山西省运城市实验中学2023年高三数学理联考试卷含解析

山西省运城市实验中学2023年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

设，定义P※Q＝，则P※Q中元素的个数为

.参考答案：122.已知在处取得极值2，则参考答案：C略3.将函数的图象按向量平移后，得到的图象，则

（

）

A．=（1，2）

B．=（1，－2）

C．=（－1，2）

D．=（－1，－2）参考答案：D4.定义运算，则符合条件的复数对应的点在（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】由题知：

所以所以

所以对应点为（），位于第二象限。5.已知且，函数在[－2,2]上的最大值为3，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据分段函数的表达式，分别求出函数递增和上的最大值，建立不等式关系进行求解即可．【详解】解：当时，，，由得（舍）或，此时为增函数，由得，此时为减函数，则当时，取得极大值，极大值为，当时，取得最小值，最小值为，∵在上的最大值为3，∴当时，函数的最大值不能超过3即可，当时，为增函数，则当时，函数的最大值为，即，得，当时，为减函数，则，此时满足条件．综上实数的取值范围是或，故选：A．【点睛】本题主要考查函数最值的求解，结合分段函数的表达式，利用函数的导数，以及指数函数的单调性分别求出对应函数的最值是解决本题的关键．6.函数的图象大致是参考答案：C7.已知函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B8.高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为

(A)13

(B)17

(C)19

(D)21参考答案：C略9.集合若,则 A． B． C． D．参考答案：D因为,所以,即,所以,即,所以,选D．10.到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为（）A．相交直线 B．双曲线 C．抛物线 D．椭圆弧参考答案：C【考点】轨迹方程．【分析】建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和y=0代入即可求得轨迹．【解答】解：如图所示，建立坐标系，不妨设两条互相垂直的异面直线为OA，BC，设OB=a，P（x，y，z）到直线OA，BC的距离相等，∴x2+z2=（x﹣a）2+y2，∴2ax﹣y2+z2﹣1=0若被平面xoy所截，则z=0，y2=2ax﹣1；若被平面xoz所截，则y=0，z2=﹣2ax+1故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f（x）=|asinx+bcosx﹣1|+|bsinx﹣acosx|（a，b∈R）的最大值为11，则a2+b2=

．参考答案：50．【考点】三角函数的化简求值．【分析】化简asinx+bcosx为sin（x+α），化简bsinx﹣acosx为﹣cos（x+α），可得f（x）的解析式，当f（x）达到最大值时，f（x）=﹣sin（x+α）+1+cos（x+α）=1+?cos（x+α+），结合题意可得1+?=11，由此求得a2+b2的值．【解答】解：∵asinx+bcosx=（sinx+cosx）=sin（x+α），其中，tanα=，又bsinx﹣acosx=[（﹣cosx）+sinx]=﹣[cosx﹣sinx]=﹣cos（x+α）．∴函数f（x）=|asinx+bcosx﹣1|+|bsinx﹣acosx|=|sin（x+α）﹣1|+|cos（x+α）|f（x）达到最大值时，f（x）=﹣sin（x+α）+1+cos（x+α）=1+?cos（x+α+）．由于函数f（x）的最大值为11，∴1+?=11，∴a2+b2=50，故答案为：50．12.lg22+lg2lg5+lg5=．参考答案：1考点： 对数的运算性质．专题： 计算题．分析： 利用lg2+lg5=1即可求得答案．解答： 解：∵lg2+lg5=lg10=1，∴lg22+lg2lg5+lg5=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=lg10=1．故答案为：1．点评： 本题考查对数的运算性质，注意lg2+lg5=1的应用，属于基础题．13.两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为________．参考答案：314.已知口袋里装有同样大小、同样质量的个小球，其中个白球、个黑球，则从口袋中任意摸出个球恰好是白黑的概率为

.（结果精确到）参考答案：任意摸出个球恰好是白黑的概率为。15.已知双曲线的离心率为，则实数m的值为

．参考答案：16.等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2=4x上，则这个等腰直角三角形的面积为

