第四章 系统的频率特性

工程控制基础华中科技大学文华学院

第四章系统的频率特性分析

4.1频率特性概述引言4.2频率特性的Nyquist图4.3频率特性的Bode图4.4频率特性的特征量4.5最小相位系统与非最小相位系统引言频率特性分析是将传递函数从复数域引到频域来分析系统的特性。时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉冲输入下系统的瞬态响应来研究系统的性能。频域分析：通过系统在不同频率ω的谐波输入作用下的稳态响应来研究系统的性能。时域分析的局限性：高阶系统的分析难以进行；难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。

引言频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。

无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向；

易于实验分析；优点：

可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的系统）；

可方便设计出能有效抑制噪声的系统。频率特性的定义：若输入为:则系统的稳态输出为:当谐波信号作用于稳定的线性定常系统时，系统输出的稳态分量仍为同频率的谐波信号，这种过程称为系统的频率响应。系统频率响应与输入正弦信号的复数比称为系统的频率特性。幅频特性：相频特性：频率特性：G(s)r(t)c(t)

频率特性中，自变量频率取值范围零至无穷，称全频特性。全频特性将是系统性能分析的依据。一、频率特性的基本概念4.1频率特性概述实频特性、虚频特性系统频率特性的求法:在系统的输入端输入一谐波信号，测出不同频率时系统稳态输出的振幅Xo和相移φ，便可得到它的幅频特性和相频特性。1.频率响应频率特性概述由频率响应得到幅值和相位，然后按幅频特性和相频特性的定义求。频率特性2.传递函数频率特性3.实验法基于传递函数求频率特性频率特性的求取到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数和频率特性。它们之间的关系如下：微分方程频率特性传递函数频率特性概述[例]系统结构图如图所示，求_rc1/s解：频率特性概述二、频率特性的表示法频率特性概述1、解析表示幅频相频实频虚频在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设计的，因此有必要介绍常用的频率特性的三种图解表示。

Nyquist图（极坐标图，幅相频率特性图）

Bode图（对数坐标图，对数频率特性图）

Nichols图（对数幅相特性图）频率特性概述2、图示方法设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲线如下:结论给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。1、Nyquist图（又称极坐标图，幅相频率）它是在复平面上用一条曲线表示由时的频率特性。即用矢量的端点轨迹形成的图形。是参变量。在曲线上的任意一点可以确定幅频和相频特性。4.2频率特性的Nyquist图1、频率特性G(jω)是以ω为自变量的向量函数；2、频率特性曲线是指自变量ω在全频段矢量矢端行走的轨迹；3、开环频率特性曲线是判断闭环系统稳定性及评定系统动态性能指标的依据；4、开环传递函数的形式是典型环节的乘积形式。因此寻找绘制开环频率特性曲线的规律，关键在于掌握典型环节频率特性曲线的绘制规律。有关频率特性的几点说明其对应的频率特性是.0K（1）比例环节由左图可看出放大环节的幅频特性为常数K，相频特性等于零度，它们都与频率无关。理想的放大环节能够无失真和无滞后地复现输入信号。比例环节的传递函数为2、典型环节的Nyquist图频率特性的Nyquist图(2)积分环节积分环节的传递函数为幅频特性和相频特性分别为频率特性如上图所示，由图可看出，积分环节的相频特性等于-900

，与角频率ω无关。频率特性的Nyquist图(3)惯性环节的频率特性惯性环节的传递函数为幅频特性和相频特性分别是.10。频率特性的Nyquist图(4)振荡环节的频率特性振荡环节的传递函数为频率特性的Nyquist图(5)微分环节微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：频率特性分别为：频率特性的Nyquist图图4-4微分环节的幅相频率特性纯微分环节的传递函数为纯微分环节的幅相频率特性幅频特性和相频特性分别为所以在0≤ω≤∞，幅相特性是正虚轴，如图4-4所示。频率特性的Nyquist图一阶微分环节的传递函数为一阶微分环节的幅相频率特性幅频特性和相频特性分别为所以在0≤ω≤∞，幅相特性与理想微分环节相比仅差1，只要把图5-4的曲线右移1就能得到一阶微分环节的幅相特性曲线，如图4-5所示。图4-5一阶微分环节的幅相特性频率特性的Nyquist图二阶微分环节的传递函数为二阶微分环节的幅相频率特性幅频特性和相频特性分别为频率特性的Nyquist图(6)时滞环节的频率特性时滞环节的传递函数为时滞环节的幅相频率特性频率特性的Nyquist图比例环节积分环节微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节1、开环幅相曲线的起点（ω=0+）和终点（ω=∞）；3、开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）注意：若传递函数不存在微分项（纯微分、一阶微分、二阶微分等），则幅相特性曲线相位连续减少；反之，若出现微分环节，则幅相曲线会出现凹凸。2、开环幅相曲线与实轴的交点概略开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要因素：3、系统的开环幅相曲线（Nyquist图）频率特性的Nyquist图例1

