高中数学人教A版第一章三角函数 课时作业(九)

课时作业(九)正弦函数、余弦函数的性质(一)A组基础巩固\a\vs4\al(2023·浙江杭州市高一期末)函数f(x)＝x＋sinx，x∈R()A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数解析：f(x)的定义域为R，关于原点对称．又∵f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－x－sinx＝－(x＋sinx)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，但不是偶函数，故选A.答案：A\a\vs4\al(2023·贵州贵阳市高一期末)函数y＝sin2x是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为eq\f(π,2)的偶函数D．周期为eq\f(π,2)的奇函数解析：显然函数y＝sin2x是奇函数，其最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π，故选A.答案：A\a\vs4\al(2023·福建三明市高一月考)设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为eq\f(π,2)的奇函数D．最小正周期为eq\f(π,2)的偶函数解析：因为函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝－cos2x，所以f(x)是最小正周期为π的偶函数，故选B.答案：B4．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数解析：因为：y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝2cos2x，所以函数是偶函数，周期为π.故选B.答案：B5．下列函数中，不是周期函数的是()A．y＝|cosx|B．y＝cos|x|C．y＝|sinx|D．y＝sin|x|解析：画出y＝sin|x|的图象(图略)，易知选D.答案：D6．函数y＝cos(sinx)的最小正周期是()\f(π,2)B．πC．2πD．4π解析：cos[sin(x＋π)]＝cos(－sinx)＝cos(sinx)，∴T＝π，故选B.答案：B\a\vs4\al(2023·四川绵阳市高一期末)已知定义在R上的奇函数f(x)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sinx，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))的值为()A．－eq\f(1,2)\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)\f(\r(3),2)解析：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(2π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，故选C.答案：C8．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))的最小正周期是eq\f(2π,3)，则ω＝__________.解析：eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,3)，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.答案：±39．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是__________．解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，∵f(－x)＝f(x)，∴x＜0时，f(x)＝－sinx.∴f(x)＝sin|x|，x∈R.答案：f(x)＝sin|x|10．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝1－sinx，求当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π，3π))时，f(x)的解析式．解析：x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π，3π))时，3π－x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝1－sinx，∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又∵f(x)是以π为周期的偶函数，∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π，3π)).B组能力提升11．函数y＝－xcosx的部分图象是()=ABCD解析：∵y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，∴排除A、C项；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，y＝－xcosx＜0，排除B，故选D.答案：D12．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为eq\f(3π,2)，且满足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx，－\f(π,2)≤x＜0，,sinx，0≤x＜π，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝________.解析：∵T＝eq\f(3π,2)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,4)π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,4)π＋\f(3,2)π×3))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π))＝sineq\f(3,4)π＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)13．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，试求φ为何值时：(1)f(x)是奇函数？(2)f(x)是偶函数？解析：(1)∵f(x)的定义域为R，∴当f(x)为奇函数时必有f(0)＝0.即sinφ＝0，∴φ＝kπ(k∈Z)．即当φ＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝sin(2x＋φ)是奇函数．(2)∵偶函数的图象关于y轴对称，且正、余弦函数在对称轴处取最值，∴要使f(x)为偶函数，需有f(0)＝±1，即sinφ＝±1.∴φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．即当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数．14．已知f(x)＝sinax(a＞0)的最小正周期为12.(1)求a的值；(2)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)．解析：(1)由eq\f(2π,a)＝12，得a＝eq\f(π,6).(2)∵f(x)＝sineq\f(π,6)x的最小正周期为12.且f(1)＋f(2)＋…＋f(12)＝0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝f(2005)＋f(2006)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝－[f(9)＋f(10)＋f(11)＋f(12)]＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,2)＋sin\f(5π,3)＋sin\f(11π,6)＋sin2π))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(\r(3),2)－\f(1,2)＋0))＝eq\f(3＋\r(3),2).\a\vs4\al(附加题·选做)设有函数f(x)＝asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx－\f(π,3)))和函数g(x)＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kx－\f(π,6)))(a＞0，b＞0，k＞0)，若它们的最小正周期之和为eq\f(3π,2)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－eq\r(3)geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))－1，求这两个函数的解析式．解析：∵f(x)和g(x)的最小正周期和为eq\f(3π,2)，∴eq\f(2π,k)＋eq\f(2π,2k)＝eq\f(3π,2)，解得k＝2.∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，∴asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,2)－\f(π,3)))＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(π,2)－\f(π,6)))，即a·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝b·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6))).∴eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),2)b，即a＝b.①又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－eq\r(3)geq\b\lc