量子力学：00-课程总结

量子力学总结能量量子化，波粒二象性，波函数及其物理意义，波函数的归一化及其物理意义，力学量的平均值，算符，定态，量子态叠加原理，宇称，束缚态，一维谐振子的能量本征值，隧穿效应，算符对易式，厄密算符平均值的性质，量子力学关于算符的基本假设，算符的本征方程、本征值与本征函数，不确定度关系的严格表达，两个算符有共同本征态的条件，力学量完全集，力学量完全集共同本征态的性质，守恒量，狄啦克符号，内积及其表示形式，投影算符算符及其性质，向左作用角动量平方和角动量z分量的共同本征函数，中心力场粒子运动特点，氢原子的能量本征值与能级简并度，正常Zeeman效应，电子自旋，关于电子自旋的Stern-Gerlach实验，碱金属原子光谱双线结构，量子跃迁与选择定则，禁戒跃迁，微扰论的思想，突发微扰与绝热微扰，能量与时间不确定度，能级宽度与谱线宽度，半经典理论，吸收，受激辐射，自发辐射4量子力学习题课（一）总结和例题

5总结

在量子力学中，描述系统状态的物理量：波函数，体现粒子所具有的波粒二象性。波函数的统计诠释：

表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。6薛定谔方程若不显含，则其中，满足的方程称为能量本征方程，称为能量本征函数，称为能量本征值7能量本征方程也称为定态薛定谔方程，对应薛定谔方程中在不显含t时的形式，是我们后面讨论大多数问题的理论基础。也称为定态波函数，通常将略去中的下标E，这样能量本征方程为8一维能量本征值问题能量本征方程、隧穿效应定态及其性质、非定态束缚态、离散谱简并、宇称正交、归一、完备态一维势场中粒子能量本征态的一般性质9解题的思路1、根据题目要求写出哈密顿算符，具体说就是写出势能项：。2、求解方程。注意：多利用物理条件来求解。3、对解的讨论。10例题例一、试求在不对称势阱中束缚态粒子的能级。

11（1）写出不同区域的方程

II：

Ⅰ：

III:12（2）求出不同区域的解

II：

Ⅰ：

III:为什么不是为什么不是13（3）利用波函数的连续性条件获得能级方程x=0处连续条件:

x=a处连续条件:14（3）利用波函数的连续性条件获得能级方程

15（3）利用波函数的连续性条件获得能级方程

根据齐次线性方程组的有解条件：16能级方程：MathCAD+Origin8.5或数值计算求解（如迭代法、二分法等）第一题试计算受到力作用的一个粒子的波函数和能量允许值。

提示：势能第二题设粒子在周期势场中运动，其中，，如图所示，求粒子能量所满足的方程第二题提示分两种情况讨论：先证明粒子的位置几率密度也是周期性的，即：20第三题粒子做一维运动，定态波函数为，证明:(1)

(2)提示：首先证明第一题解答首先计算势能

作为势能零点，得到新的势能表达式第一题解答体系的哈密顿算符写为：定态薛定谔方程写为：第一题解答化简为：线形谐振子的定态薛定谔方程为：对比两个方程可得到上面方程的解为：第一题解答能量为：第二题解答首先证明几率密度也是周期性的，由定态薛定谔方程作变换，：（1）（2）比较（1）和（2），可知和描述的是粒子的同一运动状态

于是可令：式中：c是常数因子。取（1）（2）1、区间-b<x<a内：其中：在下一周期a<x<a+d中（d=a+b），根据前面的证明，有：由在x=0和x=a处的连续条件可得

为的齐次线性方程组。根据非零解条件有：分开实部及虚部得到：由以上二式可得到：即时粒子能量所满足的方程2、令即时能量满足的方程模拟了晶体结构

由于固体中的原子是周期性排列，形成一定的晶格点阵，价电子为整个晶体所共有。公有化的电子在所有格点上的离子和其他电子所产生的周期性势场中运动。能量取分段连续值，为能带结构：

能带能级能带理论解释了固体为什么有导体、半导体和绝缘体之分

34第三题粒子做一维运动，定态波函数为，证明:(1)