某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。解：由于惯性环节的角度变化为0º~-90º，则频率特性的Nyquist图系统开环频率特性与实轴的交点频率特性的Nyquist图[G]由于惯性环节单调地从00变化至-900，故该系统幅相曲线变化范围为第Ⅳ和第Ⅲ象限，系统概略开环幅相曲线如右图所示。频率特性与负虚轴的交点频率为，交点坐标是

频率特性的Nyquist图例2

某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。解：系统开环频率特性为：幅值变化：相角变化：频率特性的Nyquist图起点处：与实轴交点：频率特性的Nyquist图由此作系统开环幅相曲线如图①所示，图中虚线为开环幅相曲线的低频渐近线。由于开环幅相曲线用于系统分析时，不需要准确知道渐近线的位置，故一般根据φ(0+)

取坐标轴为渐近线，如图所示②。①②频率特性的Nyquist图

本例中系统型别即开环传递函数中积分环节个数N=1，若分别取N=2，3和4，则可将右图曲线分别绕原点旋转-90º，-180º和-270º，即可得相应的开环概略幅相曲线。频率特性的Nyquist图曲线的起端形式由开环传递函数的积分环节的个数确定（型别）无积分环节v=0时，起于实轴k处；有积分环节v=1、v=2、v=3时，起于-90°、-180°、-270°的∞远处。曲线的终端形式由分子多项式和分母多项式的阶次差确定。开环零极点数相同时，曲线终止于实轴；开环极点多于零点时，曲线延（n-m）×（-90°）方向终止于原点。开环幅相频率特性曲线所在象限由各环节形式综合确定。也可由相频特性解析式确定。s1/sωω最小相位系统的Nyquist绘制规则特殊点计算与实轴的交点坐标的计算

与虚轴交点坐标的计算应用举例应用举例例3

某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。解：系统开环频率特性为：系统的开环幅频特性和开环相频特性分别为：起点：终点：频率特性的Nyquist图奈氏曲线的形状与系统时间常数τ和T的数值有关：频率特性的Nyquist图注意：若开环传递函数具有虚极点±jωp，则幅相曲线应反映ω在

ωp附近变化时，开环幅相曲线的变化情况，即φ(ω)在ω=

ωp在附近，相角突变-l×180º。（l为虚极点的对数）频率特性的Nyquist图1.对数频率特性曲线（又称Bode图）横坐标分度：它是以频率的对数值进行分度的。所以横坐标上每一线性单位表示频率的十倍变化，称为十倍频程。对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线4.3频率特性的Bode图

纵坐标分度：幅频特性曲线的纵坐标是以表示，其单位是分贝(dB)。直接将值标注在纵坐标上。相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。频率特性的Bode图使用对数坐标图的优点：

可以展宽低频带，压缩高频段。清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。

可以将幅值的乘除运算转化为加减运算。对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的传递函数对数坐标系02040-40-200.010.1110100045o90o-90o-45o0.010.1110100dB频率特性的Bode图（1）比例环节对数幅频特性：相频特性：比例环节的频率特性为频率特性的Bode图2.典型环节的Bode图（2）积分环节可见斜率为－20/dec

当有两个积分环节时可见斜率为－40/dec对数幅频特性为对数相频特性为频率特性的Bode图为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：低频段：当时，，称为低频渐近线。高频段：当时，，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示ω每增加10倍频程下降20分贝）。（3）惯性环节对数幅频特性为低频高频渐近线的交点为：得：，称为转折频率或交接频率。

频率特性的Bode图图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。最大误差发生在处，为频率特性的Bode图

