第4章 参数估计

第四章参数估计引例(1/2)：某保健品生产企业以生产瓶装保健品为主，每天的产量约为8000瓶，按规定，每瓶的重量应不低于100g，否则不合格。为对产品质量进行监测，现对产品进行质量检验，质检的内容之一就是每瓶重量是否符合要求。以下为从某天生产保健品中随机抽取的25瓶，表4.1是每瓶重量检测结果。华南理工大学精品课程引例(2/2)

：ＡＢＣＤＥ１25瓶保健品的重量／ｇ２112.5101.0103.0102.0100.5３102.6107.595.0108.8115.6４100.0123.5102.0101.6102.2５116.695.497.8108.6105.0６136.8102.8101.598.493.3表4.1保健品重量检测结果根据表4.1的数据，企业估计出该天生产的保健品每瓶平均质量在101.38-109.34g之间，其中，估计的置信水平为95%，估计误差不超过4g。产品的合格率在73.93%-96.07%之间，其中，估计的置信水平为95%，估计误差不超过16%。2华南理工大学精品课程提出问题该企业是如何根据表4.1的数据进行估计的？Q1Q2Q3如何根据管理层的要求估计总体的方差？3华南理工大学精品课程学习目标了解评价估计量的标准；掌握单个总体和两个总体的参数估计；掌握如何确定样本容量；根据样本统计量推断总体的特征。4华南理工大学精品课程学习内容了解估计量与估计值了解点估计与区间估计理解评价估计量的标准掌握单个总体参数的区间估计掌握两个总体参数的区间估计掌握如何确定样本容量5华南理工大学精品课程第一节参数估计的一般问题4.14.24.34.4具体章节结构第二节

一个总体参数的区间估计第三节两个总体参数的区间估计第四节样本容量的确定6华南理工大学精品课程参数估计在统计方法中的地位7华南理工大学精品课程统计推断的过程样本总体样本统计量如：样本均值、比率、方差总体均值、比率、方差等8华南理工大学精品课程一、估计量与估计值二、点估计与区间估计三、评价估计量的标准第一节参数估计的一般问题9华南理工大学精品课程估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比率、样本方差等；例如:样本均值就是总体均值的一个估计量参数用表示，估计量用表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x

=80，则80就是的估计值一、估计量与估计值10华南理工大学精品课程用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计没有给出估计值接近总体参数程度的信息点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等二、点估计与区间估计11华南理工大学精品课程在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在70～80之间，置信水平是95%

样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限二、点估计与区间估计12华南理工大学精品课程区间估计的图示x95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65x二、点估计与区间估计13华南理工大学精品课程由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间，统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间。用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值。我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间:二、点估计与区间估计14华南理工大学精品课程将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平表示为(1-为是总体参数未在区间内的比率常用的置信水平值有

99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10置信水平:二、点估计与区间估计15华南理工大学精品课程置信区间与置信水平:样本均值的抽样分布(1-)%区间包含了

%的区间未包含1–aa/2a/2二、点估计与区间估计16华南理工大学精品课程影响区间宽度的因素:

1.总体数据的离散程度，用来测度样本容量，2.置信水平(1-)，影响

z的大小二、点估计与区间估计17华南理工大学精品课程无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数P(

)BA无偏有偏三、评价估计量的标准18华南理工大学精品课程有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效

AB的抽样分布的抽样分布P(

)三、评价估计量的标准19华南理工大学精品课程一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)三、评价估计量的标准20华南理工大学精品课程一、总体均值的区间估计二、总体比率的区间估计三、总体方差的区间估计第二节一个总体参数的区间估计21华南理工大学精品课程

1.假定条件总体服从正态分布,且方差(２)

未知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n

30)使用正态分布统计量z2.总体均值在1-置信水平下的置信区间为一、总体均值的区间估计（大样本）22华南理工大学精品课程【例】一家饮料制造企业以生产某种盒装饮料为主，为对饮料质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，其中一项检查就是分析每盒饮料的净含量是否符合要求。现从某天生产的一批饮料中随机抽取了25盒，测得每盒净含量如下表所示。已知产品净含量的分布服从正态分布，且总体标准差为10ml。试估计该批饮料平均净含量的置信区间，置信水平为95%25盒饮料的净含量1120.51010.01030.01020.01000.51020.61070.5

950.01080.81150.61000.01230.51020.01010.61020.21160.6

950.4

970.81080.61050.01360.81020.81010.5

980.4

930.3一、总体均值的区间估计（大样本）23华南理工大学精品课程解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：

总体均值在1-置信水平下的置信区间为该饮料平均重量的置信区间为1010.44g~1090.28g一、总体均值的区间估计（大样本）24华南理工大学精品课程【例】某家公司需要对其某项业务的客户群年龄进行调查，因此收集了由36名该业务的客户组成的随机样本，得到每个客户的年龄(周岁)数据如下表。试建立该客户群年龄90%的置信区间36个客户年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532一、总体均值的区间估计（大样本）25华南理工大学精品课程解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：

