(修改2015)第六讲：有限与无限

第六讲有限与无限的问题我们有时停留在认识“有限”，对“无限”的认识还不足教学内容：第三节有限与无限的问题教学目标：1.了解“初等数学”中的“有限”和“高等数学”中的“无限”。2.进一步认识“有限”与“无限”，体会“有限”与“无限”的本质区别和联系3.能从“有限与无限”的数学角度分析有关的问题1.有理数是可数的：有理数集合可以和正整数集合建立一一对应2.认识无限认识无限让学生体会自然数是数不完的；循环小数的小数位数有无限多个一般总认为：1.“部分小于整体”；“部分不可能等于整体”。2.自然数中偶数个数比自然数少，奇数也一样。3.三角形中位线是底边的一部分，比底边少。一、创设情境：

有无限个房间的旅馆客满了，还要再安排新来的客人住下1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人13

“有无限个房间”的旅馆

1.“客满”后又来1位客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2345┅k+1┅

空出了1号房间

14

2.客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2468┅2k┅

空下了奇数号房间

另解：将原来住着的旅客视为1个团，新来1个团，共有1+1个团的客人重新安排住宿。可以2个2个房间分段，每一段房间恰好住2个客人，就能将2个团的客人都安排好住宿。每个团的客人编号：1234…K…房间编号分段：1,2；3,4；…；K,K+1；…16

3.客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人原来的客人编号：

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅原来的客人现住房间编号：

10001200023000340004┅10001×k┅

腾出了一万个、又一万个的空房间

另解：将原来住着的旅客视为1个团，新来1万个团，共有10000+1个团的客人重新安排住宿。可以10001个10001个房间分段，每一段房间恰好住10001个客人，就能将10001个团的客人都安排好住宿。每个团的客人编号：1234…K…房间编号分段：1-10001；10002-20002；…；1+10001×（K-1）至,10001K；…每个团的1号客人住第一段；2号客人住第二段，…，k号客人住第K段，…，就可以重新安排好住宿。18

4.[思考题]

该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？19

答：能。法I.将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进入1，2，3，4，5，…各号房间顺序入住，则所有人都有房间住。一团：1.1→1.21.31.4……↙↙↙

二团：2.12.22.32.4……↙↙

三团：3.13.23.33.4……

……20思考题解答21

法II.

让每个旅游团占据某固定素数的方幂由于素数有无穷多个，正整数又“唯一析因”，知，能安排住下，且还有空房，一团……

二团……

三团……

…………

附：证明“素数有无穷多个”（反证法）22

[思]

该旅馆第一天恰有一个客人，第二天这个客人离开，又来了两位客人，以后每天都有一位客人离开，又来了两位客人，无穷多天之后，旅店老板发现旅店里一个客人都没有了，这种情况可能发生吗？23

答：可能发生。将所有客人按1，2，3，4，5，…的次序编号，先到的客人编号在前。如果编号在前的客人先离开，则第n号客人在第n+1天离开，于是无穷多天之后旅店里就没有客人了。1,2,3,4,5，…，n,n+1,…24

[思]构造一个无穷多个运动员百米赛跑，但结果没有第一名的例子。（要求表达出每一个运动员的百米成绩，且要求接近实际：不能跑进9秒）25解答运动员1234…百米成绩10秒9.9秒9.89秒9.889秒…另解…26

[思]：构造一个“部分到整体的一一对应”：从[0，1）→[0，+∞）。27

答：

即

28

的图像（一）（二）（三）思考：黄金矩形也有类似情形吗？四、47

（四）无限与有限的区别和联系

1.区别

1）在无限集中，“部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下，部分总是小于全体。48

当初的伽利略悖论，就是因为没有看到

“无限”的这一个特点而产生的。

1234567891011…n…↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕149162536496481100121…n2…

[该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。]49伽利略（GalileoGalilei，1564-1642），意大利物理学家、天文学家和哲学家，近代实验科学的先驱者。

