学高中数学推理与证明反证法学案新人教A版选修

06/605/6/反证法学习目标核心素养1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)通过反证法的学习，培养学生的逻辑推理的核心素养.反证法的定义及证题的关键思考1：反证法的实质是什么？[提示]反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？[提示]反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．1．“a<b”的反面应是()A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a＝b或a>b[答案]D2．用反证法证明“如果a＞b，那么eq\r(3,a)＞eq\r(3,b)”，假设的内容应是________．[答案]eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．③①②[由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.]4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．①②③[反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．]用反证法证明否定性命题【例1】已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．[证明]假设eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差数列，则eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b.∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，∴a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)，∴(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0，即eq\r(a)＝eq\r(c).从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤[跟进训练]1．设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．[证明]假设AC⊥平面SOB，如图，∵直线SO在平面SOB内，∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．用反证法证明唯一性命题【例2】求证方程2x＝3有且只有一个根．[证明]∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，则2eq\s\up12(b1)＝3,2eq\s\up12(b2)＝3，两式相除得2eq\s\up12(b1－b2)＝1.若b1－b2>0，则2eq\s\up12(b1－b2)>1，这与2eq\s\up12(b1－b2)＝1相矛盾．若b1－b2<0，则2eq\s\up12(b1－b2)<1，这也与2eq\s\up12(b1－b2)＝1相矛盾．∴b1－b2＝0，则b1＝b2.∴假设不成立，从而原命题得证．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．[跟进训练]2．已知：平面α和一点P.求证：过点P与α垂直的直线只有一条．[证明]如图所示，不论点P在α内还是在α外，设PA⊥α，垂足为A(或P)．假设过点P不止有一条直线与α垂直，如还有另一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，∴假设不成立，原命题成立．用反证法证明“至多”“至少”问题[探究问题]1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的含义吗？[提示]量词含义至少有一个有n个，其中n≥1至多有一个有0或1个至少有n个大于等于n个2.在反证法证明中，你能说出“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的反设词吗？[提示]量词反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有n个至多有n－1个【例3】已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．[证明]假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＜a＜\f(1,2)，,a＞\f(1,3)或a＜－1，,－2＜a＜0.))∴－eq\f(3,2)＜a＜－1，这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．1．(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a的取值范围？[解]若三个方程都没有实根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16a2－4?3－4a?＜0，,?a－1?2－4a2＜0，,4a2＋8a＜0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＜a＜\f(1,2)，,a＞\f(1,3)或a＜－1，,－2＜a＜0，))即－eq\f(3,2)＜a＜－1，故三个方程至少有一个方程有实根，实数a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1或a≤－\f(3,2))))).2．(变条件)将例题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a的取值范围．[解]假设三个方程都有实数根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?4a?2－4?－4a＋3?≥0，,?a－1?2－4a2≥0，,?2a?2＋4×2a≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2＋4a－3≥0，,3a2＋2a－1≤0，,a2＋2a≥0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤－\f(3,2)或a≥\f(1,2)，,－1≤a≤\f(1,3)，,a≤－2或a≥0.))即a∈?.所以三个方程中至多有2个方程有实数根时，实数a的取值范围为R.当命题中出现“至少……”“至多……”“不都……”“都不……”“没有……”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角C[“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.]2．如果两个实数之和为正数，则这两个数()A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个正数D．两个都是负数C[假设两个数分别为x1，x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.]3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b?α，直线c?β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．b与c平行或相交[∵空间中两直线的位置关系有3种：