高中数学人教A版第一章集合与函数概念函数的基本性质-参赛作品

第一章1.3.2A级基础巩固一、选择题1．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是eq\x(导学号69174436)(D)A．f(x)＝x＋eq\f(1,x) B．f(x)＝x2－eq\f(1,x)C．f(x)＝eq\r(1－x2) D．f(x)＝x3[解析]∵对于A，f(－x)＝(－x)＋eq\f(1,－x)＝－(x＋eq\f(1,x))＝－f(x)；对于D，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，∴A、D选项都是奇函数．易知f(x)＝x3在(0,1)上递增．2．若f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则下列各式成立的是eq\x(导学号69174437)(B)A．f(－2)＞f(0)＞f(1) B．f(－2)＞f(1)＞f(0)C．f(1)＞f(0)＞f(－2) D．f(0)＞f(－2)＞f(1)[解析]因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)．又因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＜f(1)＜f(2)，即f(－2)＞f(1)＞f(0)．故选B．3．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是增函数，则有eq\x(导学号69174438)(D)A．a≥eq\f(1,2) B．a≤eq\f(1,2) C．a>－eq\f(1,2) D．a>eq\f(1,2)[解析]∵y＝f(x)在R上为增函数，∴2a－1>0，即a>eq\f(1,2).4．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是eq\x(导学号69174439)(B)A．{x|－3<x<0或x>3} B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3} D．{x|－3<x<0或0<x<3}[解析]x>0时f(3)＝－f(－3)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴x∈(0,3)时f(x)<0，又∵f(x)为奇函数．当x<0时，只有x∈(－∞，－3)时f(x)<0，故选B．5．已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为eq\x(导学号69174440)(B)A．－5 B．－1 C．－3 D．[解析]令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，则F(x)为奇函数．∵x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5，∴x∈(0，＋∞)时，F(x)＝h(x)－2≤3.又x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴F(－x)≤3⇔－F(x)≤3⇔F(x)≥－3.∴h(x)≥－3＋2＝－1，选B．6．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式eq\f(fx－f－x,x)<0的解集为eq\x(导学号69174441)(D)A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)[解析]奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，eq\f(fx－f－x,x)＝eq\f(2fx,x)<0.画出示意图得解集为(－1,0)∪(0,1)．二、填空题7．设函数f(x)＝eq\f(x＋1x＋a,x)为奇函数，则a＝__－\x(导学号69174442)[解析]f(x)＝eq\f(1,x)(x＋1)(x＋a)为奇函数⇔g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，故g(－1)＝g(1)，∴a＝－1.8．偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是__f(x1)>f(x2)\x(导学号69174443)[解析]∵x1<0，∴－x1>0，又|x1|>|x2|，x2>0，∴－x1>x2>0，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)>f(x2)，又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2)．此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然．三、解答题9．已知函数f(x)＝eq\r(x＋1).eq\x(导学号69174444)(1)求函数f(x)的定义域；(2)求证：函数f(x)在定义域上是增函数；(3)求函数f(x)的最小值．[解析](1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足x＋1≥0，解得x≥－1，所以函数f(x)的定义域是[－1，＋∞)．(2)证明：设－1<x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，f(x1)－f(x2)＝eq\r(x1＋1)－eq\r(x2＋1)＝eq\f(\r(x1＋1)－\r(x2＋1)\r(x1＋1)＋\r(x2＋1),\r(x1＋1)＋\r(x2＋1))＝eq\f(x1＋1－x2＋1,\r(x1＋1)＋\r(x2＋1))＝eq\f(x1－x2,\r(x1＋1)＋\r(x2＋1)).∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，eq\r(x1＋1)>0，eq\r(x2＋1)>0.∴f(x1)<f(x2)，即Δy＝f(x2)－f(x1)>0，∴函数f(x)在定义域上是增函数．(3)∵函数f(x)在定义域[－1，＋∞)上是增函数，∴f(x)≥f(－1)＝0，即函数f(x)的最小值是0.10．(2023～2023·太原高一检测)已知函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，对于任意的x>0，y>0，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且满足f(2)＝\x(导学号69174445)(1)求f(1)，f(4)的值．(2)求满足f(x)＋f(x－3)>2的x的取值范围．[解析](1)令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0；令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，所以f(4)＝2.(2)由题知当x>0，x－3>0时有f(x)＋f(x－3)＝f(x(x－3))，且2＝f(4)，所以由f(x)＋f(x－3)>2得f(x(x－3))>f(4)．又因为y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－3>4，,x>0，,x－3>0，))解不等式组得x>4，所以x的取值范围是(4，＋∞)．B级素养提升一、选择题1．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋b，则f(－1)等于eq\x(导学号69174446)(C)A．0 B．2 C．－2 D．[解析]∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即b＝0，∴当x≥0时，f(x)＝2x，∴f(－1)＝－f(1)＝－2，故选C．2．已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[3a－2,2a＋eq\f(1,3)]上的偶函数，则5a＋3b＝eq\x(导学号69174447)(A)A．eq\f(5,3) B．eq\f(1,3) C．0 D．－eq\f(2,3)[解析]∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)即ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0，又f(x)定义域为[3a－2,2a＋eq\f(1,3)]，∴3a－2＋2a＋eq\f(1,3)＝0，∴a＝eq\f(1,3).故5a＋3b＝eq\f(5,3).3．已知函数f(x)是定义在(－6,6)上的偶函数，f(x)在[0,6)上是单调函数，且f(－2)＜f(1)，则下列不等式成立的是eq\x(导学号69174448)(D)A．f(－1)＜f(1)＜f(3) B．f(2)＜f(3)＜f(－4)C．f(－2)＜f(0)＜f(1) D．f(5)＜f(－3)＜f(－1)[解析]∵f(－2)＝f(2)＜f(1)，∴f(x)在[0,6]上为减函数，在[－6,0]上为增函数，f(－5)＝f(5)，∴f(－5)＜f(－3)＜f(－1)，故选D．4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为eq\x(导学号69174449)(B)A．－1 B．0 C．1 D．[解析]∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(6)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0.二、填空题5．已知偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则f(x)≥0的x的取值范围是__[－2,2]∪{－5,5}\x(导学号69174450)[解析]∵f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，∴由f(x)在[0,5]上的图象作出f(x)在[－5,0]上的图象，从而得到f(x)在[－5,5]上的图象(如图)．根据图象可知：使f(x)≥0的x的取值范围为[－2,2]∪{－5,5}．6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，若f(1－a)＋f(eq\f(1,2)－2a)＜0，则实数a的取值范围是__(eq\f(1,2)，＋∞)\x(导学号69174451)[解析]∵y＝f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)为增函数，∴f(x)在R上为增函数．又f(1－a)＋f(eq\f(1,2)－2a)＜0，∴f(1－a)＜－f(eq\f(1,2)－2a)＝f(2a－eq\f(1,2))．∴1－a＜2a－eq\f(1,2)，即a＞eq\f(1,2).∴实数a的取值范围为(eq\f(1,2)，＋∞)．C级能力拔高1．已知函数f(x)＝1－eq\f(2,x).eq\x(导学号69174452)(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．[解析](1)由已知得g(x)＝1－a－eq\f(2,x)，∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，即1－a－eq\f(2,－x)＝－(1－a－eq\f(2,x))，解得a＝1.(2)函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝1－eq\f(2,x1)－(1－eq\f(2,x2))＝eq\f(2x1－x2,x1x2).∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，从而eq\f(2x1－x2,x1x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有eq\f(fa＋fb,a＋b)＞\x(导学号69174453)(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(2)若f(1