建筑力学课件8平面图形的几何性质

第8章平面图形的几何性质

第8章平面图形的几何性质

基本内容与学习要求掌握平面图形的形心、静矩、惯性矩、极惯性矩和平行移轴公式的应用；了解转轴公式；掌握平面图形的形心主惯性轴、形心主惯性平面和形心主惯性矩的概念。知识要点与重点难点静矩与形心；惯性矩、极惯性矩、惯性积；平行移轴公式；移轴公式；主惯性轴的概念；形心主惯性轴、形心主惯性平面与形心主惯性矩的概念；形心主惯性轴确定、形心主惯性矩计算。第8章平面图形的几何性质

一静矩、形心及相互关系二惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径三平行移轴定理四转轴定理五形心主轴、形心主矩第8章平面图形的几何性质

为什么要研究平面图形的几何性质材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。杆件的承载能力,不仅与截面大小有关,而且与截面的几何形状有关。第8章平面图形的几何性质

课堂小实验相同的材料、相同的截面积,截面的几何形状不同,承载能力差异很大。第8章平面图形的几何性质

研究平面图形几何性质的方法:化特殊为一般实际杆件的横截面第8章平面图形的几何性质

平面图形的几何性质包括:

形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、主惯性矩等第8章平面图形的几何性质

一静矩、形心及相互关系zyOdAyz图形对于y

轴的静矩图形对于z

轴的静矩第8章平面图形的几何性质/一静矩、形心及相互关系定义AzyOdAyzzyOzCCyC分力之矩之和合力之矩第8章平面图形的几何性质/一静矩、形心及相互关系计算静矩与形心坐标之间的关系

已知静矩可以确定图形的形心坐标

已知图形的形心坐标可以确定静矩第8章平面图形的几何性质/一静矩、形心及相互关系第8章平面图形的几何性质/一静矩、形心及相互关系组合图形的静矩与形心计算性质:①静矩是对某一坐标轴定义的,静矩与坐标轴有关②截面对某一轴的静矩等于零,则该轴必通过形心。③截面对通过形心轴的静矩恒等于零。即:

第8章平面图形的几何性质/一静矩、形心及相互关系决定因素:静矩与截面尺寸、形状、轴的位置有关。数值范围:可以为正、或负、或等于零。单位:mm3

、cm3

、m3第8章平面图形的几何性质/一静矩、形心及相互关系

例题试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。解：图形对底边的静矩形心位置abhzyOC1C2第8章平面图形的几何性质/一静矩、形心及相互关系第8章平面图形的几何性质二惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径－图形对y轴的惯性矩－图形对z轴的惯性矩－图形对yz轴的惯性积－图形对O点的极惯性矩zyOdAyzA第8章平面图形的几何性质/二惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径定义：－图形对y轴的惯性半径－图形对z轴的惯性半径zyOdAyz第8章平面图形的几何性质/二惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径定义：第8章平面图形的几何性质/二惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径zyOdAyz计算：zyOdAyzA第8章平面图形的几何性质/二惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩与极惯性矩之间的关系：性质：1、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯矩，是对点定义的。2、任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂直的轴的惯性积为零。3、对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性矩越大。第8章平面图形的几何性质/二惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径决定因素:截面形状、尺寸、轴的位置。数值范围:惯性矩、极惯性矩和惯性半径恒为正;

惯性积可以为正、为负、为零。单位:惯性矩、极惯性矩和惯性积的单位相

同,均为mm4

、cm4

、m4

惯性半径:mm、cm、m第8章平面图形的几何性质/一静矩、形心及相互关系例题矩形截面惯性矩的计算hozybydy同理：第8章平面图形的几何性质/一静矩、形心及相互关系例题圆截面惯性矩、极惯性矩计算ddACyz第8章平面图形的几何性质/二惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径第8章平面图形的几何性质三平行移轴定理

移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。第8章平面图形的几何性质/三平行移轴定理zcycyzOadA在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小第8章平面图形的几何性质/三平行移轴定理

应用平行移轴定理应注意的问题

两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算。第8章平面图形的几何性质/三平行移轴定理例题试求图示三角形：（1）对z轴静矩；