．参考答案：16【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由抛物线关于x轴对称，可得等腰三角形的另外两个点关于x轴对称，求得直线y=x和抛物线的交点，即可得到所求面积．【解答】解：由等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2=4x上，由抛物线的对称性可得另外两个点关于x轴对称，可设直线y=x，代入抛物线y2=4x，可得x2=4x，解得x=0或x=4，可得等腰直角三角形的另外两个点为（4，4），（4，﹣4），则这个等腰直角三角形的面积为?（）2=16．故答案为：16．17.设集合，，则

▲

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且.（Ⅰ）若点为上一点且，证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得?若存在，求出的长；若不存在，说明理由.参考答案：见解析【考点】空间的角平面法向量的求法平行【试题解析】

解：（Ⅰ）过点作，交于,连接,因为，所以.又，，所以.所以为平行四边形,所以.又平面，平面,（一个都没写的，则这1分不给）所以平面.

（Ⅱ）因为梯形中，，,所以.因为平面，所以,如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系,所以.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,因为所以，即，取得到,同理可得,所以,因为二面角为锐角，所以二面角为.（Ⅲ）假设存在点，设，所以,所以，解得,所以存在点，且.19.智能手机功能强大，许多人喜欢用手机看电视、看电影．某同学在暑假期间开展社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取1000人调查是否喜欢用手机看电视、看电影，对喜欢用手机看电视、看电影的称为“手机族”，得到如下各年龄段“手机族”人数频率分布直方图：（1）请补全频率分布直方图；（2）从[40，50）岁年龄段的“手机族”中采用分层抽样法抽取10人参加户外低碳体验活动，并从中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）如图所示，第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，即可得出高．（2）第四组的人数为0.03×5×1000=150，第五组的人数为0.02×5×1000=100．因为[40，45）岁年龄段的”低碳族“与[45，50）岁年龄段的”低碳族”的比值为150：100=3：2，所以采用分层抽样法抽取10人，[40，45）岁中有6人，[45，50）岁中有4人．由题意可得：X=0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（1）如图所示，第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为=0.06．频率直方图如下：（2）第四组的人数为0.03×5×1000=150，第五组的人数为0.02×5×1000=100．因为[40，45）岁年龄段的”低碳族“与[45，50）岁年龄段的”低碳族”的比值为150：100=3：2，所以采用分层抽样法抽取10人，[40，45）岁中有6人，[45，50）岁中有4人．由题意可得：X=0，1，2，3．∴P（X=k）=，可得P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．X0123P∴EX=0++3×=．20.“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步0～30003001～60006001～80008001～1000010000以上男生人数/人127155女性人数/人03791规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求和的数学期望.（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）.其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为；求的概率.参考答案：1）被系统评为“积极性”的概率为.故，的数学期望；（2）“”包含“”，“”，“”，“”，“”，“”，，，，，，，所以.21.已知函数,.(1)当时,求不等式的解集；(2)若存在使得成立,求k的取值范围参考答案：（1）（2）【分析】（1）代入,将不等式进行分类讨论，进而化简求解即可：（2）当时，明显，成立等价于存在使，即成立，最后设，当时，用最值分析法求解即可得到的取值范围【详解】解:（1）当时,故不等式可化为：或或解得：，所以解集为.（2）当时，,，于是原问题等价于存在使，即成立.设，,则.因为为开口向上的抛物线，对称轴为，所以在单调递减，当时，.令，解得或.又，因此的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解问题，以及含参不等式的参数范围问题，解题的关键点在于对不等式去绝对值后的化简和用最值分析法求出参数的取值范围.22.（1）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣，求抛物线的标准方程；（2）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（，﹣），（，），求双曲线的标准方程．参考答案：解：（1）由题意，设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），∵抛物线的准线方程为x=﹣，∴=，解得p=，故所求抛物线的标准方程为y2=x．（2）设双曲线方程为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0），代入点（，﹣），（，），可得，∴m=1，n=，∴双曲线的标准方程为x2﹣y2=1考点：双曲线的标准方程；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），根据题意建立关于p的方程，解之可得p=，得到抛物线方程；（2）设双曲线方程为mx