总体均值在1-置信水平下的置信区间为该项业务客户群平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁一、总体均值的区间估计（大样本）26华南理工大学精品课程

1. 假定条件总体服从正态分布,且方差(２)

未知小样本

(n<30)使用t

分布统计量2.总体均值在1-置信水平下的置信区间为一、总体均值的区间估计（小样本）27华南理工大学精品课程

t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt

分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)z一、总体均值的区间估计（小样本）28华南理工大学精品课程【例】已知某种电子元件的寿命服从正态分布，现从一批电子元件中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批电子元件平均使用寿命95%的置信区间16个电子元件使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470一、总体均值的区间估计（小样本）29华南理工大学精品课程解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131

根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为该种电子元件平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时一、总体均值的区间估计（小样本）30华南理工大学精品课程1. 假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量z2.总体比率在1-置信水平下的置信区间为二、总体比率的区间估计31华南理工大学精品课程【例】某城市想要估计高校教职工中女性所占的比率，随机地抽取了100名高校教职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市高校教职工中女性比率的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96该城市高校教职工中女性比率的置信区间为55.65%~74.35%

二、总体比率的区间估计32华南理工大学精品课程1. 估计一个总体的方差或标准差2. 假设总体服从正态分布总体方差

2

的点估计量为s2,且3.总体方差在1-置信水平下的置信区间为三、总体方差的区间估计33华南理工大学精品课程221-2总体方差1-的置信区间自由度为n-1的2分布三、总体方差的区间估计（图示）34华南理工大学精品课程【例】某小学打算对某年级的学生身高进行测量，现从该年级随机选取了25名学生，测得每位学生身高如下表所示。已知学生身高的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种年级学生身高方差的置信区间。25名学生的身高(cm)112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3三、总体方差的区间估计35华南理工大学精品课程解:已知n＝25，1-＝95%,根据样本数据计算得

s2=93.21

2置信度为95%的置信区间为

该年纪的学生总体身高标准差的的置信区间为7.54cm~13.43cm三、总体方差的区间估计36华南理工大学精品课程一、两个总体均值之差的区间估计二、两个总体比率之差的区间估计三、两个总体方差比的区间估计第三节两个总体参数的区间估计37华南理工大学精品课程总体参数符号表示样本统计量均值之差比率之差方差比一、两个总体均值之差的区间估计38华南理工大学精品课程1.假定条件两个总体都服从正态分布，1２、2２已知若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n130和n230)两个样本是独立的随机样本2.使用正态分布统计量z一、两个总体均值之差的区间估计（大样本）39华南理工大学精品课程

3.1２，2２已知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为

4.1２，2２未知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为一、两个总体均值之差的区间估计（大样本）40华南理工大学精品课程【例】某市教育局想估计该市两所中学的学生高考时的数学平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如右表。建立两所中学高考数学平均分数之差95%的置信区间

两个样本的有关数据

中学1中学2n1=46n1=33S1=5.8S2=7.2一、两个总体均值之差的区间估计（大样本）41华南理工大学精品课程解:两个总体均值之差在1-置信水平下的置信区间为两所中学高考数学平均分数之差的置信区间为5.03分~10.97分一、两个总体均值之差的区间估计（大样本）42华南理工大学精品课程1.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：1２=2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)总体方差的合并估计量2.估计量x1-x2的抽样标准差一、两个总体均值之差的估计(小样本:12=22

)43华南理工大学精品课程两个样本均值之差的标准化两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为一、两个总体均值之差的估计(小样本:12=22

)44华南理工大学精品课程【例】为估计运用两种不同算法实现某模型所需计算时间的差异，分别对该两种算法各计算12次，每次计算所需的时间（分钟）下如表。假定两种算法进行计算所需的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种算法计算所需平均时间差值的置信区间两种算法计算所需的时间算法1算法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.521一、两个总体均值之差的估计(小样本:12=22

)45华南理工大学精品课程解:根据样本数据计算得合并估计量为：两种方法计算所需平均时间之差的置信区间为0.14分钟~7.26分钟一、两个总体均值之差的估计(小样本:12=22

)46华南理工大学精品课程一、两个总体均值之差的估计(小样本:1222

)1.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知且不相等：1２2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)2.使用统计量47华南理工大学精品课程3.两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为自由度一、两个总体均值之差的估计(小样本:12=22

)48华南理工大学精品课程【例】沿用前例。假定第一种算法随机计算12次，第二种算法计算8次，即n1=12，n2=8，所得的有关数据如表。假定两种算法计算所需的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种算法计算所需平均时间差值的置信区间两种算法计算所需的时间算法1算法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.221一、两个总体均值之差的估计(小样本:12=22

)49华南理工大学精品课程解:根据样本数据计算得自由度为：两种算法计算所需平均时间之差的置信区间为0.192分钟~9.058分钟一、两个总体均值之差的估计(小样本:12=22

