2019届数学复习第三章导数及应用层级快练15文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE8学必求其心得，业必贵于专精层级快练(十五)1．y＝lneq\f（1,x）的导函数为（）A．y′＝－eq\f（1,x） B．y′＝eq\f（1,x)C．y′＝lnx D．y′＝－ln（－x）答案A解析y＝lneq\f(1，x）＝－lnx，∴y′＝－eq\f(1,x）.2．(2018·东北师大附中摸底）曲线y＝5x＋lnx在点(1，5)处的切线方程为()A．4x－y＋1＝0 B．4x－y－1＝0C．6x－y＋1＝0 D．6x－y－1＝0答案D解析将点（1，5)代入y＝5x＋lnx成立，即点（1，5)为切点．因为y′＝5＋eq\f(1，x）,所以y′eq\b\lc\|（\a\vs4\al\co1(，））eq\s\do7(x＝1)＝5＋eq\f(1,1)＝6。所以切线方程为y－5＝6（x－1),即6x－y－1＝0。故选D.3．曲线y＝eq\f(x＋1，x－1)在点(3，2)处的切线的斜率是（)A．2 B．－2C。eq\f(1,2) D．－eq\f(1，2)答案D解析y′＝eq\f(（x＋1）′（x－1）－(x＋1)（x－1）′，（x－1)2）＝－eq\f（2，(x－1）2)，故曲线在(3，2）处的切线的斜率k＝y′｜x＝3＝－eq\f（2，(3－1）2)＝－eq\f（1,2),故选D。4．(2018·郑州质量检测）已知曲线y＝eq\f(x2，2)－3lnx的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A．3 B．2C．1 D.eq\f（1，2)答案A解析设切点坐标为（x0，y0）,且x0>0，由y′＝x－eq\f（3，x)，得k＝x0－eq\f（3,x0）＝2,∴x0＝3。5．（2018·衡水调研卷)设f(x）＝xlnx,若f′(x0)＝2，则x0的值为（）A．e2 B．eC.eq\f(ln2,2) D．ln2答案B解析由f（x）＝xlnx,得f′(x)＝lnx＋1。根据题意知lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，因此x0＝e。6．(2018·山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图像关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为（）A．f(x）＝3cosx B．f(x)＝x3＋x2C．f（x）＝1＋sin2x D．f（x)＝ex＋x答案C解析A项中，f′(x)＝－3sinx，是奇函数，图像关于原点对称，不关于y轴对称;B项中，f′（x)＝3x2＋2x＝3(x＋eq\f(1，3))2－eq\f(1,3)，其图像关于直线x＝－eq\f(1,3）对称；C项中,f′（x）＝2cos2x,是偶函数,图像关于y轴对称；D项中,f′(x）＝ex＋1，由指数函数的图像可知该函数的图像不关于y轴对称．故选C。7．(2018·安徽百校论坛联考）已知曲线f(x)＝eq\f（ax2，x＋1）在点(1，f（1))处切线的斜率为1，则实数a的值为()A.eq\f（3，2) B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(3,4） D.eq\f（4，3)答案D解析由f′(x)＝eq\f(2ax（x＋1)－ax2,(x＋1）2）＝eq\f(ax2＋2ax，(x＋1）2）,得f′（1)＝eq\f（3a,4）＝1，解得a＝eq\f（4,3）。故选D。8．（2018·衡水中学调研卷）已知函数f（x)＝eq\f（1，2)x2·sinx＋xcosx，则其导函数f′（x)的图像大致是（）答案C解析由f（x)＝eq\f(1，2)x2sinx＋xcosx,得f′（x)＝xsinx＋eq\f（1,2）x2cosx＋cosx－xsinx＝eq\f（1，2）x2cosx＋cosx.由此可知,f′（x）是偶函数，其图像关于y轴对称，排除选项A,B。又f′（0)＝1，故选C.9．f(x）与g(x）是定义在R上的两个可导函数，若f(x），g(x)满足f′(x)＝g′（x），则f(x)与g（x)满足（）A．f（x)＝g(x) B．f（x）＝g（x）＝0C．f（x）－g（x)为常数函数 D．f(x）＋g(x）为常数函数答案C10．（2017·《高考调研》原创题）设函数f(x)在(0，＋∞）内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′（2017)＝（)A．1 B．2C.eq\f(1，2017) D.eq\f（2018,2017)答案D解析令ex＝t，则x＝lnt，所以f（t）＝lnt＋t，故f(x）＝lnx＋x。求导得f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，故f′(2017）＝eq\f(1,2017)＋1＝eq\f(2018,2017）.故选D.11．（2018·河南息县高中月考）若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为()A．1 B。eq\r（2)C。eq\f(\r（2），2) D.eq\r（3）答案B解析当过点P的直线平行于直线y＝x－2且与曲线y＝x2－lnx相切时，切点P到直线y＝x－2的距离最小．对函数y＝x2－lnx求导，得y′＝2x－eq\f(1,x）。由2x－eq\f(1,x)＝1,可得切点坐标为(1，1)，故点(1,1）到直线y＝x－2的距离为eq\r（2），即为所求的最小值．故选B。12．