对数相频特性：

作图时先用计算器计算几个特殊点，再根据以下变化趋势画图①相频特性曲线对于(ω0,-45°)点是斜对称的②T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。③增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。曲线特点：频率特性的Bode图低频段渐近线：高频段渐近线：两渐进线的交点称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。（4）振荡环节对数幅频特性为对数相频特性为几个特征点：频率特性的Bode图由图可见：对数相频特性曲线在半对数坐标系中对于(ωo,-90°)点是斜对称的。对数幅频特性曲线有峰值。频率特性的Bode图对求导并令等于零，可解得的极值对应的频率。该频率称为谐振峰值频率。可见，当时，。当时，无谐振峰值。当时，有谐振峰值。当，，。因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。频率特性的Bode图左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。频率特性的Bode图（5）微分环节微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：频率特性分别为：频率特性的Bode图纯微分环节的对数频率特性可见斜率为20/dec对数幅频特性为1100.1)/(sradw))((dBLw2020-1100.1)/(sradw)(deg)(wj°-9000°90微分环节微分环节decdB/20积分环节积分环节decdB/20-对数相频特性为频率特性的Bode图一阶微分环节的对数频率特性对数幅频特性和对数相频特性分别为这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为相频特性：低频段渐进线：高频段渐进线：对数幅频特性（用渐近线近似）：频率特性的Bode图频率特性的Bode图二阶微分环节的对数频率特性对数幅频特性和对数相频特性分别为相频特性：低频段渐进线：高频段渐进线：转折频率为：

，高频段的斜率+40dB/Dec。频率特性的Bode图频率特性的Bode图对数幅频特性：对数相频特性：(6)时滞环节频率特性的Bode图比例环节积分环节微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节滞后环节系统开环传函的一般形式为：系统开环传函由多个典型环节相串联：频率特性的Bode图3.系统的开环Bode图则开环系统的幅频特性与相频特性为：开环系统的幅频特性是各串联环节幅频特性的幅值之积；开环系统的相频特性是各串联环节相频特性的相角之和。频率特性的Bode图根据对数运算的特点，将组成开环系统的各典型环节的对数频率特性叠加，即获得系统的开环对数频率特性。但在实际绘制时，不用将各环节的特性单独绘出，再进行叠加，而可以按如下步骤进行：1、开环传递函数按典型环节进行分解，并将交接频率按从小到大顺序排列为ω1，ω2，…ωl

,并标注在ω轴上；2、绘制ω1左边的低频渐近线。低频渐近线为一直线，其斜率为-20×N，取决于系统微分环节或积分环节的个数。根据下述三种方法确定渐近线上的一点：①任选ω0值，则渐近线或其延长线过点（ω0

，20lg|K|-20Nlgω0

）;②渐近线或其延长线在ω=1处的值L(1)=20lg|K|③渐近线或其延长线在与零分贝线的交点为ω=K1/N频率特性的Bode图3、作ω≥ω1频段渐近线。自（ω1，20lg|K|-20Nlgω1）点起，渐近线斜率发生变化，斜率变化的数值取决于ω1对应的典型环节的种类，变化情况见下表。同样，在后面的各交接频率处，渐近线斜率都相应的改变。每两个相邻交接频率间，渐近线为一直线交接频率对应的典型环节斜率的变化惯性环节振荡环节一阶微分环节二阶微分环节减小20dB/dec减小40dB/dec增大20dB/dec增大40dB/dec注意：当系统的多个环节具有相同交接频率时，该交接频率点处斜率的变化应为各个环节的斜率变化值的代数和。以k=-20NdB/dec的低频渐近线为起始直线，按交接频率由小到大顺序和由上表确定斜率变化，再逐一绘制直线。频率特性的Bode图例1

某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环对数幅频渐近特性曲线。解：由题知开环系统由五个典型环节串联而成：比例环节、一阶微分环节和三个惯性环节。1）确定各交接频率ω1，ω2，ω3，ω4及斜率变化值；一阶微分环节：ω2=2，斜率增加20dB/dec

惯性环节：ω1=0.2，斜率减小20dB/dec

ω3=20，斜率减小20dB/dec

ω4=100，斜率减小20dB/dec频率特性的Bode图2）绘制低频段渐近特性曲线。因为N=0，则低频段渐近线斜率k=0dB/dec,按方法二得直线上一点（1，20lgK）=(1,40dB)3）绘制频段ω≥ω1渐近特性曲线。

ω1≤ω<ω2,k=-20dB/dec

ω2≤ω<ω3,k=0dB/dec

ω3≤ω<ω4,k=-20dB/dec

ω≥ω4,k=-40dB/dec02040-40-200.010.1110100-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec频率特性的Bode图例2

设系统开环传递函数为

试绘制开环系统对数幅频渐近特性曲线。

解：开环传递函数的典型环节分解形式为：1）确定各交接频率ω1，ω2，ω3及斜率变化值；一阶微分环节：ω3=2，斜率增加20dB/dec

惯性环节：ω1=0.1，斜率减小20dB/dec

ω2=0.5，斜率减小20dB/dec频率特性的Bode图2）绘制低频段渐近特性曲线。因为N=1，则低频段渐近线斜率k=-20dB/dec,按方法二得直线上一点（1，20lgK）=(1,20dB)3）绘制频段ω≥ω1渐近特性曲线。

