全国中学生数学竞赛二试模拟训练题_第1页
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加试模拟训练题1、已知ABCABPQ，证明APC与BQC的内切圆半径相等的充分必要条件是AQC与BPC的内切圆半径相等。2（1）x1x2,xny1y2,yn(0,0x1y1x2y2xnynx1x2xky1y2yk,k{1,2,

1

1我们知道2319有1个质因子，且32|23 有2质因子，且33|2321 k个质因子，且3k1|23k1

23k1加试模拟训练题1、已知ABCABPQ，证明APC与BQC充分必要条件是AQC与BPC证 先证明一个引理：设ABC的边BC上的高为h，内切圆半径为r,h2rtanBtanC 设ABCIBCDEIABACDE则h2rDE

rcotBDErcot

tanBtan

rcotBrcot cotBcot 设APCBQCAQC

的内切圆半径分别为

r

h2r1h2r2tanAtanAPCtanBtan

tanAtanAQCtanBtanBPCh2r3h2r4

r 2（1）x1x2,xny1y2,yn(0,0x1y1x2y2xnynx1x2xky1y2yk,k{1,2,

1

1 11y证明（1）当 1时， 11y 当n2

1

x1y1

y2x2

11

所 111

x2

nk时命题成立nk1yixiai(i1,2,k1，由条件a10a1a20,a1a2ak0a1a2ak10，

x2y2

xkyk

下面用反证法证明以上结论假设a1

x2y2

xkyk

0，则有0

a2x2y2

xkyk

ak1

x

x

xk

xkyk

)(xk

xk1

)k

xk1yk

1xk

k2)

1xk2

k

xk1

)k

111a( 1)0 1 x2nk1时，原不等式成立Key1（1）Key2：图中的角形都相似，红边之和：红色高线之和=之和：蓝色高线之和，而红则红色高线之和与蓝色高线之和相等，所以红边之和与之和． C TQLPAMNBS 我们知道2319有1个质因子，且32|231；有2质因子，且33|2321………………如此下去，我们可以猜想：kN*,23k1k个质因子，且3k1|23k1（2006年山东省第二届夏令营试题证明：令a＝23k1，则a＝3k1b，即要证bk1 纳法证明bk1k12nknk＋1ak1ak－1)3

ak3－3ak2＋3ak k k因为3k1|a，所以3k2|a ，即b 下证 k k 3k2 ＝a3－3a2＋3a＝(3k1b)3－3(3k1b)2＋3(3k1bk k 因为 ＝b(32k1b23k1

1)，令

32k1b23k1

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