50

2.）

“有限”时成立的许多命题，对“无限”不再成立

（1）实数加法的结合律在“有限”的情况下，加法结合律成立:

(a+b)+c=a+(b+c)，a，b，c

51

在“无限”的情况下，加法结合律不再成立。如52

有限半群若满足消去律则一定是群。√无限半群若满足消去律则一定是群。×53

（2）有限级数一定有“和”。√

是个确定的数无穷级数一定有“和”。×

则不是个确定的数。称为该级数“发散”。反之称为“收敛”。54

有限多个无穷小量的乘积一定还是无穷小量。(所以，高等数学中学习“无穷小量”性质时应注意“有限个”的条件）无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小量（甚至可以是无穷大量）。55

2.联系

在“有限”与“无限”间建立联系的手段，往往很重要。

1）数学归纳法

通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。

2）极限

通过有限的方法，描写无限的过程。

如：；自然数N，都，使时，。

56

3）无穷级数

通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如

4）递推公式,a1=*5）因子链条件（抽象代数中的术语）

57

3.数学中的无限在生活中的反映

1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的（整体看又是圆的）(大家的经验：公园中通幽的“曲径”是“条石”修成的；圆形的石拱桥；家中弧形的拱形装饰）

2）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下去都是直的（许多刀合在一起的效果又是光滑的）（微积分中有“局部以直代曲”微分思想）以下几个近似计算公式就是在“局部以直代曲”微分思想下所得的结果当很小时，有：59

3）

不规则图形的面积：大家都会求：正方形的面积，长方形的面积，三角形的面积，多边形的面积，圆面积。但是，怎样求不规则图形的面积？法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。通过数方格数计算出面积的近似值。方格越小，所得面积越准。当方格无穷小时，不足近似值就会转化为准确值了！（小学数学中让小学生数方格，不足一格当半个）

北师大小学数学五年级上册P2361法Ⅱ.（高等数学中的方法：分割、求和、取极限——定积分）首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则图形→若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形的面积：划分，求和，矩形面积之和~

曲边梯形面积；越小，就越精确；再取极限，就得到曲边梯形的面积。=621.什么是悖论

悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。

二、芝诺悖论（认识无限）63

例1“甲是乙”与“甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的；这是正确的前提。例2.“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”这两个命题，数一数它们的字数，这是正确的推理，又均是对的，这就是悖论。64

例3.“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整数的比”；但以1为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论。（因为.“万物皆数”学说时，还没有“无理数”，当然也没有“有理数”概念，只是任何数都可表为整数的比）652.芝诺悖论

芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。

1）四个芝诺悖论之一：阿基里斯追不上乌龟。

A1A2A3A4…Ana2a1a4a3无限多个数的和与有限个数的和的问题只要速度不等，就会….672）症结：无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。例：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，每天取得的产度构成无穷递缩等比数列{an}

½,1/4,1/8,1/16,1/32,…其和：½+1/4+1/8+1/16+1/32+…=1

3）芝诺悖论的意义：

a.促进了严格、求证数学的发展b.较早的“反证法”及“无限”的思想(关于“反证法”，我们在前面已经经历过几次了，如“猜帽子的颜色”；证明“病狗的条数”等，这是重要的数学推理证明方法）

c.尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？68

芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。69

三、潜无限与实无限

1．潜无限与实无限简史

潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不是一个实体。70

从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持这种潜无限的观点。他们认为“正整数集是无限的”来自我们不能穷举所有正整数。例如，可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从1，2，3，…写起，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它只能存在于人们的思维里。称为“潜无限”。大数学家高斯也持“潜无限”的观点思考：如果是这样，那么极限怎样得到？71

但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体。这就是实无限的观点。

康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔，却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境和待遇都不太好。

72康托GeorgFerdinandPhilipCantor(1845～1918)德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。

73

2．无限集合也有“大小”

