第26讲 与圆有关的计算 2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第六章圆第26讲与圆有关的计算（6~9分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一正多边形与圆考点二弧长、扇形面积、圆锥的有关计算考点三不规则面积的有关计算04题型精研·考向洞悉命题点一：正多边形与圆►题型01求正多边形中心角►题型02求正多边的边数►题型03正多边形与圆中求角度►题型04正多边形与圆中求面积►题型05正多边形与圆中求边心距、边长、半径►题型06正多边形与圆的综合问题命题点二：弧长、扇形面积、圆锥的有关计算►题型01求弧长►题型02利用弧长及扇形面积公式求圆心角►题型03利用弧长及扇形面积公式求半径►题型04求某点的弧形运动路径长度►题型05求扇形面积►题型06求图形旋转后扫过的面积►题型07求圆锥侧面积►题型08求圆锥底面半径、高►题型09求圆锥侧面积展开图的圆心角►题型10圆锥的实际问题命题点三：不规则面积的有关计算►题型01直接和差法►题型02构造和差法►题型03不规则面积的综合05分层训练·巩固提升基础巩固能力提升考点要求新课标要求考查频次命题预测正多边形与圆了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.10年7考该板块内容以考查综合题为主，也是考查重点，除了填空题和选择题外，年年都会考查综合题，对多数考生来说也是难点，2025年广东中考肯定还是会考查.弧长、扇形面积、圆锥的有关计算会计算圆的弧长、扇形的面积.10年连续考查不规则面积的有关计算求阴影部分的面积10年8考考点一正多边形与圆1.正多边形的相关概念正多边形概念各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.正多边形的半径正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形的中心角正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.正多边形的边心距中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.2.正多边形的常用公式边长（Rn为正多边形外接圆的半径）周长Pn=n⋅an外角/中心角度数面积Sn=an⋅rn⋅n对角线条数边心距rn=Rn⋅cos内角和（n-2）×180°.内角度数n边形的边数（内角和÷180°）＋2（an、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解.）【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算．3.正多边形常见边心距与边长的比值图形OA:AB:OB内切圆与外接圆半径的比等边三角形1::21:2正方形1:1:1:正六边形:1:2:2【备注】正多边形的内切圆与外接圆为同心圆.考点二弧长、扇形面积、圆锥的有关计算设⊙OQUOTE的半径为R，n°QUOTE圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则扇形弧长公式（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．）扇形面积公式S扇形==R圆锥侧面积公式S圆锥侧=πrl（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）圆锥全面积公式S圆锥全=πrl+πr2（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）圆锥的高h，圆锥的底面半径r1）利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果．在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量．2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或S扇形=R中求解即可．3）扇形面积公式S扇形=R与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形、把弧长l看成底，R看成底边上的高即可.4）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．5）在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式来解决问题．6）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长．注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念．考点三不规则面积的有关计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1）直接用公式求解．图形公式S阴影=S扇形ABCS阴影=S△ABCS阴影=S四边形ABCD=ab2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解．①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S阴影=S常见图形±S常见图形）图形面积计算方法图形面积计算方法S阴影=S△ACB−S扇形CADS阴影=S扇形BAB′+S半圆AB′−S半圆ABS阴影=S△AOB−S扇形CODS阴影=S半圆AC+S半圆BC−S△ACBS阴影=S半圆AB−S△AOBS阴影=S扇形BAD−S半圆ABS阴影=S扇形EAF−S△ADES阴影=S扇形之和==②构造和差法图形公式S阴影=S扇形AOC+S△BOCS阴影=S△ODC-S扇形DOES阴影=S扇形AOB-S△AOBS阴影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解．①全等法图形公式S阴影=S△AOBS阴影=S扇形BOCS阴影=S矩形ACDFS阴影=S正方形PCQE②等面积法图形公式S阴影=S扇形COD③平移法图形公式S阴影=S正方形BCFES阴影=S矩形ABHG④旋转法图形公式S阴影=S扇形BOES阴影=S扇形BODS阴影=S扇形ABE-S扇形MBN⑤对称法图形公式S阴影=S△ACDS阴影=S扇形CDES阴影=S△OBC=S正方形ABCDS阴影=S扇形ACB-S△ACD命题点一：正多边形与圆►题型01求正多边形中心角1．（2023·广东广州·二模）如图，正六边形内接于，点G是弧上的一点，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圆内接正多边形中心角及同弧所对的圆周角是圆心角一半定理即可．本题考查圆内接正多边形和圆周角定理，解此题的关键是熟练掌握圆内接正多边形中心角计算和圆周角定理角度计算．【详解】如图，连接、，

