高中数学圆的方程典型例题全

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！(x+a)2+(y+b)2=2r2+2(xx+yy)②1212①+②，有x2+y2=2r2一(a2+b2).这就是所求的轨迹方程．解法三：设A(rcosa,rsina)、B(rcos卩，rsin卩)、Q(x,y)，由于APBQ为矩形，故AB与PQ的中点重合，即有TOC\o"1-5"\h\zx+a=rcosa+rcosP，①y+b=rsina+rsinP，②rsina-brsinP-b4又由pA丄PB有*=—1③rcosa-arcosP-a联立①、②、③消去a、p，即可得Q点的轨迹方程为x2+y2=2r2—(a2+b2).说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则将使解题陷入困境之中．本题给出三种解法．其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系．而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法．解法二涉及到了x、x、y、y四个参1212数,故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆x2+y2=r2的参数方程，只涉及到两个参数a、P，故只需列出三个方程便可．上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解．练习：1、由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，ZAPB=600，则动点P的轨迹方程是.解：设P(x,y).V^APB=6Oo,ZOPA=3Oo.VOA丄AP,|OP|=2|OA|=2,丫x2+y2=2,化简得x2+y2=4，•:动点P的轨迹方程是x2+y2=4.练习巩固：设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0)，求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为P(X,y)•由芈ApB(x+c)2+y2=a(a>0)，得=a,(x-c)2+y2化简得(1一a2)x2+(1一a2)y2+2c(1+a2)x+c2(1一a2)=0.当a丰1时，化简得x2+y2+2c(1+"Jx+c2=0，整理得(x-c)2+y2=()2；1一a2a2一1a2一1当a=1时，化简得x=0.1I所以当a丰1时，P点的轨迹是以(丄斗c,0)为圆心，a2一1当a=1时，P点的轨迹是y轴.2、已知两定点A(-2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA=2|PB|，贝y点P的轨迹所包围的面积等于解：设点P的坐标是(x,y)•由|PA|=2|PB\，得v(x+2)2+y2=2^(x-1)2+y2，化简得(x-2)2+y2=4,・•.点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，・•・所求面积为4兀.4、已知定点B(3,0)，点A在圆x2+y2=1上运动，M是线段AB上的一点，且AM=1MB,问点M的轨迹是什么？一1一1解：设M(x,y),A(x,yJ.TAM=3MB，•(x-片』-y,=3(3-x,-y),x-x=(3-x)131y-y=-一y13\o"CurrentDocument"4]x=x-1\o"CurrentDocument"134.•・•点A在圆x2+y2=1上运动，・•・y=y13x2Iy2=1，・1144(3x-1)2+(3y)2=1,3939即(x-4)2+y2=16，•点的轨迹方程是(x-4)2+y2=16例5、已知定点B(3,0)，点A在圆x2+y2=1上运动，ZAOB的平分线交AB于点M，则点M的轨迹方程是.解：设M(x,y),A(x,y).•OM是ZAOB的平分线，•凹=l°A=丄，•AM=1MB•由变式11|mb||ob|33391可得点M的轨迹方程是(X-3)2+y2=—.416练习巩固：已知直线y二kx+1与圆x2+y2二4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，求点P的轨迹方程.解：设P(x,y)，AB的中点为M.•・•OAPB是平行四边形，・•・M是OP的中点，.•.点M的坐标为(|，討且oM丄AB.•直线y=kx+1经过定点C(0，1)，.oM丄CM，.°m-CM=§2)-(爲-1)=(2)2+扪-1)=0，化简得x2+(y-1)2二1••点P的轨迹方程是x2+(y-1)2二1.类型九：圆的综合应用例25、已知圆x2+y2+x—6y+m-0与直线x+2y一3=0相交于P、Q两点，o为原点，且OP丄OQ，求实数m的值.分析:设P、Q两点的坐标为W，*、W，打，则由koP-koQ=-1，可得x1x2+y1y2=0,y再利用一元二次方程根与系数的关系求解.或因为通过原点的直线的斜率为上，由直线i与圆的方xoQ程构造以f为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出koP-J的值，从而使问题得以解决.oQ解法一设点P解法一设点P、Q的坐标为(x1，儿)、(x2,y2)•一方面由OP丄OQ，得k•k•k=-1，即乙-仝=-1，也即:oPoQxx12xx+yy=0.1212Ix+2Ix+2y-3=0另一方面，(x，y.)、(x2,y2)是方程组Ix2+y2+x-6y+m=011的实数解，即x1、x2是方程5x2+10x+4m一27=04m4m-27③・x+x=-2，xx=12125又P、Q在直线x+2y一3=0上,.•・yy=(3-x)-(3-x)=[9-3(x+x)+xx].12212241212m+12将③代入，得yy=125将③、④代入①，解得m=3，代入方程②，检验A>0成立,.m=3.

解法二：由直线方程可得3=x+2y,代入圆的方程x2+y2+x-6y+m二0，有1mX2+y2+3（X+2y）（X-6y）+9（X+2y）2=°’整理，得（12+m）x2+4（m一3）xy+（4m一27）y2=0.由于x丰0，故可得（4m-27）（上）2+4（m-3）2+12+m=0.xx•••kOP，kOQ是上述方程两根•故匸kOQ一1•得12+12+m4m-27解得m=3.经检验可知m=3为所求.说明：求解本题时，应避免去求P、Q两点的坐标的具体数值.除此之外，还应对求出的m值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P、Q存在.y解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于上的二次x齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感．例26、已知对于圆x2+(y-1)2二1上任一点P(x,y)，不等式x+y+m>0恒成立，求实数m的取值范围．分析一：为了使不等式x+y+m>0恒成立，即使x+y>-m恒成立，只须使(x+y)i>-mmin就行了.因此只要求出x+y的最小值，m的范围就可求得.解法一：令u二x+y，x+y=ux2+(y—1)2=1得:2y2一2(u+1)y+u2=0A>0且A=4（u+1）2一8u2，4（-u2+2u+1）>0.即u2—2u—1）<0，•1—v2WuW1+2，u=1-f2，即（x+y）=1v'2minmin又x+y+m>0恒成立即x+y>-m恒成立.(x+y).=1—*：2>—m成立，mmm>^2—1.分析二：设圆上一点P(cos0,1+sin0)[因为这时P点坐标满足方程X2+(y—1)2二1]问题转化为利用三解问题来解．解法二：设圆x2+(y—1)2二1上任一点P(cos0,1+sin0)0e[0,2兀)x=cos0，y=1+sin0x+y+m>0恒成立cos0+1+sin0+m>0即m>—(1+cos0+sin0)恒成立.只须m不小于一(1+cos0+sin0)的最大值.设u=—(sin0+cos0)—1=—、：2sin(0+—)—14u=、：2—1即m>、：2—1.max说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法.一般地，把圆(x—a)2+(y—b)2=r2上的点设为(a+rcos0,b+rsin0)(0e[0,2兀)).采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．例27有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍.已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用.解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法.解：以A、B所确定的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.\AB\=10,・•・A(—5,0)，B(5,0).

设某地P的坐标为(X,y)，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/公里,B地的运费为a元/公里.因为P地居民购货总费用满足条件：价格+A地运费W价格+B地的运费即