（2）对z轴的惯性矩；（3）对z1轴的惯性矩。zb/2b/2h/2h/2Oyz1ydyzc

例题图示为三个等直径圆相切的组合问题,求对形心轴zc的惯性矩.O1O2O3zcO2、O3到zc轴的距离O1到zc轴的距离四转轴定理第8章平面图形的几何性质

所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。

第8章平面图形的几何性质/四转轴定理zyOz1y1dAyzy1z1已知：Iy、Iz、Iyz、求：

Iy1、Iz1、Iy1z1第8章平面图形的几何性质/四转轴定理zyOz1y1dAyzy1z1第8章平面图形的几何性质/四转轴定理

图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角度无关，即在轴转动时，其和保持不变。第8章平面图形的几何性质/四转轴定理zyOz0y000dAyzy0z0y0、z0－通过O点的主轴平面图形的几何性质/四转轴定理

当

改变时，Iyl、Izl的数值也发生变化，而当=0时，二者分别为极大值和极小值。Iy0、Iz0－主惯性矩zyOz0y000dAyzy0z0第8章平面图形的几何性质/四转轴定理主惯性矩：第8章平面图形的几何性质/四转轴定理

对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的Iy惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。第8章平面图形的几何性质/四转轴定理五形心主轴、形心主矩第8章平面图形的几何性质第8章平面图形的几何性质/五形心主轴、形心主矩1主惯性轴、主惯性矩对于任何形状的截面,总可以找到一对特殊的直角坐标,使截面对于这一对坐标轴的惯性积等于零。惯性积等于零的一对坐标轴就称为该截面的主惯性轴,而截面对于主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。第8章平面图形的几何性质/五形心主轴、形心主矩2形心主惯性轴、形心主惯性矩当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,他们就被称为该截面的形心主惯性轴。而截面对于形心主惯性轴的惯性矩就称为形心主惯性矩。第8章平面图形的几何性质/五形心主轴、形心主矩

(1)如果平面图形有一条对称轴,则此轴必定是形心主惯性轴,而另一条形心主惯性轴通过形心,并与此轴垂直.观察法确定形心主轴的位置:第8章平面图形的几何性质/五形心主轴、形心主矩

(2)如果平面图形有两条对称轴,则此两轴都为形心主惯性轴.第8章平面图形的几何性质/五形心主轴、形心主矩

(3)如果平面图形具有三条或更多条对称轴,那么通过证明后可以知道:过该图形形心的任何轴都是形心主惯性轴,而且该平面图形对于其任一形心惯性轴的惯性矩都相等。第8章平面图形的几何性质/五形心主轴、形心主矩对于没有对称轴的截面,其形心主惯性轴的位置通过转轴定理确定。第8章平面图形的几何性质/五形心主轴、形心主矩(1)矩形截面的形心主惯性矩

常见截面的形心主矩:(2)圆形截面的形心主惯性矩

例题：求图示截面形心轴YC和ZC的惯性矩解：1.取参考轴Z2.求形心则a1＝2cm，a2＝2cm。3.求对形心轴的惯性矩Zz2zcz1yc1cc26cm2cm6cm2cmy1y2a2a1yc12（yc）在下列关于平面图形的结论中，（）是错误的。A.图形的对称轴必定通过形心；B.图形两个对称轴的交点必为形心；D.使静矩为零的轴必为对称轴。C.图形对对称轴的静矩为零；D在平面图形的几何性质中，（）的值可正、可负、也可为零。A.静矩和惯性矩；B.极惯性矩和惯性矩；C.惯性矩和惯性积；D.静矩和惯性积。D课程练习题

图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成Ⅰ和Ⅱ两部分，在以下各式中，（）一定成立。ⅠⅡZCC课程练习题

图a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面积。设它们对对称轴x的惯性矩分别为对对称轴y的惯性矩分别为，则（）。C课程练习题图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（）。xyD课程练习题

任意图形的面积为A，x0轴通过形心C，x1

轴和x0轴平行，并相距a，已知图形对x1

轴的惯性矩是I1，则对x0

轴的惯性矩为（）。B课程练习题

设图示截面对y轴和x轴的惯性矩分别为Iy、Ix，则二者的大小关系是（）。B课程练习题

图示任意形状截面，若Oxy轴为