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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精PAGE15学必求其心得,业必贵于专精PAGE2.3。1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关[学习目标]1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图,并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.3.会求回归直线方程.[知识链接]1.已知直线y=kx+b,当k>0时,随着x的逐渐增大,y值逐渐增大;2.已知直线y=2x+1过点A(2,y0),则y0=5.3.为了反映样本数据的离散程度,常用的量是标准差,它是样本数据到平均数的一种平均距离.[预习导引]1.相关关系变量与变量之间的关系常见的有两类:一类是确定性的函数关系,另一类是变量间确实存在的关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的.也就是,自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系.2.散点图将样本中n个数据点(xi,yi)(i=1,2,…,n)描在平面直角坐标系中,以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.3.正相关、负相关(1)正相关:如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域,即一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也近似的由小变大,对于两个变量的这种相关关系,我们称为正相关.(2)负相关:如果散点图中的点散布的位置是从左上角到右下角的区域,即一个变量的值由小变大时,另一个变量的值近似的由大变小,对于变量的这种相关关系,我们称为负相关.4.回归直线的方程(1)回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.(2)回归方程:=x+对应的方程叫回归直线的方程,简称回归方程.(3)回归方程的求解过程要点一变量间相关关系的判断例1在下列两个变量的关系中,哪些是相关关系?(1)正方形边长与面积之间的关系;(2)作文水平与课外阅读量之间的关系;(3)人的身高与年龄之间的关系;(4)降雪量与交通事故的发生率之间的关系.答案(2)(4)解两变量之间的关系有两种:函数关系与带有随机性的相关关系.(1)正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.(2)作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.(3)人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系.(4)降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.规律方法函数关系是一种确定的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.跟踪演练1下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系()A.正方体的棱长和体积B.圆半径和圆的面积C.正n边形的边数和内角度数之和D.人的年龄和身高答案D解析A、B、C都是函数关系,对于A,V=a3;对于B,S=πr2;对于C,g(n)=(n-2)π.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高,∴选D.要点二散点图例2(1)如图是两个变量统计数据的散点图,判断两个变量之间是否具有相关关系?(2)有个男孩的年龄与身高的统计数据如下。年龄(岁)123456身高(cm)788798108115120画出散点图,并判断它们是否有相关关系?如果有相关关系,是正相关还是负相关?解(1)不具有相关关系,因为散点图散乱地分布在坐标平面内,不呈线形.(2)散点图是分析变量相关关系的重要工具.作出散点图如图:由图可见,具有线性相关关系,且是正相关.规律方法1。判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系,常用的简便方法就是绘制散点图,如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响.2.画散点图时应注意合理选择单位长度,避免图形过大或偏小,或者是点的坐标在坐标系中画不准,使图形失真,导致得出错误结论.跟踪演练2对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图①;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图②.由这两个散点图可以判断()A.变量x与y正相关,u与v正相关B.变量x与y正相关,u与v负相关C.变量x与y负相关,u与v正相关D.变量x与y负相关,u与v负相关答案C要点三求线性回归方程例3有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表:摄氏温度/℃-504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654(1)画出散点图;(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律;(3)求回归方程;(4)如果某天的气温是2℃,预测这天卖出的热饮杯数.解(1)散点图如图所示:(2)从上图看到,各点散布在从左上角到右下角的区域里,因此,气温与热饮销售杯数之间呈负相关,即气温越高,卖出去的热饮杯数越少.