高中数学苏教版第二章平面解析几何初步单元测试 一等奖

2．3空间直角坐标系2．空间直角坐标系及其应用或许你没有看过浩瀚无边的大海，但是你一定看过美国作家海明威的著名小说《老人与海》，其生动地描写了一位老人，在汹涌澎湃的海面上，孤身一人，与鲨鱼搏斗，最后战胜鲨鱼的过程，尽管老人只能拖回一副鱼骨头，但是他告诉我们“一个人可以被毁灭，但不能被打败”．这是强者的精神宣言．然而，你是否思考过：当船航行在茫茫无际的大海上时，四周只见水，不见物，那么，怎样知道船所在的位置呢？怎样知道船离目的地还有多远呢？1．如图，OABCD′A′B′C′是单位正方体．以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点；x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．2．如图，设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点P，Q和R.设点P，Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)．有序实数组(x，y，z)叫做点M的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标，原点O的坐标为(0，0，0)．3．若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A、B两点的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2)))．,一、空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系Oxyz.点O叫做坐标原点，x轴、y轴和z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．(2)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．(3)空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出点M在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，其相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．(4)xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x，y，0)的点构成的点集，其中x，y为任意的实数；xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x，0，z)的点构成的点集，其中x，z为任意的实数；yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y，z为任意的实数．(5)x轴是坐标形如(x，0，0)的点构成的点集，其中x为任意实数；y轴是坐标形如(0，y，0)的点构成的点集，其中y为任意实数；z轴是坐标形如(0，0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数．二、空间直角坐标系中与平面直角坐标中重要结论对照表[设P为(x，y，z)或(x，y)]空间直角坐标系中平面直角坐标系中P在坐标轴上在x轴上(x，0，0)(x，0)在y轴上(0，y，0)(0，y)在z轴上(0，0，z)P的对称点关于原点(－x，－y，－z)(－x，－y)关于x轴(x，－y，－z)(x，－y)关于y轴(－x，y，－z)(－x，y)关于z轴(－x，－y，z)eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)知识点一空间中点的位置的确定1．点A(0，－2，3)在空间直角坐标系的位置是在________平面上．解析：∵xA＝0，∴A在yOz平面上．答案：yOz2．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0，0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c)．其中正确叙述的序号是________．解析：根据空间直角坐标系中坐标轴及坐标面上点的特点知②③④正确．答案：②③④3．如右图所示，空间直角坐标系中OABCD′A′B′C′是棱长为2的正方体．其中，E，F，G，H分别为边AB，BB′，C′D′，AA′的中点，则坐标为(0，1，2)的点是________．解析：点的横坐标为0，∴点在平面yOz上，竖坐标为2.∴点在正方体的上底面上．又纵坐标为1，故点为D′C′的中点G.答案：G点知识点二空间中点的坐标的确定4．已知ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)、B(2，－5，1)、C(3，7，－5)，则点D的坐标为________．解析：连接AC、BD交于点P，则P为AC与BD的中点，由点A、C坐标求得中点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4，－1))，再由B(2，－5，1)求得点D的坐标为(5，13，－3)．答案：(5，13，－3)5．点M(－1，2，1)在x轴上的射影为M′，则M′关于原点的对称点是________．解析：M(－1，2，1)在x轴上的射影M′的坐标为(－1，0，0)，则M′关于原点的对称点为(1，0，0)．答案：(1，0，0)6．若x轴上一点A到z轴上一点B的距离为4，并且AB的中点到平面xOy的距离为1，则点A的坐标为________．解析：设A(a，0，0)、B(0，0，c)，则AB中点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，\f(c,2)))，∴eq\f(|c|,2)＝1.∴|c|＝2.又a2＋c2＝16.∴a2＝12，a＝±2eq\r(3).答案：(±2eq\r(3)，0，0)知识点三空间中点的对称7．点(1，1，1)关于z轴的对称点为________．解析：由对称知点(x，y，z)关于z轴的对称点为(－x，－y，z)．答案：(－1，－1，1)8．点P(3，4，5)关于yOz平面的对称点的坐标为________．解析：点(a，b，c)关于yOz平面的对称点为(－a，b，c)．答案：(－3，4，5)9．点M(2，－3，1)关于点P(1，1，1)的对称点是________．解析：点M(a，b，c)关于点P(1，1，1)的对称点是(2－a，2－b，2－c)．答案：(0，5，1)eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(级)综合点一求空间中点的坐标10．如右图，三棱锥OABC为一个正方体截下的一角，OA＝a，OB＝b，OC＝c，建立如图所示的坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．解析：∵A(a，0，0)、B(0，0，b)、C(0，c，0)，∴Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(c,3)，\f(b,3))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(c,3)，\f(b,3)))11．已知矩形ABCD中，AB＝eq\r(15)，AD＝eq\r(10)，将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得平面BCD⊥平面ABD.以D为原点，射线DB为y轴的正半轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy坐标平面内．试求A，C两点的坐标．解析：如下图，过点C作CF⊥BD于点F，过点A作AE⊥BD于点E，由面BCD⊥面ABD，得CF⊥面ABD，AE⊥面BCD.又在Rt△BCD中，BD＝eq\r(（\r(15)）2＋（\r(10)）2)＝5，∴DF＝eq\f(CD2,BD)＝3，CF＝eq\f(CD·BC,BD)＝eq\r(6).同理可得AE＝eq\r(6)，DE＝2，故A(eq\r(6)，2，0)、C(0，3，eq\r(6))．综合点二空间中的对称问题12．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出下面命题：①点P关于x轴的对称点的坐标是(x，－y，－z)；②点P关于平面yOz的对称点的坐标是(x，－y，－z)；③点P关于y轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；④点P关于原点的对称点的坐标是(－x，－y，－z)．其中正确命题的序号是________．解析：点P关于x轴、平面yOz、y轴、原点的对称点的坐标分别是(x，－y，－z)、(－x，y，z)、(－x，y，－z)、(－x，－y，－z)，故只有命题①④正确．答案：①④13．如图，已知一长