∵正六边形是的内接正六边形，，，故选：B．2．（2021·广东广州·一模）正边形的边长为，那么它的半径为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先画出图形（见解析），先根据正多边形的性质可得的度数、，再根据等腰三角形的三线合一可得，，然后解直角三角形即可得．【详解】由题意，画出图形如下（正边形的一部分，其中，点是正边形的中心，为它的边，为它的半径），过点作于点，连接，由正边形的性质得：，，，（等腰三角形的三线合一），在中，，故选：C．【点睛】本题考查了正多边形的性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．3．（2024·山东青岛·二模）正八边形如图所示，与交于点O，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了多边形的内角和和正多边形的性质，根据正多边形的性质可得多边形的内角和公式求出，再求出即可解决问题．【详解】解：∵正八边形，，∴，∴，∴，故选：A．4．（2024·安徽宿州·二模）如图，四边形内接于圆，且、都是圆的内接正五边形的边，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形与圆的性质和圆周角定理是解题的关键．连接，，，先根据正五边形的性质，求出，从而求得，然后根据圆周角定理求解即可．【详解】解：连接，，，如图，

∵AB、BC都是圆的内接正五边形的边，∴，∴，∴．故选：D．►题型02求正多边的边数5．（2023·广东阳江·二模）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解．【详解】解：这个多边形的边数是，故选：C．【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．6．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（

）A．10 B．12 C．15 D．20【答案】A【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，∵，∴，∴这个正多边形的边数为．故选：A．【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．7．（2022·河北石家庄·二模）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案．【详解】解：连接OC，∵AB是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O内接正八边形的一边，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故选：C．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．8．（2020·四川南充·一模）如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（）A．9 B．10 C．12 D．15【答案】C【分析】分别连接OB、OA、OC，根据正多边形的中心角=，可分别求得∠BOC、∠AOB的度数，从而可得∠AOC的度数，再根据正多边形的中心角=，可求得边数n．【详解】分别连接OB、OA、OC，如图所示∵是内接正三角形的一边∴∠BOC=同理，可得：∠AOB=90°∴∠AOC=∠BOC−∠AOB=30°∵是正边形的一边∴∴n=12故选：C．【点睛】本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角=，掌握这一知识是解决本题的关键．►题型03正多边形与圆中求角度9．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质并能准确计算是解题关键．连接、、、，过点作于点，利用求出圆的半径，再求出和，利用直角三角形性质和勾股定理求出，即可求出．【详解】解：连接、、、，过点作于点，如图，∵正方形内接于，∴，∵，，∴，∴，∵等边三角形内接于，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，故选：D．10．（2024·安徽合肥·二模）如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查正多边形和圆，连接，易得：，进而得到，即可得出结果．【详解】解：连接，则：∴，∵正方形内接于，∴，∴，∴；故选C．11．（2024·安徽·一模）如图，点是正五边形的中心，连接，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的度数，根据三角形内角和，及等边对等角，即可求解，本题考查了多边形的中心角，等边对等角，三角形内角和，解题的关键是：熟练掌握相关定理．【详解】解：连接OB，∵和是正五边形的中心角，∴，∵，∴，故选：．12．（2024·安徽合肥·一模）如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了求正五边形的中心角，圆周角定理，三角形内角和定理，连接，求出，即得到，由，可得，与相加得到，即可求解，掌握正五边形的性质和圆周角定理是解题的关键．【详解】解：连接，∵正五边形内接于，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，即，∴，故选：．►题型04正多边形与圆中求面积13．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．【详解】解：五边形是正五边形，，，故选：B．14．（2024·山西长治·模拟预测）如图，在的内接正六边形中，，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．20【答案】B【分析】连接，，过点作于点，根据正六边形的性质可知阴影的面积等于扇形减去的面积．本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．【详解】解：连接，，连接交于点，多边形是正六边形，，，，，，，，是等边三角形，，，，，在的内接正六边形中，，，．故选：B．15．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（

）

A．4 B． C．6 D．【答案】B【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键．根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可．【详解】解：设半径为，由题意得，，解得，∵六边形是的内接正六边形，∴，∵，∴是正三角形，∴，∴弦所对应的弦心距为，∴．故选：B．16．（2024·河北唐山·二模）如图，正六边形中，M、N分别为边BC、EF上的动点，则空白部分面积和阴影部分面积的比值为（

）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1【答案】A【分析】此题考查的是正多边形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．连接，由正六边形的性质可得，然后利用面积公式可得答案．【详解】解：连接，由正六边形的性质可知，，，，∴，，同理空白部分面积和阴影部分面积的比值为：．故选：A．►题型05正多边形与圆中求边心距、边长、半径17．（2024·河北·模拟预测）如图，正六边形和正六边形均以点O为中心，连接（A，G，H三点共线），若，则正六边形的边长为（