——从“一一对应”说起

实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能有不同的“大小”。正整数集合是最“小”的无限集合。实数集合比正整数集“大”。实数集合上全体连续函数的集合又比实数集合更大。不存在最“大”的无限集合（即对于任何无限集合，都能找到更“大”的无限集合）。74

这需要“一一对应”的观点。

1）“一一对应”——双射（单射+满射）

2）集合的势|A|——集合中元素的多少

3）|N|=可数无穷势a

，|Q|=a4）|R|=不可数无穷（称连续统势c）,

：无理数比有理数多得多。75

5）无穷集合可能有不同的势，其中最小的势是a；不存在最大的势。

6）“连续统假设”长期未彻底解决“连续统假设”：可数无穷a是无限集中最小的势，连续统势c是（否？）次小的势。

？76

康托1882年曾认为他证明了这一假设，后来发现证明有错。

1900年希尔伯特提出的23个问题里，连续统假设是第一个问题。1938年哥德尔证明了连续统假设对ZF公理集合论是相容的，1963年科恩证明了连续统假设对ZF公理集合论是独立的。这样，在ZF公理集合论中，既不能证明也不能否定连续统假设。直到现在，这一问题仍吸引着一些数学家的兴趣。77

四、哲学中的无限

1．哲学对“无限”的兴趣

哲学是研究整个世界的科学。自从提出“无限”的概念，就引起了哲学家广泛的关注和研究。现在我们知道哲学中有下边一些命题：

78

物质是无限的；时间与空间是无限的；物质的运动形式是无限的。一个人的生命是有限的；一个人对客观世界的认识是有限的。79

2．数学对“无限”的兴趣

数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样，数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。本讲思考题1.你现在怎样从数学的角度看“部分”与“整体”的关系？你相信“部分可以等于整体”吗？如果相信，请举1个例子。2.你现在怎样从数学的角度看“直”与“曲”？请举1个“局部以直代曲”的例子思考与讨论：1.部分总是小于整体。2.无限比有限大，无限比有限多，无限包含有限，无限由有限组成。2.9999+2=10001.3.平面内两直线平行或相交只要看交点个数。4.怎样用有限表示无限？用有限处理无限的问题？5.数列极限是有限运算还是无限运算？思考、讨论一、判断1.部分可以等于整体.（）2.无限是有限的基础。（）3.有限由无限构成。（）4.无限由有限组成。（）5.无限是有限的延伸。（）二、简答1.“客满”的无限个房间的旅馆怎样安排新来的有无限个人的一个旅游团？2.举一个例子说明怎样用“有限”处理“无限”。1.部分可以等于整体在有限集里，部分小于整体。在无限集里，部分可以等于整体。这里的“等于”指“一一对应”。例如，“偶数”与“自然数”一样多；三角形中位线与底边的点集一样多。“客满”的旅馆中原有客人可以搬到奇数号房间而腾出偶数号房间。2.无限是有限的基础自然数加法总能施行的前提是自然数集是无限集。看一组平面直线是平行还是相交的前提是直线能沿着两端无限延伸。投掷一枚硬币，正面向上的可能性是1/2，前提是试验可以重复无限多次。3.有限由无限构成线段是无限多点构成的；没有大小的点却构成了有长短的线段！有限区间（0,1）由无穷多个实数构成；有限的一个黄金矩形中可以作出无限多个黄金矩形，有限的正五边形中可以作出无限多个正五边形！4.无限由有限组成对于每一个自然数是有限的，却组成了无限的自然数集！5.用“有限”处理“无限”偶数是无限的，写不完的，但是，用有限的2n就表示了全体偶数；X∈R，这里用有限的x表示了无限的实数；无限区间上的反常积分是典型的用有限处理无限的例子，因此，用有限处理无限也是一种数学思想方法。极限就是有限处理无限的方法。本讲结束，谢谢！90

抓三堆：

有三堆谷粒（例如100粒、200粒、300粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？91提示：