高中数学人教A版第一章集合与函数概念 第一章质量评估检测

第一章质量评估检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4B．2C．0D．0或4解析：当a＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A为空集，不符合题意；当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.答案：A2．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁UB＝()A．{3}B．{4}C．{3,4}D．∅解析：∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁UB＝{3,4}，∴A∩∁UB＝{3}．答案：A\a\vs4\al(2023·衡水高一检测)下列各组中的两个函数是同一函数的为()(1)y＝eq\f(x＋3x－5,x＋3)，y＝x－5.(2)y＝eq\r(x＋1)eq\r(x－1)，y＝eq\r(x＋1x－1).(3)y＝x，y＝eq\r(x2).(4)y＝x，y＝eq\r(3,x3).(5)y＝(eq\r(2x－5))2，y＝2x－5.A．(1)，(2)B．(2)，(3)C．(3)，(5)D．(4)解析：(1)中的y＝eq\f(x＋3x－5,x＋3)与y＝x－5定义域不同．(2)中两个函数的定义域不同．(3)中第1个函数的定义域、值域都为R，而第2个函数的定义域是R，但值域是{y|y≥0}．(5)中两个函数的定义域不同，值域也不同．(4)中显然是同一函数．答案：D\a\vs4\al(2023·福州高一检测)下列函数是偶函数的是()A．y＝2x2－3B．y＝x3C．y＝x2，x∈[0,1]D．y＝x解析：由函数奇偶性定义可知B、D均为奇函数，C定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A为偶函数．答案：A\a\vs4\al(2023·洛阳高一检测)若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝9x＋8B．f(x)＝3x＋2C．f(x)＝－3x－4D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4解析：令3x＋2＝t，则3x＝t－2，故f(t)＝3(t－2)＋8＝3t＋2.答案：B\a\vs4\al(2023·大庆高一检测)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3解析：∵x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－1)＝2－(－1)＝3.又f(x)为R上的奇函数，故f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝－3.答案：A7．设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝()A．[－4，＋∞)B．(－2，＋∞)C．[－4,1]D．(－2,1]解析：S∩T＝{x|x＞－2}∩{x|－4≤x≤1}＝{x|－2＜x≤1}．答案：D8．函数f(x)＝eq\r(1＋x)＋eq\f(1,x)的定义域是()A．[－1，∞)B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．[－1,0)∪(0，＋∞)D．R解析：要使函数有意义，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x≥0，,x≠0，))即x≥－1且x≠0，故选C.答案：C9．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A．4B．3C．2D．1解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．又g(x)是偶函数，∴g(－1)＝g(1)．∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2.①又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4.②由①②，得g(1)＝3.答案：B\a\vs4\al(2023·浏阳高一检测)已知偶函数y＝f(x)在[0,4]上是增函数，则一定有()A．f(－3)＞f(π)B．f(－3)＜f(π)C．f(3)＞f(－π)D．f(－3)＞f(－π)解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－π)＝f(π)．又f(x)在[0,4]上是增函数，∴f(3)＜f(π)．∴f(－3)＜f(π)．答案：B11．(2023·昆明高一检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x－x2，则当x＞0时，f(x)＝()A．x－x2B．－x－x2C．－x＋x2D．x＋x2解析：当x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝－x－(－x)2＝－x－x2，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x＋x2.答案：D\a\vs4\al(2023·安阳高一检测)一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是()A．这个函数仅有一个单调增区间B．这个函数有两个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值是7D．这个函数在其定义域内有最小值是－7解析：结合偶函数图象关于y轴对称可知，这个函数在[－7,7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少．答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)＝eq\r(x－1).若f(a)＝3，则实数a＝__________.解析：因为f(a)＝eq\r(a－1)＝3，所以a－1＝9，即a＝10.答案：1014．用列举法表示集合：A＝{x|eq\f(2,x＋1)∈Z，x∈Z}＝__________.解析：因为x∈Z，所以当x＝－3时，有－1∈Z；当x＝－2时，有－2∈Z；当x＝0时，有2∈Z；当x＝1时，有1∈Z，所以A＝{－3，－2,0,1}．答案：{－3，－2,0,1}15．函数f(x)＝－x2＋b在[－3，－1]上的最大值是4，则它的最小值是__________．解析：函数f(x)＝－x2＋b在[－3，－1]上是增函数，当x＝－1时取最大值，所以b＝5，当x＝－3时，取最小值f(－3)＝－9＋5＝－4.答案：－416．