高中数学苏教版1第3章空间向量与立体几何 全国优质课

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．下列命题中，假命题是________(填序号)．①若eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(CD,\s\up8(→))共线，则A，B，C，D不一定在同一直线上；②只有零向量的模等于0；③共线的单位向量都相等．【解析】①②正确．共线的单位向量方向不一定相同，③错误．【答案】③2．下列结论中，正确的是________(填序号)．①若a，b，c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；②若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；③若a，b，c共面，b，c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc.【解析】要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提；b，c是不共线向量，否则即使三个向量a，b，c共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．【答案】②③3．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋λeq\o(OC,\s\up8(→))确定的点P与A，B，C共面，那么λ＝________.【解析】∵P与A，B，C共面，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝αeq\o(AB,\s\up8(→))＋βeq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝α(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＋β(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))，即eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋αeq\o(OB,\s\up8(→))－αeq\o(OA,\s\up8(→))＋βeq\o(OC,\s\up8(→))－βeq\o(OA,\s\up8(→))＝(1－α－β)eq\o(OA,\s\up8(→))＋αeq\o(OB,\s\up8(→))＋βeq\o(OC,\s\up8(→))，∴1－α－β＋α＋β＝1.因此eq\f(1,5)＋eq\f(2,3)＋λ＝1，解得λ＝eq\f(2,15).【答案】eq\f(2,15)4．如图3­1­7，已知空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up8(→))＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则eq\o(EF,\s\up8(→))＝________(用向量a，b，c表示)．图3­1­7【解析】设G为BC的中点，连结EG，FG，则eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(EG,\s\up8(→))＋eq\o(GF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(a－2c)＋eq\f(1,2)(5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c.【答案】3a＋3b－5c5．如图3­1­8，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1，若eq\o(EF,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AD,\s\up8(→))＋zeq\o(AA1,\s\up8(→))，则x＋y＋z＝________.图3­1­8【解析】eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))－eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DF,\s\up8(→))－(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→)))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up8(→))，∴x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，∴x＋y＋z＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)6．如图3­1­9，在三棱锥A­BCD中，若△BCD是正三角形，E为其重心，则eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))化简的结果为________.【导学号：09390071】图3­1­9【解析】∵E为△BCD的重心，∴DE＝eq\f(2,3)DF，eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up8(→)).∴eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\o(DF,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up8(→))＝0.【答案】07．i，j，k是三个不共面的向量，eq\o(AB,\s\up8(→))＝i－2j＋2k，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2i＋j－3k，eq\o(CD,\s\up8(→))＝λi＋3j－5k，且A，B，C，D四点共面，则λ的值为________．【解析】若A，B，C，D四点共面，则向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))共面，故存在不全为零的实数a，b，c，使得aeq\o(AB,\s\up8(→))＋beq\o(BC,\s\up8(→))＋ceq\o(CD,\s\up8(→))＝0，即a(i－2j＋2k)＋b(2i＋j－3k)＋c(λi＋3j－5k)＝0，∴(a＋2b＋λc)i＋(－2a＋b＋3c)j＋(2a－3b－5c)k＝0.∵i，j，k不共面，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋λc＝0，,－2a＋b＋3c＝0，,2a－3b－5c＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝－c，,λ＝1.))【答案】18．有四个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若eq\o(MP,\s\up8(→))＝xeq\o(MA,\s\up8(→))＋yeq\o(MB,\s\up8(→))，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则eq\o(MP,\s\up8(→))＝xeq\o(MA,\s\up8(→))＋yeq\o(MB,\s\up8(→)).其中真命题是________(填序号)．【解析】由共面向量定理知，①正确；若p与a，b共面，当a与b共线且p与a和b不共线时，就不存在实数组(x，y)使p＝xa＋yb成立，故②错误；同理③正确，④错误．【答案】①③二、解答题9．如图3­1­10所示，ABCD­A1B1C1D1中，ABCD是平行四边形．若eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up8(→))，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝2eq\o(FD,\s\up8(→))，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝b，eq\o(AD,\s\up8(→))＝c，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝a，试用a，b，c表示eq\o(EF,\s\up8(→)).图3­1­10【解】如图，连结AF，则eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(EA,\s\up8(→))＋eq\o(AF,\s\up8(→)).由已知ABCD是平行四边形，故eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝b＋c，eq\o(A1D,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝－a＋c.由已知，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝2eq\o(FD,\s\up8(→))，∴eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(FD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(A1D,\s\up8(→))＝c－eq\f(1,3)(c－a)＝eq\f(1,3)(a＋2c)，又eq\o(EA,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)(b＋c)，∴eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(EA,\s\up8(→))＋eq\o(AF,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)(b＋c)＋eq\f(1,3)(a＋2c)＝eq\f(1,3)(a－b＋c)．10．如图3­1­11所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CG,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up8(→)).求证：四边形EFGH是梯形．图3­1­11【证明】∵E，H分别是AB，AD的中点，∴eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AH,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))，则eq\o(EH,\s\up8(→))＝eq\o(AH,\s\up8(→))－eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(CG,\s\up8(→))－\f(3,2)\o(CF,\s\up8(→))))＝eq\f(3,4)(eq\o(CG,\s\up8(→))－eq\o(CF,\s\up8(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up8(→))，∴eq\o(EH,\s\up8(→))∥eq\o(FG,\s\up8(→))且|eq\o(EH,\s\up8(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(FG,\s\up8(→))|≠|eq\o(FG,\s\up8(→))|.又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形．能力提升]1．平面α内有点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up8(→))＋xeq\o(OC,\s\up8(→))＋yeq\o(OD,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))＝2xeq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OD,\s\up8(→))＋yeq\o(OE,\s\up8(→))，则x＋3y＝________.【解析】由点A，B，C，D共面得x＋y＝eq\f(1,2)，又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝eq\f(2,3)，联立方程组解得x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，所以x＋3y＝eq\f(7,6).【答案】eq\f(7,6)2．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝λeq\o(OG,\s\up8(→))，则λ＝________.【解析】如图，取AB的中点D，eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(CG,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)·eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→)))＝eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))＋(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))]＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→)).∴eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝3eq\o(OG,\s\up8(→)).【答案】33．(2023·贵港高二检测)在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是______．【解析】a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确．综上可知，四个命题中正确的个数为0.【答案】04．如图3­