）A． B．5 C． D．19【答案】C【分析】本题考查正多边形的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，连接，，，，根据正六边形的性质证明，得到，，即可得到B，I，H三点共线，同理可得C，I，J三点共线，D，K，J三点共线，且，然后在三角形中计算即可．【详解】连接，，，，过作于，∵正六边形和正六边形均以点O为中心，∴，，，，∴，，∴，∴，，∵A，G，H三点共线，∴，∴，∴，∴B，I，H三点共线，同理可得C，I，J三点共线，D，K，J三点共线，且，∴，∵，∴，，∴，，∵，∴，∴，即正六边形的边长为，故选：C．18．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正八边形内接于，连接，若，则的半径为（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】本题考查正多边形与圆、解一元二次方程、锐角三角函数，连接，过点A作于点M，设的半径为r，根据多边形的性质求得，利用锐角三角形函数求得，再利用，求解即可．【详解】解：连接，过点A作于点M，设的半径为r，在正八边形中，，∵，在中，，∵是的直径，∴，∴，解得或（舍），故选：D．19．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，正方形内接于为的中点，直线交于点，如果的半径为，则的长度为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】连接，，，如图所示，根据圆内接正方形的性质，等腰直角三角形的边角关系，在中得到，在中，由勾股定理求出，再由三角形相似的判定与性质，得到，代值求解即可得到答案．【详解】解：连接，，，如图所示：正方形内接于，点是的中点，，，在中，，，则，在中，，，则，，，，，即，，解得．故选：A．【点睛】本题考查正多边形和圆，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握圆内接正方形的性质，等腰直角三角形的边角关系，勾股定理，相似三角形的判定与性质是正确解答的关键．20．（2024·吉林长春·一模）如图，点M是内接正n边形…边的中点，连接，若半径为1，，则长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了正多边形中心角的性质，圆心角的计算，三角函数，熟练掌握正多边形的中心角的性质是解题的关键．连接，由正多边形的中心角的定义求出和，由即可得到图形是正八边形，最后根据三角函数即可得出答案．【详解】解：连接，，如图所示：则，∵点M是内接正n边形边的中点，∴，∴，∴；解得，∴，在中，，∴，即故选：B．►题型06正多边形与圆的综合问题21．（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．

(1)如图①，求证：点H，G三等分．(2)如图②，操作并证明．①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法）②求证：是①所作圆的切线．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析【分析】（1）由正多边形的性质证明，可得，再证明是等边三角形，从而可得结论；（2）①按照题干的要求作线段的垂直平分线，再作圆即可；②过点O作，垂足为P，连接，证明．结合，，．从而可得结论；【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中，，∴，∴．在和中，，∴．∴．∴是等边三角形，∴．∴点H，G三等分．（2）①解：如图，即为所求作．