(2)提示：首先证明第三题解答证明:(1)第三题解答证明:(2),已证37量子力学习题课（二）总结和例题38总结(一)为了在坐标表象中计算动量的平均值引入了动量算符从而，动量平均值可以表示为39总结(二)

在坐标表象中，力学量具体形式如何写出？经典力学量子力学动能动能算符角动量角动量算符哈密顿量哈密顿算符40总结(三)坐标表象中，力学量在某个确定的态下平均值计算公式：厄米算符：或体系的任何状态下，其厄米算符的平均值都是实数。41总结(四)中心力场：42总结(五)由于相互对易，它们拥有共同本征函数：其中径向波函数满足方程：根据不同的可以获得不同情况下（无限深球方势阱，三维各向同性谐振子，氢原子）的能量本征值和径向波函数。43例题设粒子在无限长的圆筒中的运动，筒半径为，求粒子的能量。

解：柱坐标下的薛定谔方程：

分离变量法，代入方程得到：

44径向方程是一个柱贝塞尔方程：

方程的通解：

45具有一系列的零点：

第一题设，求粒子能量本征值。

提示：写出径向方程。第二题一个质量为的非相对论粒子在一势场中运动，势为其中，是任意的。求能量本征值。提示：，然后写出关于新变量算符的形式，求解能量本征方程。第一题解答首先取守恒量完全集，共同本征函数为：

满足的径向方程：令：第一题解答方程化为：

能量本征值：

第二题解答令：逆关系哈密顿量：带入势能有：

关键写出，就是写出关于新变量算符的形式第二题解答第二题解答同理：关于新变量的能量本征方程为：分离变量法：第二题解答得到关于的三个本征方程：能量本征值54量子力学习题课（三）总结和例题55总结(一)中心力场：56总结(二)由于相互对易，它们拥有共同本征函数：其中径向波函数满足方程：根据不同的可以获得不同情况下（无限深球方势阱，三维各向同性谐振子，氢原子）的能量本征值和径向波函数。57总结(三)设代表一组力学量完全集，即是的共同本征函数，一般代表一组量子数。设代表一组力学量完全集，即是的共同本征函数，一般代表一组量子数。设是体系的一个量子态，根据态叠加原理，有：同时称(1)和(2)式分别为态在和表象中的展开式。表象变换：58总结(四)所谓表象，就是量子态的具体表示方式。称和为态在和表象中的表示因为所以和必定有一定的关系，这种变换关系即为表象变换。59总结(五)任一量子态在表象中的表示可以通过矩阵变换成表象中的表示

其中：，即可证明：即变换矩阵是幺正矩阵。称上述变换为幺正变换60总结(六)设为某一力学量的算符，量子态经过运算后变成另一量子态，即，设在表象的基矢为

，将和用展开，有，其中列向量和分别为和在表象中的表示。其中：为在表象中的表示。61总结(七)为在表象中的表示。矩阵

就是在表象中的矩阵表示。在表象中，同样有：矩阵

就是在表象中的矩阵表示。62总结(八)对量子态和算符，在表象(基矢)中，有对量子态和算符，在表象(基矢)中，有已知和可以通过幺正变换相联系，即幺正矩阵可证明，矩阵和可以通过幺正矩阵相似变换相联系：63总结(九)：右矢，代表量子态：左矢，代表量子态的共轭态即是的共轭态矢。若是力学量完全集的共同本征态，则，如球谐函数是的共同本征函数，称为本征矢的封闭性。狄拉克符号：64总结(十)自旋：1921－1922年间史特恩－盖拉赫实验氢、银或钠电子炉（只有一个价电子）65总结(十一)66总结(十二)在电子自旋假设的基础上发展起来的量子理论，不仅可以解释史特恩－盖拉赫实验，而且可以解释碱金属原子光谱的双线结构和反常塞曼效应等，终为人们所接受。它揭示出电子具有自旋这种内禀属性，是一种量子效应，没有经典对应。就是说，电子的自旋是量子概念，不能同宏观粒子的自旋机械运动简单对应。67总结(十三)68总结(十四)69总结(十五)70总结(十六)71总结(十七)矩阵表示：72第一题

化简