高中数学人教A版第二章数列【全国一等奖】

第二章第2课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．符合递推关系式an＝eq\r(2)an－1的数列是()A．1,2,3,4，… B．1，eq\r(2)，2,2eq\r(2)，…C．eq\r(2)，2，eq\r(2)，2，… D．0，eq\r(2)，2,2eq\r(2)，…解析：逐个验证，故选B.答案：B2．已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是()A．一条直线 B．一条抛物线C．一个圆 D．一群孤立的点解析：∵an＝3n－2，n∈N*，∴数列{an}的图象是一群孤立的点．答案：D3．在数列{an}中，an＝n，则{an}是()A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．以上都不是解析：∵an＋1－an＝(n＋1)－n＝1>0，∴数列{an}是递增数列．答案：A4．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是()A．R B．(0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，0]解析：∵{an}是递减数列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为________(填写序号)．①an＝－2n＋1；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝eq\f(1,2n)；④an＝(－1)n.解析：可以通过画函数的图象一一判断．②有增有减，④是摆动数列．答案：①③6．数列{－2n2＋9n＋3}的最大项是第________项，最大项为________．解析：由已知an＝－2n2＋9n＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(9,4)))2＋eq\f(105,8).∵n∈N*，故当n＝2时，an取到最大值13.答案：213三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,nn－1)(n≥2，n∈N*)．写出该数列的前五项以及它的一个通项公式．解析：a1＝1，a2＝a1＋eq\f(1,2×1)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，a3＝a2＋eq\f(1,3×2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,3)，a4＝a3＋eq\f(1,4×3)＝eq\f(5,3)＋eq\f(1,12)＝eq\f(7,4)，a5＝a4＋eq\f(1,5×4)＝eq\f(7,4)＋eq\f(1,20)＝eq\f(9,5).故数列的前5项分别为1，eq\f(3,2)，eq\f(5,3)，eq\f(7,4)，eq\f(9,5).由于1＝eq\f(2×1－1,1)，eq\f(3,2)＝eq\f(2×2－1,2)，eq\f(5,3)＝eq\f(2×3－1,3)，eq\f(7,4)＝eq\f(2×4－1,4)，eq\f(9,5)＝eq\f(2×5－1,5)，∴数列{an}的一个通项公式为an＝eq\f(2n－1,n)＝2－eq\f(1,n).8．已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(1,n2＋5n＋4).(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？(2)该数列中有负数项吗？解析：(1)对任意n∈N*，∵an＋1－an＝eq\f(1,n＋12＋5n＋1＋4)－eq\f(1,n2＋5n＋4)＝eq\f(－2n＋3,[n＋12＋5n＋1＋4]n2＋5n＋4)<0，∴数列{an}是递减数列．(2)令an<0，即eq\f(1,n2＋5n＋4)<0，∴n2＋5n＋4<0⇒(n＋4)(n＋1)<0∴－4<n<－1.而n∈N*，故数列{an}没有负数项．eq\x(尖子生题库) ☆☆☆9.(10分)已知函数f(x)＝x－eq\f(1,x)，数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)判断数列{an}的增减性．解析：(1)∵f(x)＝x－eq\f(1,x)，f(an)＝－2n，∴an－eq\f(1,an)＝－2n，即aeq\o\al(2,n)＋2nan－1＝0，解得an＝－n±eq\r(n2＋1).∵an>0，∴an＝eq\r(n2＋1)－n.(2)eq\f(an＋1,an)＝eq\f(\r