2017-2018版高中数学第四章函数应用1.2利用二分法求方程的近似解学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16学必求其心得，业必贵于专精PAGE1.2利用二分法求方程的近似解学习目标1.理解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤。3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．知识点一二分法的原理思考通过上节课的学习，我们知道f（x)＝lnx＋2x－6的零点在区间(2，3）内，如何缩小零点所在区间(2,3）的范围?梳理二分法的概念如果在区间[a，b］上,函数f(x）的图像是______________________,且__________________，则区间［a，b]内有方程f（x）＝0的解．依次取有解________________，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0）＝0,则x0就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度____________，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解．像这样每次__________________,________________________，再经比较,按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．知识点二精度与精确到思考“精确到0.1"与“精度为0。1”一样吗？梳理在许多实际应用中，不需要求出方程精确的解，只要满足一定的精度就可以．设eq\o(x，\s\up6（^)）是方程f(x）＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足__________________,就称x0是满足精度ε的近似解．为了得到满足精度ε的近似解，只需找到方程的一个有解区间［a，b]，________________________，那么区间（a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．事实上，任意选取两数x1，x2∈(a，b)，都有|x1－x2｜<ε。由于eq\o（x,\s\up6(^)）∈（a，b)，所以任意选取x′∈(a，b）都有|x′－eq\o(x,\s\up6（^)）｜<ε.知识点三二分法求方程近似解的步骤利用二分法求方程实数解的过程可以用下图表示出来．在这里：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间;“M”的含义是：取新区间,一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个,新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P”的含义是:选取区间内的任意一个数作为方程的近似解．类型一二分法的操作例1用二分法求函数f（x)＝x3－3的一个零点．(精度为0.02)引申探究如何求eq\r(3，2）的近似值？(精度为0.01)反思与感悟用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件（包括零点），又要使其长度尽量小;二是进行精度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．跟踪训练1借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．（精度为0。1)类型二二分法取中点的次数问题例2若函数f（x）在（1,2）内有1个零点,要使零点的近似值满足精度为0。01，则对区间(1,2）至少二等分（)A．5次 B．6次C．7次 D．8次反思与感悟对于区间(a,b)二分一次区间长度为eq\f(|a－b|，2)，二分二次区间长度为eq\f（｜a－b|，22），…,二分n次区间长度为eq\f(|a－b｜,2n）。令eq\f（｜a－b｜，2n)<ε，即2n>eq\f(｜a－b|,ε），nlg2>lgeq\f（|a－b|,ε)，n〉eq\f(lg\f（｜a－b|，ε），lg2)，从而估算出至少要使用多少次二分法．跟踪训练2在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精度为0。05，则取中点的次数不小于______．1．下列函数中，只能用二分法求其零点的是（）A．y＝x＋7 B．y＝5x－1C．y＝log3x D．y＝(eq\f(1,2))x－x2．观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是（）3．方程2x－1＋x＝5的根所在的区间为（）A．(0，1） B．（1，2)C．（2,3) D．（3，4）4．定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的曲线，已知函数f(x）在区间（a,b)上有一个零点x0，且f（a)f(b)<0，用二分法求x0时，当f（eq\f(a＋b,2))＝0时，则函数f(x)的零点是（)A．(a,b)外的点B．x＝eq\f（a＋b,2）C．区间(a,eq\f(a＋b，2))或(eq\f（a＋b，2），b)内的任意一个实数D．x＝a或b5．用二分法求函数y＝f（x)在区间（2，4)上的唯一零点的近似值时,验证f(2)·f（4）<0，取区间(2，4)的中点x1＝eq\f(2＋4，2）＝3,计算得f（2）·f（x1）〈0，则此时零点x0所在的区间是(）A．(2，4) B．(2，3)C．（3，4) D．无法确定1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．二分法求方程近似解的适用范围:在包含方程解的一个区间上,函数图像是连续的,且两端点函数值反号．3．求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同．

答案精析问题导学知识点一思考①取区间（2,3)的中点2。5。②计算f（2.5）的值，用计算器算得f（2。5)≈－0.084.因为f（2。5）·f（3)<0,所以零点在区间（2.5,3）内．梳理一条连续的曲线f(a）·f(b）<0区间的中点越来越小取区间的中点将区间一分为二知识点二思考不一样．比如得数是1.25或1。34，精确到0。1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精度为0。1"指零点近似值所在区间（a，b）满足｜a－b|〈0.1，比如零点近似值所在区间（1.25，1.34）．若精度为0.1，则近似值可以是1。25，也可以是1。34.梳理|x0－eq\o(x,\s\up6（^))｜〈ε使得区间长度b－a≤ε题型探究例1解由于f（0）＝－3＜0，f(1）＝－2＜0，f（2)＝5＞0，故可取区间(1,2）作为计算的初始区间．用二分法逐次计算,列表如下：区间中点的值中点函数值(或近似值）(1,2）1。50.375(1，1。5）1。25－1。047(1。25,1.5）1.375－0。400（1.375，1。5)1.4375－0.030(1.4375,1.5）1。468750.168（1.4375，1．46875）1.4531250。068（1.4375，1．453125)因为|1。453125－1.4375|＝0.015625＜0。02，所以函数f（x)＝x3－3的零点的近似值可取为1。4375。引申探究解设x＝eq\r(3，2),则x3＝2，即x3－2＝0，令f（x）＝x3－2，则函数f(x）的零点的近似值就是eq\r(3,2）的近似值,以下用二分法求其零点．由f(1）＝－1〈0，f(2）＝6〉0，故可以取区间（1，2）为计算的初始区间．用二分法逐次计算,列表如下：区间中点的值中点函数值（1，2)1。51。375(1,1.5)1。25－0。0469（1。25,1。5)1.3750。5996(1.25，1.375)1。31250。2610（1.25，1．3125）1.281250。1033（1.25，1．28125)1.2656250。0273(1。25，1．265625)1.2578125－0.0100由于1。265625－1。2578125＝0.0078125<0。01，所以1。265625是函数的零点的近似值,即eq\r（3,2)的近似值是1。265625。跟踪训练1解原方程即2x＋3x－7＝0，令f（x)＝2x＋3x－7，用计算器或计算机作出函数f（x）＝2x＋3x－7的对应值表与图像如下:x012345678…f（x）＝2x＋3x－7－6－2310214075142273…观察图或表可知f（1)·f（2）＜0，说明这个函数在区间(1，2）内有零点x0。取区间(1,2）的中点x1＝1。5，用计算器算得f（1.5)≈0。33.因为f（1)·f(1。5)＜0,所以x0∈（1,1。5）．再取区间（1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1。25）≈－0。87。因为f(1.25）·f(1。5）＜0，所以x0∈(1。25,1。5）．同理可得，x0∈（1。375，1.5），x0∈（1。375，1.4375）．由于|1。375－1.4375|＝0.0625＜0.1,所以原方程的近似解可取为1.4375.例2C[设对区间(1，2）至少二等分n次，初始区间长为1.第1次二等分后区间长为eq\f(1，2）；第2次二等分后区间长为eq\f（1,22）；第3次二等分后区间长为eq\f（1,23）;…第n次二等分后区间长为eq\f（1，2n）。根据题意,得eq\f(1，2n）＜0.01，∴n＞log2100。∵6＜log2100＜7，∴n≥7.故对