2017-2018版高中数学第二章推理与证明习题课综合法和分析法学案2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10学必求其心得，业必贵于专精PAGE习题课综合法和分析法明目标、知重点加深对综合法、分析法的理解,应用两种方法证明数学问题．1．综合法综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．综合法的证明步骤用符号表示是：P0（已知）⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论）2．分析法分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备,其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知,逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……,为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立,所以……，结论成立"．分析法的证明步骤用符号表示是：P0（已知）⇐…⇐Pn－2⇐Pn－1⇐Pn（结论）分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆．题型一选择恰当的方法证明不等式例1设a，b,c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S.证明I2＝（a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝a2＋b2＋c2＋2S。欲证3S≤I2<4S，即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2,只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，即(a－b)2＋(a－c）2＋(b－c）2≥0,显然成立；再证明a2＋b2＋c2〈2ab＋2bc＋2ca,只需证a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca〈0，即a（a－b－c）＋b(b－a－c)＋c（c－b－a)〈0，只需证a<b＋c，且b<c＋a，且c<b＋a，由于a、b、c为三角形的三边长，上述三式显然成立，故有3S≤I2<4S.反思与感悟本题要证明的结论要先进行转化，可以使用分析法．对于连续不等式的证明，可以分段来证，使证明过程层次清晰．证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：(1）a2≥0（a∈R)．（2）（a－b）2≥0（a、b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab,（eq\f（a＋b,2))2≥ab，a2＋b2≥eq\f（a＋b2，2).(3)若a,b∈（0,＋∞），则eq\f（a＋b，2）≥eq\r(ab）,特别地eq\f(b,a)＋eq\f(a,b）≥2。(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）．跟踪训练1已知a，b是正数,且a＋b＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4.证明方法一∵a，b是正数且a＋b＝1，∴a＋b≥2eq\r（ab），∴eq\r（ab)≤eq\f(1,2），∴eq\f(1，a)＋eq\f（1，b）＝eq\f（a＋b，ab）＝eq\f（1,ab)≥4.方法二∵a，b是正数，∴a＋b≥2eq\r（ab)〉0，eq\f(1,a)＋eq\f（1,b)≥2eq\r(\f(1,ab)）〉0，∴(a＋b）(eq\f(1,a)＋eq\f（1，b))≥4.又a＋b＝1,∴eq\f（1，a)＋eq\f（1，b）≥4.方法三eq\f（1,a）＋eq\f（1，b)＝eq\f（a＋b，a)＋eq\f(a＋b，b)＝1＋eq\f(b，a)＋eq\f(a，b）＋1≥2＋2eq\r（\f(b,a）·\f（a，b）)＝4。当且仅当a＝b时，取“＝”号．题型二选择恰当的方法证明等式例2已知△ABC的三个内角A，B,C成等差数列,对应的三边为a，b，c，求证：eq\f(1，a＋b）＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f（3,a＋b＋c).证明要证原式，只需证eq\f(a＋b＋c，a＋b)＋eq\f(a＋b＋c，b＋c）＝3，即证eq\f(c，a＋b）＋eq\f(a，b＋c)＝1，即只需证eq\f（bc＋c2＋a2＋ab,ab＋b2＋ac＋bc)＝1,而由题意知A＋C＝2B,∴B＝eq\f(π,3)，∴b2＝a2＋c2－ac，∴eq\f(bc＋c2＋a2＋ab，ab＋b2＋ac＋bc)＝eq\f(bc＋c2＋a2＋ab,ab＋a2＋c2－ac＋ac＋bc)＝eq\f(bc＋c2＋a2＋ab,ab＋a2＋c2＋bc）＝1,∴原等式成立,即eq\f(1，a＋b）＋eq\f(1，b＋c）＝eq\f(3，a＋b＋c)。反思与感悟综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时,常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是:根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P;若由P可推出Q，即可得证．跟踪训练2设实数a,b,c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项,试证:eq\f（a,x)＋eq\f（c，y)＝2.证明由已知条件得b2＝ac,①2x＝a＋b,2y＝b＋c.②要证eq\f(a，x)＋eq\f(c，y)＝2，只要证ay＋cx＝2xy，只要证2ay＋2cx＝4xy。由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c）＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，4xy＝(a＋b)(b＋c）＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc,所以2ay＋2cx＝4xy。命题得证．题型三立体几何中位置关系的证明例3如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．（1）证明:CD⊥AE；(2）证明：PD⊥平面ABE.证明（1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD。∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC,而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE。(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点,∴AE⊥PC。由（1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，又AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.反思与感悟综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化．另外,利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．跟踪训练3如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝eq\r(2)，CE＝EF＝1.(1）求证：AF∥平面BDE；(2）求证：CF⊥平面BDE.证明（1）如图，设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝eq\f（1，2）AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)连接FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG。因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC。又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE。[呈重点、现规律]1．综合法的特点是：从已知看可知,逐步推出未知．2．分析法的特点是：从未知看需知,逐步靠拢已知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到