②证明：如图，过点O作，垂足为P，连接，则．由（1）知，，∴．∵，，∴．∴是①所作圆的切线．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆的内接多边形的性质，切线的判定，作线段的垂直平分线，掌握以上基础知识是解本题的关键．22．（2024·浙江宁波·一模）如图1，半径为的内接一个正十边形，是其中一条边．(1)用和含的三角函数的式子表示边长.(2)如图2，作的平分线与半径交于点，试猜想（1）中的三角函数和黄金比有怎样的关系，并说明理由．【答案】(1)(2)为黄金比的一半，理由见解析【分析】（1）过作于，得到，且为等腰三角形，所以得到，，根据三角函数计算即可；（2）由是的角平分线，得到，，证得，即，进而得到，得，即，得到，于是，根据三角函数计算即可．【详解】（1）解：过作于，由正十边形内接于圆，所以得到，又，所以，，在中，，∴，；（2）解：由（1）可知：，，是的角平分线，，，，，所以，是等腰三角形，也是等腰三角形，，在中，，所以，所以得到，即，，由（1）可知：，，即为黄金比的一半．【点睛】本题目考查了正多边形与圆的关系，相似三角形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是能够从图中找到相应的相似三角线及相关的比例线段．23．（2024·上海·三模）如图，已知圆O是正六边形外接圆，直径，点G、H分别在射线上（点G不与点C、D重合），且，设．(1)如图①，当直线经过弧的中点Q时，求：的正弦值；(2)如图②，当点G在边上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)连接，如果与相似，求的长．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）如图①，连接，由正六边形，可得，，证明是等边三角形，则，，，由Q为弧的中点，可得，，则，由圆周角定理可得，，如图①，作的延长线于，则，，设，则，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，根据，计算求解即可；（2）如图②，在上取点，使，连接，证明是等边三角形，则，，，，证明，则，即，可求，由点G不与点C、D重合，可得；（3）由题意知，分①点在边上，②点在边的延长线上，两种情况求解；①点在边上时，如图③，由题意知，，当与相似，分，两种情况求解；当时，，即，联立，计算求出满足要求的解即可；当时，，即，联立，计算求出满足要求的解即可；②当点在边的延长线上，如图④，同理（3）①，求解作答即可．【详解】（1）解：如图①，连接，∵正六边形，∴，，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，∵Q为弧的中点，∴，，∴，，∴，∵，，∴，，如图①，作的延长线于，∴，∴，设，则，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，即，解得，或（舍去），∴，∴的正弦值为；（2）解：如图②，在上取点，使，连接，∵正六边形，∴，，∴是等边三角形，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，即，整理得，，∵点G不与点C、D重合，∴，∴，；（3）解：由题意知，分①点在边上，②点在边的延长线上，两种情况求解；①点在边上时，如图③，由题意知，，∴当与相似，分，两种情况求解；当时，，即，解得，，∵，∴，解得，或，均不符合要求，舍去；当时，，即，解得，，∵，∴，解得，或均不符合要求，舍去；②当点在边的延长线上，如图④，当时，，即，解得，，同理，解得，或，均不符合要求，舍去；当时，，即，解得，，同理，解得，（不符合要求，舍去）或，经检验，是原分式方程的解，且符合要求；综上所述，的长为．【点睛】本题考查了正多边形内角和，垂径定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，正弦，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正多边形内角和，垂径定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，正弦，相似三角形的判定与性质，并分情况求解是解题的关键．24．（2024·江苏苏州·一模）古建中的数学：古亭探“优”．【了解】“江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形．【探索】先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法．（1）旋转的角度最小为_______º；（2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______；（3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由；【作图】（4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明）【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）见解析【分析】（1）设正方形、的中心为Q，连结、、、、、、、，可证得，得出，同理，可得；（2）由题意得，再由、、均为等腰直角三角形，即可求得答案；（3）由，，，可得，，即可求得答案；（4）连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点．【详解】（1）解：如图设正方形、的中心为，连结、、、、、、、，则、、、经过点，，，，四边形、是正方形，，是正八边形，，，，，同理，，；（2）正八边形的边长为2，，由（1）知：、、均为等腰直角三角形，，，；（3），理由如下：由（2）知：，，，可得，，，；（4）如图：连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．命题点二：弧长、扇形面积、圆锥的有关计算►题型01求弧长25．（2023·河南洛阳·模拟预测）若扇形面积为，圆心角为，则它的弧长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查扇形的面积公式，弧长公式等知识，利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式计算即可．解题的关键是记住扇形的面积公式以及弧长公式．【详解】解：设扇形的半径为，由题意：，解得，∴扇形的弧长，故选：C．26．（2024·安徽滁州·三模）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，弧长计算，熟练掌握圆周角定理及弧长计算是解题的关键．连结，，根据圆周角定理可求得的度数，的度数，进而可求得，再根据弧长计算公式，即可求得答案．【详解】连结，，，，的度数为，的度数为，的度数为：，，的长为．故选B．27．（2024·广东佛山·一模）如图，在菱形中，，，以为直径的圆与交于点E，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了弧长的计算，圆周角定理．取的中点，连接，根据菱形的性质得，，根据圆周角定理得，，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：如图，取的中点，连接，菱形中，，，，，，，∴的长是．故选：C．28．（2024·广东广州·二模）如图，中，，是的内切圆，切点分别为点D、E、F，，则劣弧的长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查切线长的性质、弧长公式．根据切线的性质证明四边形为正方形，再弧长公式求解即可．【详解】解：连接，在四边形中，，四边形为矩形．又因为，四边形为正方形．则，，劣弧的长是．故选：A．►题型02利用弧长及扇形面积公式求圆心角29．（2023·河南安阳·一模）一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用弧长公式求解即可．【详解】解：设圆心角为，根据题意得：，解得：，∴该扇形的圆心角的度数是，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式．30．（2020·浙江温州·二模）一段圆弧的半径是12，弧长是，则这段圆弧所对的圆心角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用弧长公式计算，L＝可以求出圆心角的度数．【详解】解：根据弧长公式有：4π＝,解得：n＝60．故选：A．【点睛】本题考查的是弧长的计算，利用弧长的计算公式，知道弧长和半径可以求出这段弧所对圆心角的度数．31．（2023·河北邯郸·三模）如图1是边长为的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式求得扇形的圆心角的度数，进而根据扇形面积公式即可求解．【详解】解：设，，，解得：，圆心角的度数为：扇形的面积是，故选：C．【点睛】本题考查了弧长公式的应用，扇形的面积计算，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键．32．（2023·吉林·一模）图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（

）A．． B．． C．． D．．【答案】D【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式即可求解．【详解】解：设，，，解得：，圆心角的度数为：故选：D．【点睛】本题考查了弧长公式的应用，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键．►题型03利用弧长及扇形面积公式求半径33．（2024·陕西商洛·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（

）A．1米 B．米 C．2米 D．米【答案】B【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米即可．【详解】解：由题意知，，解得，∵裙长为米，∴米，故选：B．34．（2023·黑龙江牡丹江·二模）一个扇形的面积为．弧长为．那么这个扇形的半径是（

