高中数学北师大版第二章函数对函数的进一步认识 第2章

第二章§2A级基础巩固1．已知区间[－a,2a＋1)，则实数a的取值范围是eq\x(导学号00814222)(C)A．R B．[－eq\f(1,3)，＋∞)C．(－eq\f(1,3)，＋∞) D．(－∞，－eq\f(1,3))[解析]结合区间的定义可知－a<2a∴a>－eq\f(1,3).2．函数f(x)＝eq\f(\r(x－1),x－2)的定义域为eq\x(导学号00814223)(D)A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)[解析]使函数f(x)＝eq\f(\r(x－1),x－2)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－2≠0，))即x≥1且x≠2.∴函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．3．函数f(x)＝eq\f(1,1＋x2)(x∈R)的值域是eq\x(导学号00814224)(C)A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1] D．(0,1)[解析]∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0<eq\f(1,x2＋1)≤1，∴值域为(0,1]，故选C．4．下列各组函数中，表示同一函数的是eq\x(导学号00814225)(D)A．y＝x＋1和y＝eq\f(x2－1,x－1)B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D．f(x)＝eq\f(\r(x)2,x)和g(x)＝eq\f(x,\r(x)2)[解析]只有D是相等的函数，A与B中定义域不同，C是对应法则不同．5．函数f(x)的定义域是[0,3]，则f(2x－1)的定义域是eq\x(导学号00814226)(A)A．[eq\f(1,2)，2] B．[0,3]C．[－1,5] D．(eq\f(1,2)，2)[解析]由f(x)定义域为[0,3]知，0≤2x－1≤3，即eq\f(1,2)≤x≤2.6．已知函数f(x)＝eq\r(x－1).若f(a)＝3，则实数a＝\x(导学号00814227)[解析]本题考查了由函数值求自变量的值．由f(a)＝3得eq\r(a－1)＝3两边平方得a＝10.7．下列函数中，值域为(0，＋∞)的函数有_④__(只填序号).eq\x(导学号00814228)①y＝2x＋1(x>0)②y＝x2③y＝eq\f(1,x2－1)④y＝eq\f(2,x)(x>0)[解析]∵x>0，y＝2x＋1>1，故①不正确；∵y＝x2≥0，∴②不正确；由y＝eq\f(1,x2－1)得x2＝eq\f(1,y)＋1≥0.∴y>0或y≤－1，∴③不正确；∵x>0，y＝eq\f(2,x)>0，∴④正确．8．已知函数f(x)＝eq\f(1,1＋x).eq\x(导学号00814229)(1)求f(2)与f(eq\f(1,2))，f(3)与f(eq\f(1,3))．(2)由(1)中求出的结果，你能发现f(x)与f(eq\f(1,x))有什么关系？并证明你的发现．(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(eq\f(1,2))＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(eq\f(1,2015))．[解析](1)∵f(x)＝eq\f(1,1＋x)，∴f(2)＝eq\f(1,1＋2)＝eq\f(1,3)，f(eq\f(1,2))＝eq\f(1,1＋\f(1,2))＝eq\f(2,3)，f(3)＝eq\f(1,1＋3)＝eq\f(1,4)，f(eq\f(1,3))＝eq\f(1,1＋\f(1,3))＝eq\f(3,4).(2)由(1)中求的结果可发现f(x)＋f(eq\f(1,x))＝1，证明如下：f(x)＋f(eq\f(1,x))＝eq\f(1,1＋x)＋eq\f(1,1＋\f(1,x))＝eq\f(1,1＋x)＋eq\f(x,1＋x)＝eq\f(1＋x,1＋x)＝1.(3)f(1)＝eq\f(1,1＋1)＝eq\f(1,2)，由(2)知，f(2)＋f(eq\f(1,2))＝1，f(3)＋f(eq\f(1,3))＝1，…，f(2015)＋f(eq\f(1,2015))＝1，∴原式＝eq\f(1,2)＋1＋1＋…＋1]＝eq\f(1,2)＋2014＝eq\f(4029,2).9．求下列函数的值域：eq\x(导学号00814230)(1)y＝eq\f(2x－1,x＋1)(1≤x≤2)．(2)y＝x－2eq\r(x)＋3.(3)y＝x2－4x＋6(0≤x<5)．[解析](1)∵y＝2－eq\f(3,x＋1)，又1≤x≤2，∴2≤x＋1≤3，∴1≤eq\f(3,x＋1)≤eq\f(3,2)，∴eq\f(1,2)≤y≤1.故所求的值域为[eq\f(1,2)，1]．(2)∵y＝x－2eq\r(x)＋3＝(eq\r(x)－1)2＋2≥2，故所求的值域为[2，＋∞)．(3)作函数y＝(x－2)2＋2(0≤x<5)的图像如图所示，由图可知2≤y<11.∴函数的值域为[2,11)．B级素养提升1．函数y＝eq\r(\f(1,1＋\f(1,x)))的定义域是eq\x(导学号00814231)(C)A．{x|x>0} B．{x|x>0或x≤－1}C．{x|x>0或x<－1} D．{x|0<x<1}[解析]∵eq\f(1,1＋\f(1,x))≥0⇔1＋eq\f(1,x)>0⇔eq\f(x＋1,x)>0⇔x>0或x<－1.2．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f[f(－1)]＝－1，那么a的值是eq\x(导学号00814232)(A)A．1 B．0C．－1 D．2[解析]f(－1)＝a－1，f[f(－1)]＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，所以a＝1.3．已知函数f(x)＝2x－3，x∈A的值域为{－1,1,3}，则定义域A为_{1,2,3}\x(导学号00814233)[解析]值域为{－1,1,3}，即令f(x)分别等于－1,1,3求出对应的x，则由x组成的集合即为定义域{1,2,3}．4．函数y＝eq\r(－x2＋x＋2)的定义域为_[－1,2]__，值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).eq\x(导学号00814234)[解析]由－x2＋x＋2≥0得－1≤x≤2，又设t＝－x2＋x＋2的对称轴为x＝eq\f(1,2)，顶点的纵坐标为eq\f(4ac－b2,4a)＝eq\f(4×－1×2－1,－4)＝eq\f(9,4)，∴0≤t≤eq\f(9,4)，∴y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).5．已知函数f(x)＝eq\f(\r(x＋4),x＋2).eq\x(导学号00814235)(1)求f(x)的定义域；(2)求f(－3)，f(eq\f(2,3))的值．[解析](1)要使f(x)有意义，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4≥0,x＋2≠0))，即x≥－4且x≠－2，∴f(x)的定义域为[－4，－2)∪(－2，＋∞)．(2)∵f(x)＝eq\f(\r(x＋4),x＋2)，∴f(－3)＝eq\f(\r(－3＋4),－3＋2)＝－1，f(eq\f(2,3))＝eq\f(\r(\f(2,3)＋4),\f(2,3)＋2)＝eq\f(\r(42),8).6．已知函数f(x)＝x2＋x－1，求eq\x(导学号00814236)(1)f(2)；(2)