(3)从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近,因此,可用公式求出回归方程的系数.利用计算器容易求得回归方程eq\o(y,\s\up6(^))=-2.352x+147.767.(4)当x=2时,eq\o(y,\s\up6(^))=143.063.因此,某天的气温为2℃时,这天大约可以卖出143杯热饮.规律方法1.求线性回归方程的步骤(1)列表xi,yi,xiyi。(2)计算eq\x\to(x),eq\x\to(y),eq\i\su(i=1,n,x)eq\o\al(2,i),eq\i\su(i=1,n,y)eq\o\al(2,i),eq\i\su(i=1,n,x)iyi.(3)代入公式计算eq\o(b,\s\up6(^)),eq\o(a,\s\up6(^))的值.(4)写出回归方程eq\o(y,\s\up6(^))=eq\o(a,\s\up6(^))+eq\o(b,\s\up6(^))x.2.求回归直线方程的适用条件两个变量具有线性相关性,若题目没有说明相关性,则必须对两个变量进行相关性判断.跟踪演练32014年元旦前夕,某市统计局统计了该市2013年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表:年收入x(万元)24466677810年饮食支出y(万元)0.91。41。62。02。11。91.82。12.22。3(1)如果已知y与x是线性相关的,求回归方程;(2)若某家庭年收入为9万元,预测其年饮食支出.(参考数据:eq\i\su(i=1,10,x)iyi=117.7,eq\i\su(i=1,10,x)eq\o\al(2,i)=406)解(1)依题意可计算得:eq\x\to(x)=6,eq\x\to(y)=1.83,eq\x\to(x)2=36,eq\x\to(x)eq\x\to(y)=10.98,又∵eq\i\su(i=1,10,x)iyi=117。7,eq\i\su(i=1,10,x)eq\o\al(2,i)=406,∴b=eq\f(\i\su(i=1,10,x)iyi-10\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i=1,10,x)\o\al(2,i)-10\x\to(x)2)≈0。17,a=eq\x\to(y)-beq\x\to(x)=0。81,∴eq\o(y,\s\up6(^))=0.17x+0。81.∴所求的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))=0.17x+0。81.(2)当x=9时,eq\o(y,\s\up6(^))=0.17×9+0。81=2。34(万元).可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元。1.下列说法正确的是()A.任何两个变量之间都有相关关系B.根据身高和体重的相关关系可以确定身高对应的体重值C.相关关系是一种不确定的关系D.以上答案都不对答案C解析变量之间的相关关系是一种不确定的关系,它也能反映变量之间的某种依赖关系.利用相关关系可以估计某些相关数据,但是不能确定准确的数值.2.某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则其回归方程可能是()A。eq\o(y,\s\up6(^))=-10x+200B。eq\o(y,\s\up6(^))=10x+200C.eq\o(y,\s\up6(^))=-10x-200D.eq\o(y,\s\up6(^))=10x-200答案A解析∵y与x负相关,∴排除B、D,又∵C项中x>0时,eq\o(y,\s\up6(^))〈0不合题意,∴C错.3.设有一个回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))=-1.5x+2,则变量x增加一个单位时()A.y平均增加1.5个单位 B.y平均增加2个单位C.y平均减少1.5个单位 D.y平均减少2个单位答案C解析∵两个变量线性负相关,∴变量x增加一个单位,y平均减少1。5个单位.4.(2013·滨州高一检测)设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))=0。85x-85.71,则下列结论中不正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(eq\x\to(x),eq\x\to(y))C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0。85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg答案D解析当x=170时,eq\o(y,\s\up6(^))=0。85×170-85.71=58。79,体重的估计值为58。79kg.5.正常情况下,年龄在18岁到38岁的人,体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))=0.72x-58.2,张红同学(20岁)身高178cm,她的体重应该在________kg左右.答案69.96解析用回归方程对身高为178cm的人的体重进行预测,当x=178时,eq\o(y,\s\up6(^))=0。72×178-58。2=69.96(kg).1.判断变量之间有无相关关系,一种简便可行的方法就是绘制散点图.根据散点图,可以很容易看出两个变量是否具有相关关系,是不是线性相关,是正相关还是负相关.2.求回归直线方程时应注意的问题(1)知道x与y呈线性相关关系,无需进行相关性检验,否则应首先进行相关性检验,如果两个变量之间本身不具有相关关系,或者说,它们之间的相关关系不显著,即使求出回归方程也是毫无意义的,而且用其估计和预测的量也是不可信的.(2)用公式计算eq\o(a,\s\up6(^)),eq\o(b,\s\up6(^))的值时,要先算出eq\o(b,\s\up6(^)),然后才能算出eq\o(a,\s\up6(^)).3
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