ω1≤ω<ω2,k=-40dB/dec

ω2≤ω<ω3,k=-60dB/dec

ω≥ω3,k=-40dB/dec02040-40-200.010.1110100-20-60-40-40频率特性的Bode图例3

设系统开环传递函数为

试绘制开环系统对数幅频渐近特性曲线。

解：开环传递函数的典型环节分解形式为：开环系统由六个典型环节串联而成：非最小相位比例环节、两个积分环节、非最小相一阶微分环节、惯性环节和振荡环节。频率特性的Bode图2）绘制低频段渐近特性曲线。因为N=2，则低频段渐近线斜率k=-40dB/dec,按方法二得直线上一点（1，20lg|K|）=(1,20dB)3）绘制频段ω≥ω1渐近特性曲线。

ω1≤ω<ω2,k=-60dB/dec

ω2≤ω<ω3,k=-40dB/dec

ω≥ω3,k=-80dB/dec1）确定各交接频率ω1，ω2，ω3及斜率变化值；非最小相位一阶微分环节：ω2=2，斜率增加20dB/dec

惯性环节：ω1=1，斜率减小20dB/dec

振荡环节：ω3=20，斜率减小40dB/dec频率特性的Bode图-60-40-4002040-40-200.010.111010060-60-80频率特性的Bode图

由Bode图确定系统传递函数，与绘制系统Bode图相反。即由实验测得的Bode图，经过分析和测算，确定系统所包含的各个典型环节，从而建立起被测系统数学模型。信号源对象记录仪【Asinwt

由频率特性测试仪记录的数据,可以绘制最小相位系统的开环对数频率特性,对该频率特性进行处理，即可确定系统的对数幅频特性曲线。1、频率响应实验

4、由Bode图确定系统的传递函数系统的对数频率特性2、传递函数确定

（1）对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理。即用斜率为20dB/dec整数倍的直线段来近似测量到的曲线。（3）当某处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此即为某个环节的转折频率。①当斜率变化+20dB/dec时,可知处有一个一阶微分环节;②若斜率变化+40dB/dec时，则处有一个二阶微分环节或一个二重一阶微分环节；③若斜率变化-20dB/dec时,则处有一个惯性环节;④若斜率变化-40dB/dec时，则处有一个二阶振荡环节或一个二重惯性环节。（2）系统最低频率段的斜率由开环积分环节个数决定。低频段斜率为-20NdB/dec,则系统开环传递有N个积分环节，系统为N型系统。系统的对数频率特性①由=1作垂线，此线与低频段(或其延长线)的交点的分贝值=20lgK(dB),由此求处K值。（4）开环增益K的确定②低频段斜率为-20dB/dec时,此线(或其延长线)与0dB线交点处的值等于开环增益K值。③当低频段斜率为-40dB/dec时,此线(或其延长)与0dB线交点处的值即等于K1/2。系统的对数频率特性例1：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。解：⒈由于低频段斜率为-20dB/dec所以有一个积分环节；⒉确定转折频率及斜率变化①在ω=2处，斜率由-20dB/dec

变为-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1)②在ω=7处，斜率由-40dB/dec

变为-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1)⒊确定开环增益K在ω=1处，L(ω)=15dB，可得20lgK=15，K=5.6系统的对数频率特性例2：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示,试确定系统的传递函数。解：⒈由于低频段斜率为-40dB/dec，所以有两个积分环节；⒉确定转折频率及斜率变化①在w=0.8处，斜率由-40dB/dec

变为-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/0.8+1)②在w=30处，斜率由-20dB/dec

变为-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/30+1)③在w=50处，斜率由-40dB/dec变为-60dB/dec，故有惯性环节(s/50+1)系统的对数频率特性在ω=4时，L(ω)=0，这时可以不考虑转折频率在ω=4以上的环节的影响⒊确定开环增益K系统的对数频率特性1、零频幅值A(0)它表示当频率在接近于零时，闭环系统输出的幅值与输入的幅值之比。A（0）越接近于1，系统的稳态误差越小，反映了系统的稳态精度。4.4频率特性的特征量频率特性的特征量2、复现频率ωM与复现带宽0-ωM

若事先规定一个作为反映低输入信号的允许误差，那么ωM就是幅频特性值与A(0)的差第一次达到时的频率值，称为复现频率。3、谐振频率ωr与相对谐振峰值Mr

谐振频率A(ω)出现最大值Amax时的频率称为谐振频率频率特性的特征量ω=ωr时的幅值A(ωr)=