第九章 杆件变形及结构的位移计算

第九章杆件变形及结构的位移计算第一节直杆的轴向变形和扭转角第二节虚功原理单位荷载法第三节用积分法求梁的变形第四节图乘法第一节直杆的轴向变形和扭转角一、直杆的轴向变形阶梯形直杆受力如图所示，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2，BC段,A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa。试求该杆总变形量。解（1）求AB、BC段轴力

FNAB=40kN（拉）

FNBC=-20kN（压）（2）求AB、BC段伸长量（3）AC杆总伸长ABC0.4m0.4m40kN60kN20kN例9-1二、圆轴的扭转角和刚度条件1、扭转角的计算扭转变形dxRdodAdATBAlTT、G、Ip为常数扭转角的正负与扭矩正负相同。截面抗扭刚度，简称抗扭刚度。某机器传动轴AC如图所示，已知轴材料的切变模量G=80GPa，轴直径d=45mm。求AB、BC及AC间相对扭转角,最大单位长度扭转角。解

（1）内力分析（2）变形分析AB段BC段例9-2TA=120NmTB=200NmTC=80Nm0.3m0.3mABC2、圆轴扭转的刚度条件轴的扭转在单位长度内不超过一定的限度。在工程中是轴的单位扭转角不超过许用扭转角[]，即[]轴的刚度条件为CBA例9-3计算轴的总扭转角MA=76.4NmMB=191NmMC=300NmIp=2105mm4继续MAMBMCMAMBMCAB=BC=2mG=80GPa解∶ACBx76.4Nm114.6NmT例9-4用刚度条件设计传动轴的直径BAMMM=200kNmG=80GPa[]=0.3o设计轴径d。解∶取一、结构位移1.变形和位移在荷载作用下，结构将产生变形和位移。变形：是指结构形状的改变。位移：是指结构各处位置的移动。2.位移的分类APA′A线位移：角位移：A(△A)△Ay△Ax△Ay△Ax△A绝对位移相对位移PABCDC′D′△C△D△CD=△C+△D□第二节虚功原理单位荷载法线位移角位移3.计算位移的目的（1）为了校核结构的刚度。（2）结构施工的需要。

（3）为分析超静定结构打下基础。起拱高度△MFQFNκγε↓↓↓↓↓↓↓↓↓-t+t不产生内力，产生变形产生位移b）温度改变和材料胀缩；c）支座沉降和制造误差不产生内力和变形产生刚体移动

位移是几何量，自然可用几何法来求，如lD=bxdwd=k22βΔ但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。a）荷载作用；4、产生位移的原因主要有三种：

计算位移时，常假定：1）荷载与位移成正比σ=Eε；2）小变形；3）具有理想约束的体系；4）荷载全部撤除后，由荷载引起的位移也全部消失。即：线弹性体系。可用叠加原理。结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论静定结构的位移计算。5.线性变形体系二、功和虚功（一）功的概念定义：一个不变的集中力所做的功等于该力的大小与其作用点沿力作用线方向的分位移的乘积。Ｗ=F△△是力作用线方向的分位移（二）实功与虚功实功：虚功：W=力在其它因素引起的位移上作的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态。例如：例如：W12=P1·△2力在本身引起的位移上作的功。力状态位移状态一个体系虚位移：与对应的力无关的位移，△→FP虚力：与对应的位移无关的力，FP→△虚功：彼此无关的位移与力的乘积，FP

△△FP状态1状态2虚并不是没有的意思，而是做功的力与相应的位移无关。变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段上内力所作的变形虚功总和。即：

W=Ｖ称为虚功方程，式中：W——外力虚功V——内力虚功（虚应变能）1、位移计算公式的推导单位力P=1内力虚功外力虚功位移状态△虚设单位力状态1得单位荷载法求位移三、单位荷载法