已知函数y＝f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(－2)＝0，则不等式x·f(x)＜0的解集为________．解析：根据题意画出f(x)大致图象：由图象可知－2＜x＜0或0＜x＜2时，x·f(x)＜0.答案：(－2,0)∪(0,2)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．\a\vs4\al(2023·武昌高一检测，10分)已知函数f(x)＝x＋eq\f(m,x)，且f(1)＝3.(1)求m；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解析：(1)∵f(1)＝3，即1＋m＝3，∴m＝分(2)由(1)知，f(x)＝x＋eq\f(2,x)，其定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，7分又f(－x)＝－x＋eq\f(2,－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))＝－f(x)，所以此函数是奇函数.10分\a\vs4\al(2023·杭州高一检测，12分)已知集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}．(1)分别求∁R(A∩B)，(∁RB)∪A；(2)已知C＝{x|a＜x＜a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．解析：(1)∵A∩B＝{x|3≤x＜6}，∴∁R(A∩B)＝{x|x＜3或x≥6}，∵∁RB＝{x|x≤2或x≥9}，∴(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x＜6或x≥9}．6分(2)∵C⊆B，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥2，,a＋1≤9))，∴2≤a≤8.∴实数a的取值范围为：2≤a≤分\a\vs4\al(2023·郑州高一检测，12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)的最小值为1，当x＝－5时，f(x)的最大值为分(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a.∵f(x)在[－5,5]上是单调的，∴－a≤－5或－a≥5.即实数a的取值范围是a≤－5或a≥分\a\vs4\al(2023·德州高一检测，12分)设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)，(1)证明：f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(4)求函数的值域．解析：(1)∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数.3分(2)当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12－2，0≤x≤3，,x＋12－2，－3≤x＜0.))根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．6分(3)函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1)，[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)，[1,3]上为增函数.9分(4)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值f(3)＝2；当x＜0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值f(－3)＝2.故函数f(x)的值域为[－2,2].12分\a\vs4\al(2023·临沂高一检测，12分)已知函数f(x)＝eq\f(mx2＋2,3x＋n)是奇函数，且f(2)＝eq\f(5,3).(1)求实数m和n的值；(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．解析：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．即eq\f(mx2＋2,－3x＋n)＝－eq\f(mx2＋2,3x＋n)＝eq\f(mx2＋2,－3x－n)，比较得n＝－n，n＝0，又f(2)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(4m＋2,6)＝eq\f(5,3)，m＝2，即实数m和n的值分别是2和分(2)函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数．证明如下：由(1)知f(x)＝eq\f(2x2＋2,3x)＝eq\f(2x,3)＋eq\f(2,3x)，设x1＜x2≤－1，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(2,3)(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x1x2)))＝eq\f(2,3)(x1－x2)·eq\f(x1x2－1,x1x2)，eq\f(2,3)(x1－x2)＜0，x1x2＞0，x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，即函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数.12分\a\vs4\al(2023·济宁高一检测，12分)函数f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2,5).(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.解析：(1)∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即eq\f(－ax＋b,1＋x2)＝eq\f(－ax－b,1＋x2).∴b＝－b，b＝0.∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2,5)，∴eq\f(\f(1,2)a,1＋\f(1,4))＝eq\f(2,5)，∴a＝分∴函数解析式为f(x)＝eq\f(x,1＋x2)(－1＜x＜1)．(2)证明：任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,1＋x\o\al(2,1))－eq\f(x2,1＋x\o\al(2,2))＝eq\f(x1－x21－x1x2,1＋x\o\al(2,1)1＋x\o\al(2,2))，∵－1＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0,1－x1