理论力学第十三章

第13章动能定理※力的功※

质点动能定理※

质点系和刚体的动能※

势力场·势能·机械能守恒定律※

功率·功率方程·机械效率※

动力学普遍定理的综合应用※

结论与讨论※

质点系动能定理※引言Mf2Mf1F1F2FN2FN1FrmaC=F1-F2-FrCW从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力F1－汽车行驶的驱动力F1>F2＋Fr汽车向前行驶

从汽车的驱动问题看动量方法与能量方法

从汽车的驱动问题看动量方法与能量方法如果发动机的功率很小而摩擦力很大如果发动机的功率很大而摩擦力很小将会怎样？如何评价发动机功率对驱动汽车行驶的作用？§13.1力的功1.常力的功FMM1M2S功是代数量，其国际单位制为

J（焦耳）。定义：力与力的作用点在力的方向上位移的点乘。——功反映力关于一段路程的累积效应量或2.变力的功——力的元功——力的元功的解析表达式——力的功的解析表达式OxzyMrFM1M2a.重力的功——重力作功与路径无关，仅与起始位置有关。3.几种常见力的功z1z2hM2OxzymgMM1利用xOb.弹性力的功l0xM1M2式中，d1、d2

为始末状态弹簧的伸缩量。

——l0为弹簧的原长M1l0＋δ1M2

当弹性力的作用点作曲线运动时，上述公式同样成立。

弹性力作功的特点：与重力作功类似，与路径无关，仅与起止位置状态有关。c.作用在定轴转动刚体上力的功

当转过有限角度j

时，力F的全功当Mz

为常量时，则§13.2质点和质点系动能定理1.质点的动能

动能和动量都是表征机械运动的量,前者与质点速度的平方成正比,是一个标量;后者与质点速度的一次方成正比,是一个矢量,它们是机械运动的两种度量。动能与功的量纲相同,也为J

。2.质点系的动能是质点系内所有质点在同一瞬时的动能的代数和

刚体的动能对于平动刚体，有——平动刚体的动能等同于质量为其总质量的质点的动能(1)平动刚体的动能(2).定轴转动刚体的动能uirimiyxz定轴转动刚体上任一点得速度为：代入质点系动能的计算式，有Jz——定轴转动刚体的动能等于其绕转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。(3)平面运动刚体的动能刚体的平面运动可以视为刚体在该瞬时绕速度瞬心P作瞬时的转动，角速度为w，则有PCMi由转动惯量的平行轴定理，有

平面运动刚体的动能等于绕质心轴转动的动能与以质心速度平动动能之和。——称为柯尼西定理注意:（1）平面运动刚体动能由两部分组成。（2）式中速度均为绝对速度。

求质量为m，半径为R的均质圆柱在下面三种情况下物体的动能。例题1Cu(a)Cw(b)平动绕定轴C作定轴转动刚体作平面运动CuCw(c)P或对于(c)而言，P为瞬心§13.3动能定理1.质点的动能定理

质点动能的积分形式：质点动能的改变等于作用于质点的全部力在这一过程中所做功的代数和。

已知：质量为m的物体自由落下，落到有弹簧支持的板上，如图所示。假设板和弹簧的质量都忽略不计，弹簧的刚度系数为k。求弹簧的最大压缩量。例题2mⅠⅡⅢhsmax求得

解：物体从位置Ⅰ落到板上时是自由落体运动，速度由0增到v1，动能由0变为。在这段过程中，重力作的功为mgh应用动能定理得mⅠⅡⅢhsmax应用动能定理得求得由于弹簧的压缩量必定是正值，因此答案取正号，即