)50华南理工大学精品课程1.假定条件两个匹配的大样本(n130和n230)两个总体各观察值的配对差服从正态分布2.两个总体均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信区间为对应差值的均值对应差值的标准差一、两个总体均值之差的估计(匹配大样本)51华南理工大学精品课程3.假定条件两个匹配的大样本(n1<30和n2<30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布

4.两个总体均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信区间为一、两个总体均值之差的估计(匹配大样本)52华南理工大学精品课程【例】由10名评委组成一个评估团，分别采用对A和B两所中学的教学质量进行评估，评估结果如下表。试建立两所中学评估分数之差d=1-2

95%的置信区间

10名评委对两所中学的评分评委编号中学A中学B差值d17871726344193726111489845691741754951-27685513876601698577810553916一、两个总体均值之差的估计(匹配大样本)53华南理工大学精品课程解:根据样本数据计算得两所学校所得到的分数之差的置信区间为6.33分~15.67分一、两个总体均值之差的估计(匹配大样本)54华南理工大学精品课程1.假定条件两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似两个样本是独立的2.两个总体比率之差1-2在1-置信水平下的置信区间为二、两个总体比率之差的区间估计55华南理工大学精品课程【例】在企业在对其生产产品的知名度调查中，在农村随机调查了400人，其中32%的人听说过该产品；城市随机调查了500人，其中45%的人听说过该产品。试以90%的置信水平估计该产品知名度在城市与农村差别的置信区间。二、两个总体比率之差的区间估计56华南理工大学精品课程解:已知

n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，

1-=95%，z/2=1.96

1-2置信度为95%的置信区间为城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%~19.32%二、两个总体比率之差的区间估计57华南理工大学精品课程三、两个总体方差比的区间估计

1.比较两个总体的方差比用两个样本的方差比来判断如果S12/S22接近于1,说明两个总体方差很接近如果S12/S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异2.总体方差比在1-置信水平下的置信区间为58华南理工大学精品课程FF1-F总体方差比1-的置信区间方差比置信区间示意图三、两个总体方差比的区间估计（图示）59华南理工大学精品课程【例】工商管理学院为了研究该院男女学生每年在书籍购买上花费的差异，在某年纪各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果：男学生：女学生：试以90%置信水平估计男女学生每年购买书籍花费方差比的置信区间三、两个总体方差比的区间估计60华南理工大学精品课程解:根据自由度

n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得F/2(24)=1.98，F1-/2(24)=1/1.98=0.50512/22置信度为90%的置信区间为该学院男女学生每年购买书籍花费金额方差比的置信区间为0.47~1.84

三、两个总体方差比的区间估计61华南理工大学精品课程一、估计总体均值时样本容量的确定二、估计总体比率时样本容量的确定三、估计总体均值之差时样本容量的确定四、估计总体比率之差时样本容量的确定第四节样本容量的确定62华南理工大学精品课程估计总体均值时样本容量n为样本容量n与总体方差2、允许误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与允许误差成反比与可靠性系数成正比一、估计总体均值时样本容量的确定其中：63华南理工大学精品课程【例】拥有工商管理学士学位的硕士毕业生年薪的标准差大约为5000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望允许误差为800元，应抽取多大的样本容量？一、估计总体均值时样本容量的确定

64华南理工大学精品课程解:已知=5000，E=800,1-=95%，z/2=1.96

应抽取的样本容量为即应抽取150人作为样本一、估计总体均值时样本容量的确定

65华南理工大学精品课程1.根据比率区间估计公式可得样本容量n为二、估计总体比率时样本容量的确定

E的取值一般小于0.1

未知时，可取最大值0.5其中：66华南理工大学精品课程【例】根据以往的统计，某地天气预报的准确率为90%，现要求允许误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少次天气预报结果作为样本？解:已知=90%，=0.05，z/2=1.96，E=5%应抽取的样本容量为应抽取139此天气预报结果作为样本。二、估计总体比率时样本容量的确定

67华南理工大学精品课程设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为三、估计两个总体均值之差时样本容量的确定其中：68华南理工大学精品课程【例】某城市教育局想要估计该市重点高中和非重点高中两所中学数学高考成绩平均分数差值的置信区间。要求置信水平为95%，预先估计两所高中数学考试分数的方差分别为：非重点高中12=90，重点高中22=120。如果要求估计的误差范围(允许误差)不超过5分，在两所中学应分别抽取多少名学生进行调查？三、估计两个总体均值之差时样本容量的确定

69华南理工大学精品课程解:已知12=90，22=120，E=5,1-=95%，z/2=1.96即应抽取33人作为样本三、估计两个总体均值之差时样本容量的确定

70华南理工大学精品课程设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2根据比率之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为四、估计两个总体比率之差时样本容量的确定其中：71华南理工大学精品课程【例】某市交通管理部门想