(2018·重庆一中期中）已知函数f（x）＝ex＋ae－x为偶函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率为eq\f(3,2），则切点的横坐标等于（)A．ln2 B．2ln2C．2 D。eq\r(2）答案A解析因为f（x)是偶函数，所以f(x)＝f（－x），即ex＋ae－x＝e－x＋ae－（－x）,解得a＝1，所以f(x）＝ex＋e－x，所以f′（x）＝ex－e－x.设切点的横坐标为x0，则f′（x0)＝ex0－e－x0＝eq\f(3，2).设t＝ex0(t>0)，则t－eq\f(1，t）＝eq\f（3，2)，解得t＝2，即ex0＝2，所以x0＝ln2.故选A。13．已知y＝eq\f（1，3）x3－x－1＋1，则其导函数的值域为________．答案[2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x（x－1)（x－2)(x－3）（x－4）（x－5）,则f′(0）＝________．答案－120解析f′(x)＝(x－1)(x－2）（x－3)(x－4）(x－5)＋x［（x－1）(x－2）(x－3）（x－4）（x－5)］′，所以f′（0）＝(－1）×(－2）×(－3)×(－4）×(－5）＝－120。15．（2018·重庆巴蜀期中)曲线f（x）＝lnx＋eq\f（1,2）x2＋ax存在与直线3x－y＝0平行的切线,则实数a的取值范围是________．答案(－∞，1］解析由题意，得f′（x)＝eq\f(1，x）＋x＋a，故存在切点P(t，f（t)），使得eq\f（1,t）＋t＋a＝3,所以3－a＝eq\f（1，t)＋t有解．因为t>0，所以3－a≥2(当且仅当t＝1时取等号)，即a≤1。16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝2x2.(1)求x〈0时,f（x)的表达式；(2)令g（x)＝lnx，问是否存在x0,使得f(x)，g（x)在x＝x0处的切线互相平行？若存在，求出x0的值;若不存在,请说明理由．答案(1)f（x）＝－2x2（x<0)(2）存在，x0＝eq\f(1，2)解析(1）当x〈0时,－x>0,f(x)＝－f(－x)＝－2(－x）2＝－2x2。∴当x〈0时，f(x）的表达式为f(x)＝－2x2。（2）若f（x），g（x）在x0处的切线互相平行，则f′（x0）＝g′(x0），当x>0时，f′(x0)＝4x0＝g′（x0）＝eq\f（1,x0），解得，x0＝±eq\f（1，2）。故存在x0＝eq\f（1,2）满足条件．17．(2018·河北卓越联盟月考)已知函数f(x)＝x3＋x－16。（1）求曲线y＝f（x)在点(2,－6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．答案(1）y＝13x－32（2)直线l的方程为y＝13x，切点坐标为（－2,－26)解析(1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1。所以曲线y＝f(x）在点（2，－6）处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以要求的切线的方程为y＝13x－32.(2）设切点为(x0，y0），则直线l的斜率为f′(x0)＝3x02＋1,所以直线l的方程为y＝（3x02＋1)（x－x0)＋x03＋x0－16。又直线l过点(0,0)，则（3x02＋1）(0－x0）＋x03＋x0－16＝0，整理得x03＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2）3＋（－2)－16＝－26，l的斜率k＝13，所以直线l的方程为y＝13x,切点坐标为（－2，－26)．1．曲线y＝eq\f（sinx,sinx＋cosx)－eq\f（1,2)在点M（eq\f(π，4），0）处的切线的斜率为（）A．－eq\f(1,2） B。eq\f（1,2）C．－eq\f（\r（2)，2) D.eq\f(\r（2)，2)答案B解析∵y′＝eq\f(1，（sinx＋cosx）2）·[cosx(sinx＋cosx)－sinx·(cosx－sinx)]＝eq\f(1，（sinx＋cosx）2),∴y′|x＝eq\f（π,4）＝eq\f(1,2)，∴k＝y′｜x＝eq\f(π,4）＝eq\f(1,2).2．(2017·山东东营一模）设曲线y＝sinx上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x），则函数y＝x2g答案C解析根据题意得g(x）＝cosx,所以y＝x2g(x）＝x2cosx为偶函数．又x＝0时，y＝0.故选3．（2017·山东烟台期末）若点P是函数y＝ex－e－x－3x(－eq\f(1,2）≤x≤eq\f（1，2））图像上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是()A。eq\f(5π,6) B.eq\f(3π,4）C.eq\f（π,4） D.eq\f（π，6）答案B解析由导数的几何意义,k＝y′＝ex＋e－x－3≥2eq\r(ex·e－x）－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．即tanα≥－1，α∈［0，π)，又∵tanα〈0，所以α的最小值为eq\f(3π,4），故选B。4．(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f（x）＝ax3＋x＋1的图像在点（1，f(1））处的切线过点(2，7),则a＝________．