2017-2018版高中数学第二章统计2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关学案3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE15学必求其心得，业必贵于专精PAGE2．3。1变量间的相关关系2．3.2两个变量的线性相关[学习目标]1．理解两个变量的相关关系的概念．2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．3．会求回归直线方程．［知识链接］1．已知直线y＝kx＋b，当k＞0时，随着x的逐渐增大，y值逐渐增大；2．已知直线y＝2x＋1过点A(2,y0），则y0＝5.3．为了反映样本数据的离散程度，常用的量是标准差，它是样本数据到平均数的一种平均距离．［预习导引］1．相关关系变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是变量间确实存在的关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的．也就是，自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．2．散点图将样本中n个数据点(xi,yi)（i＝1，2，…,n)描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．3．正相关、负相关(1）正相关:如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也近似的由小变大，对于两个变量的这种相关关系，我们称为正相关．(2)负相关：如果散点图中的点散布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值近似的由大变小，对于变量的这种相关关系，我们称为负相关．4．回归直线的方程（1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程：＝x＋对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．(3）回归方程的求解过程要点一变量间相关关系的判断例1在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系?(1)正方形边长与面积之间的关系；（2）作文水平与课外阅读量之间的关系；（3)人的身高与年龄之间的关系;（4）降雪量与交通事故的发生率之间的关系．答案(2）（4）解两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．(1）正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．（2）作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系．(3)人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系．(4）降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．规律方法函数关系是一种确定的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．跟踪演练1下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系（)A．正方体的棱长和体积B．圆半径和圆的面积C．正n边形的边数和内角度数之和D．人的年龄和身高答案D解析A、B、C都是函数关系，对于A，V＝a3；对于B，S＝πr2；对于C,g(n）＝(n－2)π.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高,∴选D.要点二散点图例2(1）如图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？(2)有个男孩的年龄与身高的统计数据如下。年龄（岁)123456身高(cm）788798108115120画出散点图，并判断它们是否有相关关系?如果有相关关系，是正相关还是负相关？解（1）不具有相关关系，因为散点图散乱地分布在坐标平面内，不呈线形．（2）散点图是分析变量相关关系的重要工具．作出散点图如图：由图可见，具有线性相关关系，且是正相关．规律方法1。判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响．2．画散点图时应注意合理选择单位长度,避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真,导致得出错误结论．跟踪演练2对变量x，y有观测数据（xi，yi)(i＝1，2，…，10）,得散点图①;对变量u,v有观测数据(ui，vi）(i＝1,2,…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断(）A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关,u与v正相关D．变量x与y负相关,u与v负相关答案C要点三求线性回归方程例3有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度/℃－504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654(1)画出散点图；(2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；(3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2℃,预测这天卖出的热饮杯数．解（1）散点图如图所示:（2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．(3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近,因此,可用公式求出回归方程的系数．利用计算器容易求得回归方程eq\o（y,\s\up6（^））＝－2.352x＋147.767.（4)当x＝2时,eq\o（y，\s\up6(^））＝143.063.因此,某天的气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮．规律方法1.求线性回归方程的步骤（1）列表xi,yi，xiyi。(2）计算eq\x\to(x)，eq\x\to(y），eq\i\su(i＝1,n，x）eq\o\al（2,i），eq\i\su（i＝1，n,y)eq\o\al（2,i),eq\i\su（i＝1，n，x）iyi.(3）代入公式计算eq\o(b,\s\up6（^）)，eq\o（a，\s\up6(^））的值．(4)写出回归方程eq\o（y,\s\up6(^））＝eq\o（a,\s\up6（^))＋eq\o(b，\s\up6(^))x.2．求回归直线方程的适用条件两个变量具有线性相关性，若题目没有说明相关性，则必须对两个变量进行相关性判断．跟踪演练32014年元旦前夕,某市统计局统计了该市2013年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表:年收入x(万元）24466677810年饮食支出y（万元）0.91。41。62。02。11。91.82。12.22。3(1）如果已知y与x是线性相关的，求回归方程;（2）若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．（参考数据：eq\i\su（i＝1,10,x）iyi＝117.7，eq\i\su（i＝1，10，x）eq\o\al(2，i）＝406)解(1）依题意可计算得:eq\x\to(x）＝6，eq\x\to（y）＝1.83，eq\x\to（x）2＝36，eq\x\to(x)eq\x\to（y）＝10.98,又∵eq\i\su（i＝1,10,x）iyi＝117。7,eq\i\su(i＝1,10，x）eq\o\al(2,i）＝406,∴b＝eq\f(\i\su（i＝1，10，x）iyi－10\x\to(x)\x\to(y)，\i\su(i＝1,10,x)\o\al（2，i）－10\x\to(x)2）≈0。17,a＝eq\x\to（y）－beq\x\to（x)＝0。81,∴eq\o(y,\s\up6(^）)＝0.17x＋0。81.∴所求的回归方程为eq\o（y，\s\up6(^))＝0.17x＋0。81.（2)当x＝9时，eq\o(y,\s\up6（^））＝0.17×9＋0。81＝2。34（万元)．可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元。1．下列说法正确的是()A．任何两个变量之间都有相关关系B．根据身高和体重的相关关系可以确定身高对应的体重值C．相关关系是一种不确定的关系D．以上答案都不对答案C解析变量之间的相关关系是一种不确定的关系，它也能反映变量之间的某种依赖关系．利用相关关系可以估计某些相关数据,但是不能确定准确的数值．2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是(）A。eq\o（y，\s\up6(^)）＝－10x＋200B。eq\o(y,\s\up6（^)）＝10x＋200C.eq\o（y，\s\up6（^)）＝－10x－200D.eq\o（y,\s\up6(^))＝10x－200答案A解析∵y与x负相关，∴排除B、D，又∵C项中x>0时,eq\o(y,\s\up6(^))〈0不合题意，∴C错．3．设有一个回归方程为eq\o(y,\s\up6（^)）＝－1.5x＋2，则变量x增加一个单位时（)A．y平均增加1.5个单位 B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位 D．y平均减少2个单位答案C解析∵两个变量线性负相关,∴变量x增加一个单位，y平均减少1。5个单位．4．(2013·滨州高一检测）设某大学的女生体重y(单位：kg）与身高x(单位:cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为eq\o（y，\s\up6（^）)＝0。85x－85.71，则下列结论中不正确的是(）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（eq\x\to(x），eq\x\to（y）)C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0。85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg答案D解析当x＝170时，eq\o（y，\s\up6(^）)＝0。85×170－85.71＝58。79,体重的估计值为58。79kg.5．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y（kg）对身高x（cm）的回归方程为eq\o(y，\s\up6(^)）＝0.72x－58.2，张红同学(20岁）身高178cm，她的体重应该在________kg左右．答案69.96解析用回归方程对身高为178cm的人的体重进行预测，当x＝178时，eq\o(y,\s\up6（^)）＝0。72×178－58。2＝69.96（kg）．1．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图,可以很容易看出两个变量是否具有相关关系,是不是线性相关，是正相关还是负相关．2．求回归直线方程时应注意的问题（1）知道x与y呈线性相关关系,无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的,而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算eq\o（a，\s\up6(^）），eq\o(b,\s\up6（^））的值时，要先算出eq\o(b，\s\up6（^)），然后才能算出eq\o(a，\s\up6(^)）.3