高等数学同济课件上第1-1映射与函数

医用高等数学主讲教师：邓粤海总课时：临床48

检验54

教学安排临床本科课时：48学时，讲授40，实验6，自主：2。检验本科课时：54学时，讲授44，实验8，自主：2。学分：2.5/3学分考试：2学时（闭卷考试）考查科：研究生考试不考高等数学。教学要求学习本课程应注意的问题主动学习课前预习、课中提高效率、课后复习；必须做好笔记。成绩评定方法总评成绩=平时成绩×30%+期末成绩×70%作业要求按质按量完成，学习委员负责收、发。使用教材

《医用高等数学》张选群主编人民卫生出版社教学计划共48/54课时，主要讲解前三章内容引言恩格斯初等数学—研究对象为常量，以静止的观点研究问题高等数学—研究对象为变量，运动和辩证法进入了数学数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，

有了变数，辩证法进入了数学，

有了变数，微分和积分是也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生

一、主要内容1、分析基础：函数，极限，连续。2、微积分学：1）一元微分学；2）一元积分学。3、多元微积分：1）多元函数微分学；2）二重积分。4、常微分方程。二、如何学好高等数学1、认识高等数学的重要性，培养浓厚的学习兴趣。一门学科，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。

2、学数学最好的方式是做数学。马克思恩格斯要辩证而又唯物地了解自然，就必须熟悉数学。

聪明在于学习，天才在于积累。学而优则用，学而优则创。由薄到厚，由厚到薄。华罗庚笛卡尔（1596-1650）法国哲学家，数学家，物理学家，他是解析几何奠基人之一。1637年他发表的《几何学》论文分析了几何学与代数学的优缺点，进而提出了“另外一种包含这两门学科的优点而避免其缺点的方法”。把几何问题化成代数问题，给出了几何问题的统一作图法，从而提出了解析几何学的主要思想和方法，恩格斯把它称为数学中的转折点。华罗庚（1910-1985）我国在国际上享有盛誉的数学家，他在解析数论，矩阵几何学，典型群，自守函数论，多复变函数论，偏微分方程，高维数值积分等广泛的数学领域中，都作出了卓越的贡献，发表专著与学术论文近300篇。他对青年学生的成长非常关心，他提出治学之道是“宽，专，漫”，即基础要宽，专业要专，要是自己的专业知识漫到其它领域。1984年在中国矿业大学视察时给师生题词“学而优则用，学而优则创”二、高等数学的性质与作用高等数学是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一，它是理工科大学生必修的数学基础理论课程，也是学习后续数学的必修课，还是学习其他专业的必修课。高等数学的概念、理论和方法对于学生毕业后从事科学研究、工程技术与管理工作都是不可缺少的内容。同时也是参加具有选拔功能的水平考试的必备基础。二、高等数学的性质与作用通过本课程的教学，使学生掌握较完整的高等数学基本知识的同时，注意培养学生的抽象思维能力、逻辑推理与判断能力、空间想象能力、综合运用能力和数学语言及符号的表达能力。结合习题课、课后作业、考试等相关教学环节提高学生综合运用基本概念、基本理论、基本方法分析问题和解决问题的能力，并逐步培养学生科学求实、严谨准确的作风。通过本课程的教学，与其它数学基础课共同达到全面提高学生数学素质的目的。第一节函数第一章学习要求：理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念掌握基本初等函数的性质及其图形， 了解初等函数的概念第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数、极限与连续

第一章二、映射三、函数一、集合第一节机动目录上页下页返回结束映射与函数元素a

属于集合M,记作元素a

不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.

具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作

.

(或).注:

M

为数集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0与负数的集.机动目录上页下页返回结束表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整数集合或有理数集

p与q

互质实数集合

x

为有理数或无理数开区间闭区间机动目录上页下页返回结束无限区间点的

邻域其中,a

称为邻域中心,

称为邻域半径.半开区间去心

邻域左

邻域:右

邻域:机动目录上页下页返回结束是B的子集

,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算定义2

.则称A若且则称A

与B

相等,例如,显然有下列关系:,,若设有集合记作记作必有机动目录上页下页返回结束定义3

.

给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集机动目录上页下页返回结束或二、映射1.映射的概念

某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座机动目录上页下页返回结束引例1.引例2.引例3.(点集)(点集)向y

轴投影机动目录上页下页返回结束定义4.设X,Y

是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f

为从X

到Y

的映射,记作元素

y

称为元素x

在映射

f下的像

,记作元素

x称为元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

称为映射f

的定义域;Y

的子集称为f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.机动目录上页下页返回结束对映射若,则称f

为满射;若有则称f

为单射;若f既是满射又是单射,则称f

为双射或一一映射.引例2,3机动目录上页下页返回结束引例2引例2例1.海伦公式例2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射)例3.如图所示,则有(满射)

(满射)机动目录上页下页返回结束X(数集或点集

)说明:在不同数学分支中有不同的惯用X(≠

)Y(数集)机动目录上页下页返回结束f称为X

上的泛函X(≠

)Xf称为X

上的变换

Rf称为定义在X

上的为函数映射又称为算子.名称.例如,2.逆映射与复合映射(1)逆映射的定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为f

的逆映射.机动目录上页下页返回结束(2)复合映射机动目录上页下页返回结束手电筒D引例.复合映射定义.则当由上述映射链可定义由D

到Y

的复设有映射链记作合映射

,时,或机动目录上页下页返回结束注意:

构成复合映射的条件不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.定义域三、函数1.函数的概念定义4.设数集则称映射为定义在D

上的函数,记为f(D)称为值域函数图形:机动目录上页下页返回结束自变量因变量定义域三、函数1.函数的概念

D

上的函数,记为机动目录上页下页返回结束自变量因变量(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值

定义域

对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域机动目录上页下页返回结束例4.

已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域机动目录上页下页返回结束2.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称说明:

还可定义有上界、有下界、无界(见上册P11)(2)单调性为有界函数.在I

上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)

无界.称为有上界称为有下界当时,称为I

上的称为I

上的单调增函数;单调减函数.机动目录上页下页返回结束(3)奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,

偶函数双曲余弦记机动目录上页下页返回结束又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记机动目录上页下页返回结束(4)周期性且则称为周期函数

,若称

l

为周期(一般指最小正周期

).周期为周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x

为有理数x为无理数机动目录上页下页返回结束3.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f

的反函数.机动目录上页下页返回结束其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.机动目录上页下页返回结束指数函数(2)复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数

,①机动目录上页下页返回结束—复合映射的特例②u

称为中间变量.注意:

构成复合函数的条件不可少.例如,

函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合机动目录上页下页返回结束两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:4.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,

双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学