答案1解析因为f(x)＝ax3＋x＋1,所以f′（x)＝3ax2＋1,所以f（x)在点（1，f(1))处的切线斜率为k＝3a＋1，又f（1)＝a＋2,所以切线方程为y－（a＋2）＝（3a＋1)(x－1），因为点(2,7）在切线上,所以7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.5.(2017·浙江十二校联考)函数f(x）的导函数f′(x）的图像是如图所示的一条直线l，l与x轴的交点坐标为（1，0），则f(0）与f（3)的大小关系为（）A．f(0)<f（3) B．f（0）〉f（3）C．f(0)＝f(3） D．无法确定答案B解析由题意知f(x）的图像是以x＝1为对称轴,且开口向下的抛物线，所以f（0）＝f(2)〉f（3)．选B.6．(2017·河北邯郸二模)曲线y＝log2x在点（1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．答案eq\f(1，2)log2e解析∵y′＝eq\f（1，xln2）,∴k＝eq\f（1，ln2)。∴切线方程为y＝eq\f(1,ln2）(x－1）．∴三角形面积为S△＝eq\f(1，2）×1×eq\f(1,ln2）＝eq\f(1,2ln2）＝eq\f(1,2)log2e.7．若抛物线y＝x2－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为________．答案4解析∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5。又P(－2，6＋c)，∴eq\f（6＋c,－2）＝－5.∴c＝4。8．若曲线y＝f（x）在点(x0，f（x0)）处的切线方程为2x＋y－1＝0，则()A．f′(x0)〉0 B．f′(x0）〈0C．f′(x0）＝0 D．f′(x0)不存在答案B解析切线方程为y＝－2x＋1，∴f′(x0)＝－2<0，故选B.9．若P，Q是函数f（x)＝x2－x(－1≤x≤1）图像上任意不同的两点，则直线PQ的斜率的取值范围是（）A．(－3，1） B．(－1，1）C．(0,3) D．(－4,2)答案A解析f′(x）＝2x－1，当x＝－1时，f′（－1）＝－3。当x＝1时,f′(1）＝1，结合图像可知，－3〈kPQ〈1。10．设函数y＝xsinx＋cosx的图像上的点(x0，y0）处的切线的斜率为k，若k＝g（x0）,则函数k＝g（x0）的图像大致为()答案A解析y′＝xcosx,k＝g(x0)＝x0cosx0，由于它是奇函数，排除B，C；当0<x<eq\f(π,4）时,k>0，排除D，答案为A。11．（2017·人大附中月考)曲线y＝lgx在x＝1处的切线的斜率是()A.eq\f（1,ln10） B．ln10C．lne D.eq\f(1,lne)答案A解析因为y′＝eq\f（1，x·ln10)，所以y′|x＝1＝eq\f(1,ln10），即切线的斜率为eq\f（1，ln10）。12．下列函数求导运算正确的是________．①（3x）′＝3xlog3e；②(log2x)′＝eq\f(1,x·ln2）;③（sineq\f（π，3))′＝coseq\f(π，3）;④（eq\f（1,lnx))′＝x。答案②13．(2016·天津文)已知函数f(x）＝(2x＋1）ex,f′（x)为f（x)的导函数，则f′(0)的值为________．答案3解析∵f′(x）＝2ex＋（2x＋1）ex＝（2x＋3)·ex，∴f′(0）＝3。14．(2016·课标全国Ⅲ，理）已知f(x)为偶函数，当x〈0时，f(x)＝ln（－x）＋3x，则曲线y＝f(x）在点（1，－3)处的切线方程是________．答案y＝－2x－1解析由题意可得当x>0时,f（x)＝lnx－3x，则f′(x）＝eq\f(1，x）－3，f′(1)＝－2,则在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2（x－1），即y＝－2x－1.15．(2015·课标全国Ⅱ)已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋（a＋2)x＋1相切，则a＝________．答案8解析由y′＝1＋eq\f(1，x）可得曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线斜率为2，故切线方程为y＝2x－1，与y＝ax2＋（a＋2）x＋1联立得ax2＋ax＋2＝0，显然a≠0，所以由Δ＝a2－8a＝0⇒a＝8。16．y＝x·tanx的导数为y′＝________．答案tanx＋eq\f(x,cos2x）解析y′＝（x·tanx)′＝x′tanx＋x（tanx）′＝tanx＋x·(eq\f(sinx，cosx）)′＝tanx＋x·eq\f(cos2x＋sin2x，cos2x)＝tanx＋eq\f（x，cos2x）.17．已知函数f（x）＝f′(eq\f(π，4))cosx＋sinx,所以f（eq\f（π，4)）的值为________．答案1解析因为f′(x)＝－f′（eq\f(π,4）)sinx＋cosx，所以f′（eq\f（π,4）)＝－f′(eq\f（π,4))sineq\f(π，4)＋coseq\f（π,4），所以f′(eq\f(π,4））＝eq\r（2)－1.故f(eq\f(π，4））＝f′（eq\f(π,4)）coseq\f（π,4)＋sineq\f(π,4)＝1。18．(2018·山西太原期中)设曲线y＝eq\f（1,x)在点（1，1)处的切线与曲线y＝ex在点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．答案（0,1）解析由y＝eq\f（1，x）得y′＝－eq\f（1,x2），所以曲线y＝eq\f（1，x）在点(1，1)处的切线的