）A．20 B．24 C．26 D．32【答案】B【分析】设扇形的半径为r，根据扇形面积等于（为扇形弧长）进行求解即可【详解】解：设扇形的半径为r，由题意得，，解得，故选B．【点睛】本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，熟知扇形面积等于扇形弧长和半径乘积的一半是解题的关键．35．（2022·湖北武汉·中考真题）一个扇形的弧长是，其圆心角是150°，此扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出该扇形的半径，再求其面积即可；【详解】解：该扇形的半径为：，∴扇形的面积为：，故选：B．【点睛】本题主要考查扇形面积的求解，掌握扇形面积的求解公式是解题的关键．36．（2024·山东青岛·中考真题）如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键．【详解】解：连接，则，∵，∴，∴，故选：．►题型04求某点的弧形运动路径长度37．（2024·湖南·模拟预测）某校开展研学活动，其中有“列队训练”的项目．我们以“向右转”为例研究其中蕴含的数学知识，如图，把右脚鞋底抽象成一条线段，忽略鞋底的摩擦、弹性等误差．“向右转”时，以鞋跟O为圆心，顺时针旋转得线段．若某同学右脚鞋底长，那么鞋尖A在“向右转”的运动中路径长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了轨迹、弧长公式等知识点，正确理解题意及熟练利用弧长公式是解题的关键．根据鞋尖A在“向右转”的运动中路径是以O为圆心为半径，圆心角为的一段弧，再利用弧长公式计算即可．【详解】解：依题意可知：鞋尖A在“向右转”的运动中路径长是一段弧长，其半径是,弧的圆心角为，∴鞋尖A在“向右转”的运动中路径长.故选：A．38．（2024·山西·二模）如图，在中，，，．将绕的中点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了弧长公式，直角三角形的特征，旋转的性质，连接，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得到，进而得到，则，易知点E与点C第一次重合时，旋转角为，根据旋转的性质得到，点A运动路径的长为，利用弧长公式求解即可．【详解】解：如图，连接，在中，点O是的中点，，，，，，点E与点C第一次重合时，旋转角为，，由旋转的性质得到，点A运动路径的长为，点A运动路径的长为：，故选：A．39．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面米，那么小孩从最低位置达到最高位置秋千底部所经过的路径长为（

）．A．2米 B．π米 C．米 D．米【答案】C【分析】本题考查了求弧长，过点A作于点C，得出，求出，则，最后根据弧长公式，即可解答．【详解】解：过点A作于点C，∵当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面米，∴，∵，∴，∴，∴，∴秋千底部所经过的路径长，故选：C．40．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，D在线段上，连，以为的直径交于P，，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径长是（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质及动点轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用圆周角定理确定P点的轨迹．连接，由，可得点P是在以为直径的弧上运动，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径是的长，据此求解即可．【详解】如图，连接，是的直径，，点P是在以为直径的弧上运动，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径是的长，，中，，，故选：C►题型05求扇形面积41．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，边长为4的正方形的顶点B在上，顶点A，C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查求不规则图形的面积，掌握扇形的面积公式，是解题的关键．根据正方形的性质和勾股定理得的半径为，结合扇形与三角形的面积公式，即可得到答案．【详解】解：连接，如图所示：∵四边形是正方形，∴，∵正方形的边长为4，∴，∴，即：的半径为，∴．故选：B．42．（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查正六边形的性质和扇形的面积计算，连接，过点B作，先计算正六边形的面积，再计算扇形的面积，相减即可得出答案．【详解】解：连接，过点B作，如图，∵正六边形的边长为4，∴，∵∴，∴，在中，，∴同理可证，，∴，∴，又，∴图中阴影部分的面积为故选：A43．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键．【详解】解：由题知，，，所以山水画所在纸面的面积为：．故选：C．44．（2024·贵州黔东南·二模）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积是（）

A． B．6 C． D．【答案】D【分析】本题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．求线段扫过的图形的面积，即求扇形的面积．【详解】解：由题意，知．由旋转的性质，得．在中，．∴．∴扇形的面积为．即线段扫过的图形的面积为．故选：D．►题型06求图形旋转后扫过的面积45．（2024·四川泸州·二模）如图，的斜边在轴上，且，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标和线段在旋转过程中扫过的面积分别是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】A【分析】本题考查了图形的旋转，扇形面积公式，勾股定理．根据题意，求得的长，由旋转的性质即旋转角度可知：落在轴上，从而求得的坐标，再利用扇形面积公式求解即可．【详解】解：如图，在中，∵，，∴，．∵将绕原点O顺时针旋转后得到，即旋转角，又，点落在轴上，点在第四象限，，∴，∴点的坐标是．线段在旋转过程中扫过的面积是．故选：A．46．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可．【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形，其中扇形的半径为，圆心角最大角度为，∴扇形的最大面积为：，故选：B．47．（2023·山东聊城·二模）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将绕点C旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可．【详解】解：如图：；；则．故选：D．48．（2024·湖南岳阳·模拟预测）圆锥的底面圆的半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【详解】解：依题意，圆锥的底面圆的半径为，高为，∴这个圆锥的母线长，则这个圆锥的侧面积．故选：B．►题型07求圆锥侧面积49．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知圆锥的高为，母线长为，则其侧面展开图的面积为（

）A．60π B．70π C．80π D．90π【答案】A【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据公式计算圆锥的侧面展开图的面积即可；本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图面积公式是解题的关键．【详解】解：圆锥的高为，母线长为圆锥的底面圆的半径为，圆锥的侧面展开图的面积

故选：A．50．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长．【详解】解：，故选：B．51．（2024·山东东营·模拟预测）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可．【详解】解：根据题意得，圆锥的底面半径为4，高为3，∴母线长为，∴圆锥模型的侧面积为．故选：B．52．（2024·湖南长沙·模拟预测）用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径为（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】本题主要考查的是圆锥的性质，掌握圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长是解题关键．利用扇形求出对应弧长，即可求出所围成的圆锥的底面半径．【详解】解：由题意可知，扇形的弧长为：，∴底面周长为：，解得：，即：底面半径等于，故选：C．►题型08求圆锥底面半径、高53．（2024·浙江嘉兴·三模）已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（

