致于欣立-信号与系统课件chap

Chap.7离散时间系统的时域分1本本章内差分方程的建立和求离散时间系统的单位样值（单位冲激）卷积和与反卷学习离散时间信号与系统应注意的问题2 连续时间系 离散时间系数学模

微分方

差分方时域分零、极点分

斯变

离散傅立叶变Z3452示为x(nT)n为整数。63、离散时间信号的图7z(n)=x(n)+z(n)=后移：z(nx(n前移：z(nx(n反褶：是指将序列的自变量更换为nz(n)=x(-8压缩：是指将自变量n乘以整数a，即x(n扩展：是指将自变量n除以整数a，即x(n9序列x(nE2单位样值信号（unitsample或unit(n)0,n1,n

n推广

(nj)0,n 1,n(n

A(n),A(njA(n 性质

注注：(n)作用类似于(t)（）狄拉克利利用单位序列(n)表示任意序例fnL,0,1,1.5,0,3,0,0,Ln11.5n3nf1f(n)f(m)(nm-0 34n1

推广

u(n)1,n0,n

u(nj)1,n0,n

Au(n),Au(njAun

性质

nn注1注1：u(n)作用类似于u(t)，但二者有较大差别u(t)：在t=0点发生跳变，往往不予定义（或定义为u(n)n0点明确规u(0)1注2：(n)与u(n)关系(n)u(n)u(nu(n)(k)(n1)(n2)(n3)L(niu(n)可以看作是无数个出现在不同序号上的单位序列信号之矩形序列(rectangular1

RN (n)1,0nN 0,n0且n

01

n -1思考：矩形序列与单位样值信号、单位阶跃序列之间的关系x(n)nu(n)

5235 x(n)anu(n)a 0a1a ax(n)x(n)Asin(0nTsAsin(n0f(t)Asin0f(t)Asin0

2 s s0123

Nn

x(n)Asin(n0 2 （图中若连续正弦信f(t)=sin0tω0=0T=0/需要说明的是表示式：x(n)=cos77(complexexponentialx(n)Acosn0jBsinx(n)ejarg[x(x(n)ej(n08

x(t x(n)

(n nMathematicalModelofdiscretetime )y(n)Tx11y(n)Tx22则y(n)y(n)Tx(n)Tx(n)Tx(n)x1212122比例性（齐次性ay(n)aTx(n)Taxay(n)aTx(n)Tax 11 22 x1(n)x2(ny(n)Tx11y(n)Tx22y1(n)y2(n)a1Tx1(n)a2Tx2Ta1x1(n)a2x2x(n)，经过系统得到的输出为y(n)，即y(n)Ty(nm)Tx(n1、单位延时2、相加31、根据离散时间系统的基本元件模型（框图）列写差分方2、根据电路图列写差分方4、根据流图列写差分方1、后向形式和前向形式的差分方2、差分方程的变

ay(nay(n1Ey(n)x(n)ay(ny(n)ay(n1)a0y(n)a1y(n1)LaN aky(nk)brx(nrk r差分方程的阶数：未知序列变量序号最高与最低值之差差分方程与微分方程的关差分方程与微分方程在一定条件下可以相互转化dy(t)Ay(t)x(t对y(t)t=nT各点取样y(nT)，设时间T足够小，则微分方程可改写dy(t)y(n1)Ty(nT y(n1)y(n)

Ay(n)

y(n1)(1AT)y(n)

将微分方程转化为差分方程的条件是取样间隔T足够1、常系数线性差分方程的求解方123设x(n)δ(n)，y(-1)0y(n)ay(n1) y(0)ay(1)(0)y(1)ay(0)(1)y(2)ay(1)(2)a2Ly(n)ay(n1)(n)any(n)anu(n)a0y(n)a1y(n1)LaNy(nb0x(n)b1x(n1)LbMa0y(n)a1y(n1)LaNy(nN)aNaN1L 求特征方程的根：12cncnLc cncn (c1c2)rncosnj(cc)rnsinnLc 设1为方程的k重根，则差分方程的齐次解(cnk1cnk2L )nc

nL n

N N例7-6已知y(1)=1,y(2)=1,y(n)-y(n-1)-y(n-1,152解 21,152y(y(n)Cn Cn 5C5222C1C151,25y(n) 1552 1552

