初中数学北师大版九年级下册第三章圆4圆周角和圆心角的关系（全国一等奖）

圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角和圆心角的关系1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点)2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)一、情境导入在下图中，当球员在B,D,E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？二、合作探究探究点：圆周角定理及其推论【类型一】利用圆周角定理求角的度数如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是()A．25°B．30°C．40°D．50°解析：∵OA∥DE，∠D＝50°，∴∠AOD＝50°.∵∠C＝eq\f(1,2)∠AOD，∴∠C＝eq\f(1,2)×50°＝25°.故选A.方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】利用圆周角定理的推论求角的度数如图，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∠A＝30°，则∠B＝()A．150°B．75°C．60°D．15°解析：因为eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B＝∠C，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠B＝180°，又因为∠A＝30°，所以30°＋2∠B＝180°，解得∠B＝75°.故选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】圆周角定理与垂径定理的综合如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，E在⊙O上．(1)∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；(2)若AC＝eq\r(7)，CD＝1，求⊙O的半径．解析：(1)由OD⊥AB，根据垂径定理的推论可求得eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，再由圆周角定理及其推论求∠DEB的度数；(2)首先设⊙O的半径为x，然后由勾股定理得到方程解答．解：(1)∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴∠DEB＝eq\f(1,2)∠AOD＝eq\f(1,2)×52°＝26°；(2)设⊙O的半径为x，则OC＝OD－CD＝x－1.∵OC2＋AC2＝OA2，∴(x－1)2＋(eq\r(7))2＝x2，解得x＝4，∴⊙O的半径为4.方法总结：本题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型四】圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在弧AB上，连接CD交AB于点E，点B是eq\o(CD,\s\up8(︵))的中点，求证：∠B＝∠BEC.解析：由点B是eq\o(CD,\s\up8(︵))的中点，得∠BCE＝∠BAC，即可得∠BEC＝∠ACB，然后由等腰三角形的性质，证得结论．证明：∵B是eq\o(CD,\s\up8(︵))的中点，∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴∠BCE＝∠BAC.∵∠BEC＝180°－∠B－∠BCE，∠ACB＝180°－∠BAC－∠B，∴∠BEC＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BEC.方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】圆周角定理的推论与三角形知识的综合如图，A、P、B、C是⊙O上四点，且∠APC＝∠CPB＝60°.连接AB、BC、AC.(1)试判断△ABC的形状，并给予证明；(2)求证：CP＝BP＋AP.解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；(2)在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得．(1)解：△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是eq\o(BC,\s\up8(︵))所对的圆周角，∠ABC与∠APC是eq\o(AC,\s\up8(︵))所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；(2)证明：在PC上截取PD＝AP，连接AD.又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠APB＝∠ADC，,∠ABP＝∠ACD，,AP＝AD，))∴△APB≌△ADC(AAS)，∴BP＝CD.又∵PD＝AP，∴CP＝BP＋AP.方法总结：本题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．【类型六】圆周角定理的推论与相似三角形的综合如图，点E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，点A在⊙O上，AE交BC于D.求证：BE2＝AE·DE.解析：点E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE＝∠CBE，可证得△BDE∽△ABE，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．证明：∵点E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，即eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(CE,\s\up8(︵))，∴∠BAE＝∠CBE.∵∠E＝∠E(公共角)，∴△BDE∽△ABE，∴BE∶AE＝DE∶BE，∴BE2＝AE·DE.方法总结：圆周角定理的推论是和角有关系的定理，所以在圆中，解决相似三角形的问题常常考虑此定理．三、板书设计圆周角和圆心角的关系1．圆周角的概念2．圆周角定理3．圆周角定理的推论本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆周