高中数学高考一轮复习一轮复习 第七节 二项分布正态分布及其应用

课时作业(六十一)二项分布、正态分布及其应用1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(P≥\f(15,16)))，则n的最小值为()A．4 B．5C．6 D．7A[由题意得P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)≥eq\f(15,16)，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,16)，所以n≥4，故n的最小值为4.]2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们同时中靶的概率是()A．eq\f(14,25) B．eq\f(12,25)C．eq\f(3,4) D．eq\f(3,5)A[因为甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P(甲)＝eq\f(4,5)，P(乙)＝eq\f(7,10)，所以他们都中靶的概率是eq\f(4,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(14,25).故选A．]3．(多选)(2023·山东模拟)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事件B与事件A1相互独立D．A1，A2，A3是两两互斥的事件BD[易知A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(B)＝P(B·A1)＋P(B·A2)＋P(B·A3)＝eq\f(5,10)×eq\f(5,11)＋eq\f(2,10)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22).故选BD.]4．(多选)(2023·济南二模)已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(100，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是()附：随机变量ξ服从正态分布N(u，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜u＋σ)＝，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝，P(u－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝A．该市学生数学成绩的期望为100B．该市学生数学成绩的标准差为100C．该市学生数学成绩及格率超过D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等AC[由题意，正态分布曲线的对称轴为x＝100，σ＝10.∴该市学生数学成绩的期望为100，故A正确；该市学生数学成绩的标准差为10，故B错误；P(90＜x＜110)＝，P(80＜x＜120)＝，∴P(x≥90)＝＋eq\f(1,2)×＝，故C正确；P(x＜90)＝P(x＞110)＝eq\f(1,2)[1－P(90＜x＜110)]＝，P(x＜120)＝＋eq\f(1,2)×＝，则P(x≥120)＝1－＝.∴该市学生数学成绩不及格的人数远大于优秀的人数，故D错误．故选AC.]5．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝，则P(－2≤ξ≤2)＝________．解析：因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．又P(ξ>2)＝，所以P(ξ<－2)＝.所以P(－2≤ξ≤2)＝1－2×＝.答案：6．某群体中每个成员使用移动支付的概率都为p，各个成员支付方式相互独立，设X为该群体的10名成员中使用移动支付的人数，D(X)＝，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝________，E(X)＝________．解析：由已知可得X～B(10，p)，则D(X)＝10p(1－p)＝，即25p2－25p＋6＝0，解得p＝eq\f(2,5)或eq\f(3,5)，又P(X＝4)＜P(X＝6)，即Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10))p4(1－p)6＜Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(10))p6(1－p)4，解得p＞eq\f(1,2)，所以p＝eq\f(3,5)，则E(X)＝10p＝10×eq\f(3,5)＝6.答案：eq\f(3,5)；67．为了促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设，2023年该市某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”，已知该同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立．根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入的概率为eq\f(1,24)，至少进入一个社团的概率为eq\f(3,8)，并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率．(1)求该同学分别通过选拔进入“电影社”的概率p1和进入“心理社”的概率p2；(2)学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“心理社”的同学增加个校本选修课学分，求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率．解析：(1)根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p1p2＝\f(1,24)，,1－（1－p1）（1－p2）＝\f(3,8)，,p1<p2))所以p1＝eq\f(1,6)，p2＝eq\f(1,4).(2)设该同学在社团方面获得校本选修课学分分数为ξ，则P(ξ＝1)＝(1－eq\f(1,4))×eq\f(1,6)＝eq\f(1,8)；P(ξ＝＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24).所以该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率为P＝eq\f(1,8)＋eq\f(1,24)＝eq\f(1,6).8．一次研究性学习有“整理数据”“撰写报告”两项任务，两项任务无先后顺序，每项任务的完成相互独立，互不影响．某班有甲、乙两个小组参加这次研究性学习．根据以往资料统计，甲小组完成研究性学习两项任务的概率都为eq\f(1,2)，乙小组完成研究性学习两项任务的概率都为q.若在一次研究性学习中，两个小组完成任务项数相等，而且两个小组完成的任务都不少于一项，则称该班为“和谐研究班”．(1)若q＝eq\f(2,3)，求在一次研究性学习中，已知甲小组完成两项任务的条件下，该班荣获“和谐研究班”的概率；(2)设在完成4次研究性学习中该班获得“和谐研究班”的次数为ξ，若ξ的数学期望E(ξ)≥1，求q的取值范围．解析：(1)设“甲小组完成两项任务”为事件A，“该班荣获‘和谐研究班’”为事件B，∴P(A)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，P(AB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9).∴P(B|A)＝eq\f(4,9).