物体继续向下运动，弹簧被压缩，物体速度逐渐减小。当速度等于零时，弹簧被压缩到最大值smax

。

这段过程中重力作的功为mg

smax

，弹簧力作的功为解得的结果与前面所得相同。mⅠⅡⅢhsmax

另外，也可把上两段合在一起考虑，即对质点从开始下落至弹簧压缩到最大值的过程应用动能定理。

在这一过程的始末位置质点的动能都等于零。在这一过程中，重力作的功为mg(h+smax)，弹簧力作的功同上，于是有lm30°k

已知：摩擦阻力为车重的0.2倍，满载时车重为G，空车重G0，要使卸载后小车能回到原位。求：G/G0=？

例题3解：取车为研究对象，设弹簧的最大变形为dm(1)车下滑到弹簧压缩至最大(2)车卸料后又弹回原位置，由动能定理得由动能定理得解得：lm30°k

已知：摩擦阻力为车重的0.2倍，满载时车重为G，空车重G0，要使卸载后小车能回到原位。求：G/G0=？

例题3另解：取车为研究对象，设弹簧的最大变形为dm。由于弹簧压缩与伸长作功相同，故可以用一个过程来处理。由动能定理得解得：由质点的动能定理的微分形式有对于每个质点都可以列出上述的方程，将这n个方程相加，得质点系动能因此，有——微分形式的质点系动能定理

质点系动能的微分形式：质点系动能增量，等于作用质点系全部力所作的元功之和。2.质点系动能定理上式积分，得

质点系动能的积分形式：质点系动能的改变等于作用于质点系的全部力在这一过程中所做功的代数和。

已知：长为l，质量为m的均质杆OA，初始在水平位置无初速度释放。例题4求：杆转到任意位置时的角速度和角加速度。OA解法一：铰链的约束反力不做功，只有重力做功。由质点动能定理，有其中为求杆的角加速度，可以将(*)式对时间求导数，得故OA解法二：

本题也可以用刚体绕定轴转动的微分方程求杆OA的角加速度，再积分求角速度。即其中故因为故

已知：长为l，质量为m的均质杆OA，初始在水平位置无初速度释放。例题5求：杆转到任意位置时的角速度和角加速度。OPmgu例题6均质圆轮半径为R、质量为m。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知物体质量为m。初始时系统静止。求：重物下落的加速度ws解：取系统为研究对象主动力的功：由动能定理得：将上式对时间求导数，并注意解得：ABCOllABOll练习求图示质量2m均质杆的动能和动量矩(对O轴或是瞬时轴)。OuABAB＝2l例题7

已知：质量为m

，半径为R的均质圆柱，在斜面上无滑动的滚下。

求：质心C的加速度。jCFNmguCF解：取系统为研究对象，系统的动能为s力的功：由动能定理得：解得：上式对时间求导数，因为例题8

质量为m，长为l的均质杆AB，开始时在竖直位置，受到微小扰动后开始沿着光滑面滑动。求：杆的角速度和角加速度。BACjPmguC解：取杆为研究对象主动力的功：由动能定理得：解得：解得：将方程对时间求导，并注意到ABBAO例题9

已知：两均质杆质量均为m

，长度均为l，轮B的大小不计质量为m

。初始时杆OA静止在水平位置，杆AB贴靠在光滑墙壁上。(滑轮限制在墙壁上运动)求：当OA转到铅垂位置时，轮B的速度。解：取系统为研究对象uBuAAB由运动学可知，AB杆速度瞬心在A点主动力的功：由动能定理得：解得：例题10

已知：均质轮O质量为m，轮心O处作用力F，轮与点面的摩擦系数为f

。求：轮心O移动距离s时轮的角速度、角加速度。OACBFR解：取轮O为研究对象OCBFRFsFTFNmg力的功：由动能定理得：由动能定理得：解得：将上式对时间求一阶导数，有OACBFROCBFRFsFTFNmg例题11

均质杆质量为m，长度l＝3R与半径为R、质量为m的均质圆轮边缘焊接。初瞬时系统静止，求在刚释放瞬时AB的角加速度，以及A处约束反力。解：取系统为研究对象力的功由动能定理得：将上式对时间求导，并注意当j＝0时，有由质心运动定理，有另解：取系统为研究对象圆盘焊接在B点。由刚体绕定轴转动的微分方程，有所以由质心运动定理，有例

