2017学年高中数学学业分层测评23向量的应用（含解析）4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10学必求其心得，业必贵于专精PAGE学业分层测评(二十三）向量的应用(建议用时：45分钟）[学业达标]一、选择题1.已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1）与l平行,则实数m的值为(）A。－1 B.1C.2 D。－1或2【解析】向量（1－m，1)是直线的方向向量，所以斜率为eq\f（1,1－m)，则eq\f（1,1－m)＝－eq\f（m，2)，解得m＝－1或m＝2.【答案】D2.已知点A（2,3），B(－2,6）,C(6,6),D(10,3），则以ABCD为顶点的四边形是(）A。梯形B.邻边不相等的平行四边形C.菱形D。两组对边均不平行的四边形【解析】因为eq\o（AD,\s\up13（→))＝（8，0），eq\o（BC，\s\up13（→)）＝(8，0)，所以eq\o(AD，\s\up13(→))＝eq\o（BC,\s\up13（→））,因为eq\o(BA,\s\up13（→）)＝（4,－3），所以｜eq\o(BA，\s\up13（→））|＝5，而|eq\o(BC,\s\up13（→)）｜＝8，故为邻边不相等的平行四边形。【答案】B3.在△ABC中，若eq\f（1，3)(eq\o(OA,\s\up13（→)）＋eq\o（OB，\s\up13（→)）＋eq\o(OC，\s\up13（→)））＝eq\o(OG，\s\up13(→）），则点G是△ABC的(）A.内心 B.外心C.垂心 D.重心【解析】因为eq\f(1,3）（eq\o（OA,\s\up13（→））＋eq\o(OB,\s\up13（→))＋eq\o（OC,\s\up13(→)）)＝eq\o(OG，\s\up13(→）），所以eq\o(GA，\s\up13(→））－eq\o（GO，\s\up13(→))＋eq\o（GB，\s\up13（→）)－eq\o(GO,\s\up13(→））＋eq\o(GC,\s\up13（→）)－eq\o（GO，\s\up13（→))＝3eq\o(OG，\s\up13（→）)，化简得eq\o（GA,\s\up13（→))＋eq\o(GB，\s\up13(→）)＋eq\o（GC，\s\up13(→)）＝0，故点G为三角形ABC的重心。【答案】D4。在△ABC中，D为BC边的中点,已知eq\o（AB,\s\up13(→))＝a,eq\o（AC,\s\up13(→）)＝b，则下列向量中与eq\o（AD,\s\up13（→))同方向的是()A.eq\f（a＋b,｜a＋b｜） B。eq\f(a，｜a|）＋eq\f(b,|b｜）C。eq\f(a－b,｜a－b|) D。eq\f(a，｜a|)－eq\f(b,｜b｜)【解析】因为D为BC边的中点，则有eq\o(AB,\s\up13（→))＋eq\o（AC，\s\up13（→））＝2eq\o（AD，\s\up13(→）),所以a＋b与eq\o（AD，\s\up13（→））共线，又因为eq\f(a＋b,｜a＋b｜）与a＋b共线，所以选项A正确。【答案】A5.如图2­4.4所示,一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F做的功为（)图2.4。4A。100焦耳 B.50焦耳C。50eq\r（3)焦耳 D。200焦耳【解析】设小车位移为s，则|s｜＝10米，WF＝F·s＝|F｜|s|·cos60°＝10×10×eq\f（1，2）＝50（焦耳）。故选B。【答案】B二、填空题6。在边长为1的正三角形ABC中,eq\o（AB,\s\up13(→）)·eq\o(BC,\s\up13（→））＋eq\o（BC,\s\up13(→）)·eq\o（CA,\s\up13(→）)＋eq\o(CA,\s\up13（→）)·eq\o（AB,\s\up13（→））＝________。【导学号：72010071】【解析】eq\o(AB，\s\up13(→）)·eq\o(BC，\s\up13（→））＋eq\o(BC,\s\up13(→))·eq\o（CA,\s\up13(→)）＋eq\o（CA，\s\up13（→))·eq\o(AB,\s\up13(→)）＝eq\o（AB，\s\up13(→))·（eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o（CA，\s\up13（→)））＋eq\o（BC,\s\up13(→）)·eq\o(CA，\s\up13（→）)＝eq\o（AB,\s\up13（→）)·eq\o（BA，\s\up13（→)）－eq\o（CA，\s\up13(→）)·eq\o(CB,\s\up13(→）)＝－eq\o（AB，\s\up13(→）)2－｜eq\o（CA，\s\up13(→）)｜|eq\o(CB,\s\up13（→)）｜cos60°＝－12－1×1×eq\f(1，2)＝－eq\f（3,2)。【答案】－eq\f（3，2）7。用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体,如图2。4。5所示，已知物体的重力大小为10N，则每根绳子的拉力大小是________.图2。4­5【解析】因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10N.【答案】10N三、解答题8。已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B（4，0），C（－6,2),点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点.(1)求直线DE，EF，FD的方程；（2)求AB边上的高线CH所在直线的方程。