）A． B．1 C．π D．2【答案】B【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可．【详解】解：依题意，解得：故选：B．54．（2024·内蒙古赤峰·二模）一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键．利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而求得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面圆半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可．【详解】解：设圆锥的母线长为，则，解得：，∴圆锥侧面展开图的弧长为：∴圆锥的底面圆半径是，∴圆锥的高为故选C．►题型09求圆锥侧面积展开图的圆心角55．（2023·云南临沧·模拟预测）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了圆锥的计算，先利用勾股定理的逆定理证明为等腰直角三角形，，设圆锥的底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后利用勾股定理计算该圆锥的高．【详解】解：，，，，为等腰直角三角形，，设圆锥的底面圆的半径为，根据题意得，解得，该圆锥的高．故选：A．56．（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数．【详解】解：设扇形的半径为r，则，解得：；设扇形圆心角度数为n度，则，解得：，即扇形圆心角为；故选：B．57．（2024·四川达州·三模）如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，根据圆锥侧面积计算公式，得出，进而根据弧长公式进行求解即可．【详解】解：设圆锥的母线长为，∵∴∴解得：故选：C．58．（2024·四川绵阳·二模）如图，圆锥的底面半径为，母线的长为，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为（）度．A．120 B．150 C．135 D．125【答案】A【分析】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式子．先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数圆锥底面周长计算．【详解】解：圆锥底面周长，∴这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为圆锥底面周长．故选:．59．（2024·广西河池·三模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可．【详解】解：设圆锥的母线长为cm，扇形的圆心角为，∵圆锥的底面圆周长为cm，∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为cm，由题意得：，解得：，则，解得，即扇形的圆心角为，故答案为：B．60．（2020·辽宁盘锦·二模）如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（

）A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6【答案】B【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算即可得答案．【详解】扇形的弧长是：=，圆的半径为r，则底面圆的周长是，∵恰好围成如图所示的圆锥，∴=，∴R=4r，故选：B．【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．►题型10圆锥的实际问题61．（2020·云南昆明·二模）云南是全国拥有少数民族数量最多的省份，风俗文化多种多样，使得“云南十八怪”成为云南旅游文化的一张名片，图①是十八怪中的“草帽当锅盖”，图②是一个草帽的三视图，根据图中所给的数据计算出该草帽的侧面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长．【详解】解：∵圆锥的底面直径为48cm,则半径为=24，又∵圆锥的高为10cm,∴圆锥的母线长为：，圆锥的底面周长(扇形的弧长)为:2r=48,∴该圆锥的侧面积=×48π×26=624π，故选C．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．62．（2021·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（

）A．米2 B．米2C．米2 D．米2【答案】A【分析】由底面圆的半径＝5米，根据勾股定理求出母线长，利用圆锥的侧面面积公式，以及利用矩形的面积公式求得圆柱的侧面面积，最后求和．【详解】解：∵底面半径=5米，圆锥高为2米，圆柱高为3米，∴圆锥的母线长=米，∴圆锥的侧面积=，圆柱的侧面积=底面圆周长×圆柱高，即，故需要的毛毡：米，故选：A．【点睛】此题主要考查勾股定理，圆周长公式，圆锥侧面积，圆柱侧面积等，分别得出圆锥与圆柱侧面积是解题关键．63．（2022·广西贺州·中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解．【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm，∴△ABC为等腰直角三角形，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD=DE，圆柱体内液体的体积为：圆锥的体积为，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，∴，∴，解得：x=3，即此时“沙漏”中液体的高度3cm．故选：B．【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．命题点三：不规则面积的有关计算►题型01直接和差法64．（2023·山西临汾·二模）如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，连接，过点O作于点F，求出，由圆周角定理得，得，由三角形外角的性质得，由垂径定理得，根据勾股定理得，根据求解即可．【详解】解：如图，连接，过点O作于点F，

则，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴，∵，∴∠，∴∠，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键．65．（2023·四川广安·二模）如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案．【详解】解：连接，

∵是的直径，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．66．（2022·河北唐山·二模）如图，△ABC内接于⊙O，若，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆周角定理，扇形面积公式和三角形面积公式解答．【详解】解：∵，∴，∴阴影部分的面积．故选：C．【点睛】本题考查圆周角、扇形面积和三角形面积，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、扇形面积公式和三角形面积公式．67．（2022·云南楚雄·二模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝，则图中阴影部分的面积为(