均质杆质量为m，长度l＝4R与半径为R、质量为m的均质圆轮中心铰接。初瞬时系统静止，求在刚释放瞬时杆AB、轮B的角加速度，以及A处约束反力。解：取系统为研究对象，系统刚释放瞬时，角速度均为零。由于轮B外力都通过质心B，所以轮B的角加速度aB＝0。§13.4功率·功率方程·机械效率1.功率力的功率－力所作之功对时间的变化率力的功率等于切向力与其作用点速度的标积。

作用在转动刚体上的力矩或力偶矩的功率等于力矩或力偶矩与刚体转动角速度的标积。2.功率方程质点系动能定理的微分形式等式两边同除以dt

质点系动能对时间的一阶导数等于作用在系统上所有有功力的功率之代数和。——

功率方程——输入功率——有用功率，输出功率——无用功率，损耗功率2.机械效率——系统的总效率例题12

车床电动机的功率P输入＝5.4kW

。传动零件之间的磨擦损耗功率为输入功率的30％。工件的直径d＝100mm。

求：转速n=42r/min和

n=112r/min的允许最大切削力。解：车床正常工作时，工件匀速旋转，动能无变化其中切削力F与工件在切削力作用点的速度u

同向当

n=42r/min

时当

n=112r/min

时1.势力场

如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为——力场。如果物体在某力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为——势力场（保守力场）。2.势能

在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能，以V表示为a.重力场中的势能b.弹性力场中的势能取M0为零势能点，则点M的势能为：取弹簧自然位置为零势能点，则有：3.机械能守恒定律●保守系统

—仅在有势力作用下的系统。●

机械能

—系统所具有的动能与势能的总称。●机械能守恒

—系统仅在有势力作用下运动时，其机械能保持恒定。动力学普遍定理动量定理动量矩动量动能定理动量方法能量方法§13.5动力学普遍定理的综合应用

动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。在解题时，首先应该分析未知量的数目与独立方程和运动方程数，有时只用一个定理时会出现未知数多于方程数目的情况，这时就应该考虑几种方法的联合使用。

绳的一端系小球，另端固定，如图所示。设球以初速uA=3m/s从位置OA摆下，当摆到铅直位置时，绳受到固定在O1点的钉子限制，开始绕此点摆动。已知l=1m,h=0.7m,q=60°,不计绳的质量，假设绳碰撞时无能量损失。（1）求小球到达点C时的速度uC。（2）设球的质量为m=0.5kg。求当绳碰到O1点的钉子前、后，且仍在铅直位置时，绳中的拉力TB

和。例题13hCBAl运动演示解:(1)由于在碰撞时不计能量的损失，所以由A到B到C整个过程机械能守恒。B点所在的平面为零势能平面(2)绳在碰撞前后的拉力hCBAlhCBAlmg在碰撞前，由牛顿第二定律由于碰撞没有能量损失即圆的半径在碰撞后，由牛顿第二定律约为TB

的2.53倍。hCAlmgB例题14

均质细杆的质量为m，长度为l，下端B靠在光滑的墙角上。假设系统在AB铅直位置静止释放，如图所示。试求B端脱离时的角速度；B处的约束反力；以及脱离时得角度q值。解:(1)动能定理，有力作功动能定理

由于B紧靠在墙角，所以B点得加速度为零，则以B点为基点考虑C点的加速度为(2)由质心运动定理，有(2)脱离时，FBx=0，由上式，有此时角速度，为结论与讨论★

关于动量和动能的再讨论★

正确计算刚体平面运动时的动能★

速度(角速度)分析与动能计算★

关于三个动力学定理的综合应用★

关于动能定理与机械能守恒关于汽车驱动问题的结论

发动机给出的主动力偶克服阻力和阻力偶作功使汽车的动能增加；

与汽车行驶方向相同的摩擦力克服方向相反的摩擦力与空气的阻力使汽车的动量增加。

如果路面很滑，摩擦力很小，发动机功率再大汽车也只能打滑，而不能向前行驶；反之，如果路面很粗糙，摩擦力可以很大，而发动机不能发出足够大的功率，汽车同样不能向前行驶。结论与讨论★