3+62+12

＝-2

(C1n2+C2n+C3)(-（（2）求解差分方程的特123自由项函数形特解的函数形D0nk+D1nk-a不是特征根，则为Da是单特征根，则为(D1n+D2)a是k重根，则为(D1nkD2nk-1常常sinn0或cosD1sinn0+D2cos（（3）利用边界条件求解齐次解的系y(0)y(1)‥‥y(N-1)这一组值由N个独立的y(k)

y(n)+2y(n-1)=x(n)-x(n-1)y(n2y(n-10C(-2)n;n2-(n-1)2=2n-代入方程 3D1n+3D2-2D1=2n-D1=2/3,代入边界条件求C＝8/9

y(n)=C(-Nnn

k零输入响零输入响应：在零输入条件下，特解D(n)=0，所以零输入响应的形N与齐次解的形式相同，以czik 表示nkk（式中Czik由系统的零输入边界条件决定应当注意零状态响应：在零状态条件下，系统的边界条件都等于Nn所以零状态响应n

czskk

D(n表示k（式中Czsk由系统零状态的边界条件决定y(-1),y(-2),⋯y(-N)都等于零。若激励在n=n0时刻作用于系统，所谓零状态是指y(n01),y(n02),⋯,y(n0N)都等于零（（3）自由响应与强迫响应、零输入响应与零状态响应关y(n)cNk自由响 n(式中C=k+){强迫响Nk243零输入响 nNnk144244零状态响 差分方微分方基本元延时器、乘法器、加法R、L、基本运移位、相乘、相微积分、相乘、相方程构求解步第三步：求齐次解系第三步：求齐次解系自由响应+强迫响自由响应+强迫响Unitsampleresponseofdiscretetime单位样值响应h(n)表征系统本身的特按照解差分方程的一般步骤求解激励为(n)时系统的零状态响应步骤第一步：求方程的齐次解7-127-12求系统y(n)0.5y(n1) h(n)0.5h(n1)

y(1)h(0)(0)0.5h(1)h(2)(2)0.5h(1) h(n)(0.5)n

x(n，x(1x(n……如果y(n) 未来的输入x(n1)x(n2)，……，则为非因果系统。h(n0(当n

h(n)h(n)n将(n)转化为起始条件，齐次解即零输入解h(n)就是单位样值响y(n)0.5y(n1)

0.5h(n)由于系统为因果系统，因此由(-10y(-1h(0)C(0.5)0 C

h(n)(0.5)ny(n)0.5y(n1)(nx(n)x(n)(n

h(n)r(n)h(n1)y(n)3y(n1)3y(n2)y(n3)

33231

y(n)(C1n

n )(1)n n

h(0) h(1) h(2)

h(n)1(h(n)1(n23n2y(n)5y(n1)6y(n2)x(n)3x(n只考虑x(n激

1

h(0) h(1)0,

C1

C2h1(n)(3n12n1只考虑3x(n2)hh2(n)3h1(n23[3n12n1]u(n2利用h(h(n)h1(n)(3n12n1)u(n)3(3n12n1)u(n1、系统因果h(n)=0（当或表示h(n)=2、系统稳定所谓稳定系统，指若系统输入是有界的，则系统输出也是有界的离散时间系统稳定的充分必要条件是：单位样值响应h(n)绝对可和hn)M,Mn(n-u(3-

例：已知某系统的例：已知某系统的h(nanu(n)n u(n) n h(n)anu(nh(n)

1aanu(n)1an

n

a

1an11例例5 1

h(n)C( n5h(0)

h(2)

C

1h(n)(n)

(n1)66

u(n2)5

1

9 n

66(0.2)nConvolutionand卷积（卷积和）的物理意卷积和的定义卷积和的几何意卷积和的性卷积和的计解卷积（反卷积 y(n)x(n)*h(n) x(m)h(nm11、卷积的代数性质：服从交换律、分配律、结合2、与单位样值(n)的卷(n)＊x(n)=图图解对位相乘求和查表法（p410－411表利用计算机求卷积注意12[[例求x(nx(n)11nh(n)0nx(n)x(n)

1n

h(n)

0n 其他 其他 11

1 1h(-m)=h(0-m- - 与x(m)对应相乘，逐个相加

h(1-h(1-1m- 得33- 7-7-x(nu(nu(nN)，求系统的响应y(n)解 由卷积和公式可y(n)x(m)h(nmmu(m)u(mN)anmu(nm1

m101 -110123 N-11n 10123 N-11m10123 N-11m当0nN1时，从m0到mn的范围内有交叠而得 n1a(n1)y(n)an

ana

(0nNm m

1a10123.....N-1 10123.....N-1NN 当nN时，从m0到mN

y(n)anmanaman

(nN

7-7-x1n2(n(n14(n2)(nx2(n)3(n)(n1)5(ny(n)x1(n)x222x(n)1

x(n)3 x1 x1 1 y(n) y1(n)x(n)y2(n)u(n)u(n) y1(n)x(m)(nm)x(n)my2(n)u(m)u(nmmn0时，u(n)与u(n-m)没有交叠y2n y2(n)u(m)u(nm)