

（1，1（―3，―3bf(xax2bxb)(a0a的取Rg(x存在（有限）n个不动点，求证：n（）a1，b=（2（，1（）（1）x=1x=―3ax2+bx―b=x13b 由违达定理3

由已知得：ax2+bx―b=x（a≠0）有两个不相等的实数根∴Δ1=(b－1)2+4ab＞0b恒成立．b2+(4a－2)b+1＞0b恒成立．f(bb24a2)b1f(b从而Δ2=(4a―2)2―4＜0，即∴满足题意