关于动量和动能的再讨论

运动员跑步时，脚底与地面之间的摩擦力并不作功，其作用是使运动员的动量增加；小腿的肌肉(比目鱼肌)收缩产生内力而作功，使运动员的动能增加。二者都是运动员跑步前进的驱动力。结论与讨论★

关于动量和动能的再讨论

应用动能定理时，很重要的是，正确计算系统的动能。特别是正确计算刚体平面运动的动能。因此，要正确应用柯希尼定理。

质点系的动能(绝对运动动能)，等于系统跟随质心平移的动能(牵连运动动能)与相对于质心平移系运动的动能(相对运动动能)之和。结论与讨论★

正确计算刚体平面运动时的动能ABOxx

均质杆AB长度为l、质量为m,A端与小圆滚轮铰接，小圆滚轮的重量不计。广义坐标q=(x,)。请判断关于系统动能的下列表达式是否正确：结论与讨论★

正确计算刚体平面运动时的动能ORr

0C*

行星轮机构中，小圆轮的质量为m。请判断关于小圆轮动能的下列表达式是否正确？结论与讨论★正确计算刚体平面运动时的动能

计算动能必须正确确定速度或角速度。为此需要首先分析运动，进而选择相应的方法计算速度或角速度。确定速度和角速度的方法

点的运动学分析方法——选择合适的描述点的运动坐标系，写出的运动方程或方程组，再将方程或方程组对时间求一次导数，即得点的速度。

点的复合运动分析方法——正确选择动点和动系，确定牵连速度、相对速度和绝对速度。

刚体平面运动分析方法——建立在速度合成定理基础上的基点法、速度投影法、瞬时速度瞬心法。结论与讨论★

速度(角速度)分析与动能计算确定速度和角速度的方法CAr

半径为r的大圆环，不计质量，绕O轴旋转。大圆环上套有质量为m的小圆环A。小圆环在光滑的大圆环上自由滑动。怎样确定小圆环的速度，进而确定其动能？Oxy结论与讨论★

速度(角速度)分析与动能计算墙面地面ABl,muAOxy

长度为l

，质量为m的均质杆件AB，杆件两端A和B分别沿光滑的墙面和地面滑动，A端的速度为vA。

怎样确定杆件AB的角速度，进而确定其动能？确定速度和角速度的方法结论与讨论★

速度(角速度)分析与动能计算动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系。整体运动的变化所受的作用力动量定理动能定理动量矩定理动量力(冲量)动量矩力矩动能力的功动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的两类基本问题。结论与讨论★

关于几个动力学定理的综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机械运动范围内的运动变化问题。动能定理可以用于研究机械运动与其他运动形式之间的运动转化问题。结论与讨论★

关于几个动力学定理的综合应用★关于几个动力学定理的综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理的表达式为矢量形式，描述质点系整体运动时，不仅涉及有关运动量的大小，而且涉及运动量的方向。动能定理的表达式为标量形式，描述质点系整体运动时，不涉及运动量的方向，无论质点系如何运动，动能定理只能提供一个方程。动量定理、动量矩定理的表达式中含有时间参数。动能定理的表达式中含有路程参数。结论与讨论动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理的表达式中只包含外力，而不包含内力(内力的主矢和主矩均为零)动能定理的表达式中可以包含主动力和约束力，主动力中可以是外力，也可以是内力(可变质点系)；对于理想约束，则只包含主动力。★

关于几个动力学定理的综合应用结论与讨论动量定理、动量矩定理和动能定理的比较分析和解决复杂系统的动力学问题时,选择哪一个定理的原则是:

1、所要求的运动量在所选择的定理中能不能比较容易地表达出来；

2、在所选择的定理表达式中，不出现相关的未知力。对于由多个刚体组成的复杂系统，求解动力学问题时，如果选用动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开，不仅涉及的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不必将系统拆开，而直接对系统整体应用动能定理，建立一个标量方程，求得速度或加速度(角速度或角加速度)。★关于几个动力学定理的综合应用结论与讨论BC动量定理、动量矩定理和动能定理的比较AWWk,l0