)A．π－8 B．16π－8 C．4π－8 D．16π－4【答案】C【分析】根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以得到∠BOC的值，然后根据勾股定理可以得到OB的长，由图可知S阴影＝S扇形BOC−S△BOC，然后代入数据计算即可．【详解】解：∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∵OB＝OC，OB2＋OC2＝BC2，BC＝4，∴2OB2＝()2，解得OB＝4，∴S阴影＝S扇形BOC−S△BOC＝＝4π−8．故选：C．【点睛】本题考查扇形面积的计算、勾股定理、圆周角定理，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．►题型02构造和差法68．（2025·河南周口·一模）如图，在正六边形中，连接，以点为圆心，的长为半径作，再以点为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，连接，交于点，证明为等边三角形，，求解，，，，结合即可得到结论。【详解】解：如图，连接，交于点，∵正六边形，∴，，，∴，，∴，，∴为等边三角形，，∴，，，∴，同理：，∴，，∴，∴；故选B【点睛】本题考查的是正多边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键。69．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，在平行四边形中，，，以点为圆心、为半径画弧交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行四边形性质、扇形面积公式、三角形面积公式、以及解直角三角形，过点作于点，根据解直角三角形求得，从而求得，最后根据列式求解，即可解题．【详解】解：过点作于点，

，，，，，，，，，，故选：B．70．（2024·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，，F是上一点，，以点A为圆心为半径画弧，交于点，以F为圆心，为半径画弧，交于点于点，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，根据题意可得出，，即说明，从而可得出为等边三角形，，再根据，结合三角形面积公式和扇形面积公式求解即可．【详解】解：如图，连接，在矩形中，，∴，，∴，∴，为等边三角形，，∴．故选B．【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，扇形的面积计算，等边三角形的判定和性质，掌握扇形的面积公式是解题关键．71．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解．【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到．，，在菱形中，点O是对角线的中点，，，，，，，，，，．，，．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键．►题型03不规则面积的综合72．（2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接．(1)填空：°；(2)判断与的位置关系，并说明理由；(3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)30(2)与相切，理由见解析(3)【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到结论；（2）连接，根据垂径定理得到，，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论；（3）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，连接，根据三角形中位线定理得到，，求得，得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）解：弦于，是的直径，，，故答案为：30；（2）解：与相切，理由如下：连接，如图所示：弦于，是的直径，，，，，，，，，是的半径，与相切；（3）解：是的直径，，，，，，连接，如图所示：点是的中点，，，是的中位线，，，，，，图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，扇形的面积的计算，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．73．（2024·广东深圳·三模）如图，点A、B、C在圆O上，，点O在上．

(1)求证：直线与相切；(2)若，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查切线的判定、扇形面积的计算：（1）连接，由得出，进而证明，可证直线与相切；（2）连接，过点O作于E，过点O作于F，分别计算出和，则．【详解】（1）证明：连接，如图1所示：

∵，∴，∴，∵，∴，即，又∵为的半径，∴直线与相切；（2）解：连接，过点O作于E，过点O作于F，如图2所示：

∵，，，∴，在中，，，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，在中，，，∴，由勾股定理得：，∴，∴，．∴．74．（2024·广东佛山·一模）如图，点E是正方形的边延长线上一点，且，连接交于点O，以点O为圆心，为半径作，交线段于点F．(1)求证：是的切线；(2)若，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）过O作于H，利用正方形性质和等腰三角形性质证明，，根据角平分线性质得到即可得证；（2）结合正方形性质和勾股定理得到后即可求得，由角平分线定义求出的角度后，根据阴影部分的面积为的面积扇形的面积即可求解．【详解】（1）证明：过O作于H，∵四边形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切线；（2）解：∵四边形是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴阴影部分的面积的面积扇形的面积．【点睛】本题考查的知识点是正方形性质、等腰三角形性质、角平分线性质、证明某直线是圆的切线、勾股定理、求扇形面积，解题关键是熟练掌握角平分线性质及扇形面积公式．75．（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，为的直径，点是的中点，，垂足为，、的延长线交于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】本题考查了切线的性质与判定，解直角三角形，求扇形面积；（1）连接，根据点是的中点，得出则，进而根据等边对顶角得出，可得，然后证明，根据得出，即可得证；（2）根据，即可求解；（3）解直角三角形得出，根据圆周角定理可得，根据即可求解．【详解】（1）证明：连接，如图所示，∵点是的中点，∴∴∵∴∴∴∵，∴又∵是半径，∴是的切线；（2）解：连接，∵点C是的中点，∴∴∵是直径，则，又，则∴∴∵，，∴（3）解：如图所示，连接，∵∴∵∴∵∴∴，∵，则，∴．基础巩固单选题1．（2022·广东湛江·三模）半径为的圆内接正六角形的边长是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正六边形的性质可知，再根据等边三角形的判定与性质可知进而即可解答．【详解】解：如图，连接，

∵正六边形内接于圆，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，故选B．【点睛】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2024·四川成都·三模）半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的前提．根据正六边形的性质，正三角形的性质进行计算即可．【详解】解：如图，∵半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，∴，∴，∴的内接正多边形是六边形，，，∴是正三角形，，∴正六边形的边长为2，故选：B．3．（2024·广东清远·二模）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可．【详解】解：如图，连接，，，