(2)该班在一次研究性学习中荣获“和谐研究班”的概率为P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×\f(1,2)×\f(1,2)))[Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))q(1－q)]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)))q2＝q－eq\f(3,4)q2.∵ξ～B(4，P)，∴E(ξ)＝4P.由E(ξ)≥1知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q－\f(3,4)q2))×4≥1，解得eq\f(1,3)≤q≤1.即q的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).9．(2023·武汉部分学校质量检测)同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数}．给出下列说法：①P(A)＝P(B)＝P(C)；②P(AB)＝P(AC)＝P(BC)；③P(ABC)＝eq\f(1,8)；④P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,8).其中正确的有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个D[由古典概型的概率计算公式，得P(A)＝P(B)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(8,4×4)＝eq\f(1,2)，所以P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2)，①正确；P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,8)，④正确；而事件A，B，C不可能同时发生，故P(ABC)＝0，所以③不正确；又P(AB)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)，P(AC)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)，P(BC)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)，所以P(AB)＝P(AC)＝P(BC)，②正确．故选D.]10．一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球．已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p，6p∈N，若有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于eq\f(8,27)，则n＝________．解析：由题设知，Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))p2(1－p)2>eq\f(8,27)，∵p(1－p)>0，∴不等式化为p(1－p)>eq\f(2,9)，解得eq\f(1,3)<p<eq\f(2,3)，故2<6p<4.又∵6p∈N，∴6p＝3，即p＝eq\f(1,2)，由eq\f(3,n)＝eq\f(1,2)，得n＝6.答案：611．某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为eq\f(1,2)，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元．(1)求系统G不需要维修的概率；(2)该电子产品共由3个系统G组成，设ξ为该电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望；(3)为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加2个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？解析：(1)系统G不需要维修的概率为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×(eq\f(1,2))2×eq\f(1,2)＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,2).(2)设X为维修的系统个数，则X～B(3，eq\f(1,2))，且ξ＝500X，P(X＝k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(3))·(eq\f(1,2))k·(eq\f(1,2))3－k，k＝0，1，2，3.所以ξ的分布列为ξ050010001500Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)所以ξ的期望为E(ξ)＝500×3×eq\f(1,2)＝750.(3)当系统G有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个正常工作，系统G才正常工作．若原来3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的2个电子元件必须都正常工作，则概率为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))×eq\f(1,2)×(eq\f(1,2))2×p2＝eq\f(3,8)p2；若原来3个电子元件中有2个正常工作，同时新增的2个电子元件至少有1个正常工作，则概率为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×(eq\f(1,2))2×eq\f(1,2)×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×p×(1－p)＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×(eq\f(1,2))2×eq\f(1,2)×p2＝eq\f(3,8)(2p－p2)；若原来3个电子元件都正常工作，则不管新增2个电子元件能否正常工作，系统G均能正常工作，则概率为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,8).所以新增2个电子元件后系统G能正常工作的概率为eq\f(3,8)p2＋eq\f(3,8)(2p－p2)＋eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)p＋eq\f(1,8).于是由eq\f(3,4)p＋eq\f(1,8)－eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)(2p－1)知，当2p－1>0，即eq\f(1,2)<p<1时，可以提高整个系统G的正常工作概率．12．(2023·武汉部分学校质量检测)武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片．为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为eq\f(1,2)，游客之间选择意愿相互独立．(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列；(2)(ⅰ)若从游客中随机抽取m人，记总得分恰为m的概率为Am，求数列{Am}的前10项和；(ⅱ)在对所有游客进行随机问卷调查过程中．记已调查过的累计得分恰为n的概率为Bn，探讨Bn与Bn－1之间的关系，并求数列{Bn}的通项公式．解析：(1)X的可能取值为3，4，5，6，P(X＝3)＝(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,8)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))(e