【解】(1）由已知得点D（－1,1），E（－3，－1），F（2，－2)。设点M(x，y）是直线DE上的任意一点,则eq\o(DM，\s\up13(→))∥eq\o（DE,\s\up13（→））,eq\o(DM,\s\up13(→)）＝(x＋1，y－1）,eq\o（DE，\s\up13（→))＝(－2，－2),∴(－2)×(x＋1)－(－2）×（y－1）＝0,即x－y＋2＝0为直线DE的方程.同理可得直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.（2）设点N（x，y）是CH所在直线上的任意一点,则eq\o（CN,\s\up13(→）)⊥eq\o（AB,\s\up13(→))，eq\o（CN，\s\up13（→)）·eq\o(AB，\s\up13（→))＝0，eq\o(CN，\s\up13（→）)＝(x＋6，y－2），eq\o(AB,\s\up13(→)）＝(4,4)，∴4(x＋6）＋4(y－2）＝0,即x＋y＋4＝0为所求高线CH所在直线的方程.9.在平面直角坐标系xOy中,点A(－1，－2），B(2，3)，C（－2，－1）。（1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；（2）求eq\o(AB,\s\up13(→）)和eq\o（AC,\s\up13(→)）夹角的余弦值；（3)是否存在实数t满足(eq\o(AB,\s\up13(→)）－teq\o(OC,\s\up13(→）))·eq\o（OC,\s\up13(→)）＝eq\o(OA,\s\up13(→)）·eq\o（OC，\s\up13（→））,若存在，求t的值；若不存在,说明理由。【解】（1)由题意知eq\o（AB,\s\up13（→）)＝(3，5),eq\o（AC,\s\up13（→)）＝（－1,1)，则eq\o（AB,\s\up13(→））＋eq\o（AC,\s\up13(→）)＝（2,6）,eq\o(AB，\s\up13（→)）－eq\o(AC,\s\up13(→）)＝（4,4），所以|eq\o(AB,\s\up13（→）)＋eq\o（AC，\s\up13（→))｜＝2eq\r（10)，|eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o（AC，\s\up13(→))|＝4eq\r(2）,故所求的两条对角线的长分别为2eq\r(10),4eq\r(2）。(2)cos∠BAC＝eq\f（\o（AB,\s\up13(→）)·\o(AC，\s\up13（→)），|\o(AB，\s\up13（→))｜｜\o(AC，\s\up13(→）)｜)＝eq\f(2，\r(34）×\r（2）)＝eq\f（\r(17）,17），所以eq\o（AB，\s\up13（→）)和eq\o(AC,\s\up13(→)）夹角的余弦值为eq\f（\r(17),17)。(3)存在.由题设知：eq\o(OA，\s\up13(→））＝（－1,－2），eq\o（OC,\s\up13(→）)＝（－2，－1)，eq\o(AB，\s\up13(→）)－teq\o（OC,\s\up13（→)）＝（3＋2t，5＋t）.假设存在实数t满足（eq\o(AB，\s\up13(→）)－teq\o（OC,\s\up13(→）)）·eq\o(OC，\s\up13(→)）＝eq\o（OA，\s\up13(→))·eq\o(OC,\s\up13(→))，所以（3＋2t，5＋t)·(－2,－1）＝4，从而5t＝－15,所以t＝－3.［能力提升］1。(2016·德州高一检测)点O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点，若（eq\o(PB,\s\up13(→))－eq\o（PC，\s\up13(→)))·(eq\o（OB,\s\up13(→））＋eq\o（OC，\s\up13(→)))＝(eq\o(PC，\s\up13(→））－eq\o(PA,\s\up13（→）)）·(eq\o(OA,\s\up13(→)）＋eq\o（OC,\s\up13(→）)）＝0,则点O为△ABC的（)A.内心 B.外心C。重心 D。垂心【解析】因为(eq\o（PB，\s\up13（→)）－eq\o(PC，\s\up13(→)）)·(eq\o（OB,\s\up13（→））＋eq\o（OC，\s\up13（→)))＝0，则(eq\o（OB,\s\up13(→）)－eq\o（OC，\s\up13（→））)·(eq\o(OB，\s\up13(→))＋eq\o（OC,\s\up13(→)))＝0，所以eq\o(OB，\s\up13（→)）2－eq\o(OC，\s\up13(→))2＝0，所以｜eq\o（OB，\s\up13（→))｜＝｜eq\o(OC，\s\up13(→))|.同理可得|eq\o（OA，\s\up13(→））|＝|eq\o(OC,\s\up13(→)）｜,即|eq\o（OA,\s\up13（→))｜＝|eq\o（OB，\s\up13(→））｜＝|eq\o(OC,\s\up13(→))｜，所以O为△ABC的外心。【答案】B2.如图2。4。6，ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积.图2。4.6【解】如图，建立直角坐标系，显然EF是AM的中垂线，设AM与EF交于点N，则N是AM的中点，又正方形边长为8，所以M（8，4)，N（4,2)。设点E（e,0），则eq\o(AM,\s\up13(→))＝(8，4），eq\o（AN，\s\up13(→)）＝（4,2），eq\o(AE，\s\up13(→))＝（e，0),eq\o(EN，\s\up13（→))＝(4－e，2），由eq\o（AM,\s\up13（→))⊥eq\o(EN,\s\up13（→）)得e