∵为直径，∴，∵，∴，，∴，，∴弧的长为，故选：C．4．（2024·广东佛山·三模）如图，直角三角板角的顶点A落在直径为6的上，两边与分别交于B、C两点，则劣弧的弧长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查圆周角定理、弧长的计算．利用圆周角定理得到，再利用弧长公式（n为圆心角的度数）求解即可．【详解】解：如图，连接，．，，又的直径为6，的半径为3，劣弧的弧长为，故选A．5．（2024·广东深圳·模拟预测）图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条和的夹角为，贴纸部分的弧为，则的长为（

）A．30 B．25 C．20 D．15【答案】A【分析】根据弧长的计算公式即可解决问题．本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．【详解】解：弧的长度为，，，则．故选：A．二、填空题6．（2024·广东中山·模拟预测）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是°．【答案】【分析】根据正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【详解】解：是的直径，五边形是的内接正五边形，∴则，，，∵，，，，．故答案为：7．（2021·广东·三模）如图，已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，的长是，则阴影部分的面积是．【答案】﹣【分析】由⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆得到∠AOB，根据弧长公式求得圆的半径为OA，由扇形的面积公式求得S扇形OAB，由三角形的面积公式求出S△OAB，根据S阴影＝S扇形OAB−S△OAB即可求得结果．【详解】解：∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，∴∠AOB＝＝60°，的长是，∴，∴OA＝2，∴S扇形OAB＝，过O作OH⊥AB于H，∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴AB＝OA＝2，∠AOH＝∠AOB＝30°，∴AH＝AB＝1，∴OH＝，∴S△OAB＝AB•OH＝，∴S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣．，故答案为：﹣．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，弧长的计算和扇形的面积计算，明确S阴影＝S扇形OAB−S△OAB是解决问题的关键．8．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为．【答案】【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得，，得到，再利用扇形的面积公式即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵O为中点，∴，∵，在中，，∴，同理，∴，∴扇形的面积为，故答案为：．9．（2024·广东·模拟预测）杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是（结果保留π）．【答案】【分析】本题考查了求扇形面积，先根据小扇形的半径为，弧长为，求出D的度数，根据列式代入数值进行计算，即可作答．【详解】解：设∵小扇形的半径为，弧长为∴则则∵大扇形的半径为，扇面的宽度为，∴则故答案为：三、解答题10．（2024·广东云浮·一模）如图1是一台笔记本电脑，图2是它的示意图．将笔记本电脑水平放置在桌面上，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度，然后将电脑屏幕绕点O旋转至张角（点是A的对应点）．

(1)求顶部边缘A处绕点O旋转到处时转过的弧长；（结果保留）(2)求旋转后顶部边缘处离桌面的高度．（结果精确到1cm．参考数据：，，）【答案】(1)顶部边缘A处绕点O旋转到处时转过的弧长为(2)旋转后顶部边缘处离桌面的高度约为【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的性质，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解题的关键．（1）首先可求得，根据直角三角形的性质，即可求得、的长，再由题意可得的度数，最后利用弧长公式即可求解；（2）过点作于点D，线段的长即为旋转后顶部边缘处离桌面的高度，再求出的度数，利用解直角三角形进行计算即可解答．【详解】（1）解：．，，，顶部边缘A处绕点O旋转到处时转过的弧长为．（2）解：如图，过点作于点D，

，中，答：旋转后顶部边缘处离桌面的高度约为．11．（2023·广东云浮·一模）如图，是的外接圆，为直径，点D为上一点，连接，过点C作交的延长线于点E，交的延长线于点F．已知．(1)求证：为的切线；(2)若，，求阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）如图所示，连接，由圆周角定理得到，即可得到，进而证明，再由即可证明，则为的切线；（2）先解得到，，求出，再根据进行求解即可．【详解】（1）证明：如图所示，连接，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴为的切线；（2）解：在中，，∴，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质与判定，解直角三角形，求不规则图形面积等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．能力提升一、单选题1．（2024·广东广州·二模）如图，正六边形的半径为4，则该正六边形的边心距为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数，过正多边形中心O作，连接，证出是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．【详解】解：如图，过正多边形中心O作，连接，多边形为正六边形，，，为等边三角形，，故选：B．2．（2024·广东佛山·一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率约为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．利用圆内接正十二边形的性质求出，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．【详解】解：如图，连接边点O作，在正十二边形中，，，，，，，故选：C3．（2024·广东中山·三模）如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心、为半径作弧，交于点，连接、若，，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质、扇形的面积计算等知识点，求得和扇形的面积是解题的关键．如图：连接，根据菱形的性质求出和，求出长，再根据三角形的面积和扇形的面积求解即可．【详解】解：如图：连接，∵四边形是菱形，∴，∵，E为的中点，∴，是等边三角形，，∵，∴，由勾股定理得：，∴，∴阴影部分的面积．故选：A．4．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可．【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5，扇形的弧长为，圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，，，圆锥的高为，圆锥的体积为，故选：D．5．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在菱形中，，对角线，交于点O，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E；以点C为圆心，长为半径作弧，交于点F．若，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了求扇形面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式是解题的关键．证明、是等边三角形，，可得，，结合结合作图可得：点E是的中点，点F是的中点，可得，，再利用面积差求解阴影部分的面积即可．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，，，∵