流体力学第9章

流体力学暖通教研室二00二年十一月主讲：周传辉1第九章一元气体动力学基础§9－1理想气体一元恒定流动的运动方程§9－2音速、滞止参数、马赫数§9－3气体一元恒定流动的连续性方程§9－4等温管路中的流动§9－5绝热管路中的流动2§9－1理想气体一元恒定流动的运动方程从微元流束中沿轴线s任取ds一段，应用理想流体欧拉运动微分方程，单位质量力s方向分力以S表示，由牛顿第二定律得：对于恒定一元流动对气体而言,它的容重一般都很小,因此当质量力仅为重力时,往往可以忽略质量力去掉角标，可以写成：即：整理得：欧拉运动微分方程3§9－1理想气体一元恒定流动的运动方程一、气体一元定容流动在元流中任取两个断面，有：二、气体一元等温流动再把c＝RT代入，有4§9－1理想气体一元恒定流动的运动方程三、气体一元绝热流动等熵流动就是理想气体的绝热流动满足:k为绝热指数因此：代入欧拉运动微分方程，得：对任意两个断面：5§9－1理想气体一元恒定流动的运动方程把（a）式作一个变化单位质量气体所具有的内能u。证明：从热力学第一定律可知，对于理想气体，有：又由：以及代入上式可得该式表明：在等熵流动中，沿流任意断面上，单位质量气体的内能、压能、动能之和为一常数。6§9－1理想气体一元恒定流动的运动方程在热力学中，为焓，用焓表示的全能方程为：把焓与定压比热的关系代入，得：在热力学中绝热指数取决于气体的分子结构，一般计算时可以用：空气，k＝1.4，干饱和蒸气，k＝1.135，过热蒸气，k＝1.33。对任意两个断面：n为多变指数，包含:等温（n＝1）、绝热（n＝k）和定容（n＝±∞）的过程。(h=u+pv)对于多变过程：7§9－1理想气体一元恒定流动的运动方程多变过程等熵流动定容流动等温流动8§9－2音速、滞止参数、马赫数一、音速（SpeedofSound）音速：微小扰动在流体中的传播速度。也就是声音在流体中的传播速度。流体中的某个地方受到外力的作用使其压力发生变化，我们称为压力扰动，压力扰动会产生压力波，向四周传播，这个压力波的传播速度，对不同的流体是不同的，即流体的性质不同，密度、压缩性等不同，传播速度也就不同。比如：在15℃，1atm下的音速氢气：1294m/s空气：340m/sCO2：266m/s水：1490m/s钢：5060m/s冰：3200m/s推导音速的计算式：取一段带有活塞的等截面直圆管，里面充满静止的可压缩气体，活塞在外力的作用下，产生一个微小的速度dv向右移动，这样就产生一个微小扰动的平面压缩波向介质内部传播。声速动画9§9－2音速、滞止参数、马赫数在波峰的前面是没有被扰动的流体（即静止状态），波峰后面是被扰动的流体，它的压强、密度都要发生变化，由于被压缩,因此变为：p＋dp，ρ＋dρ。把坐标系固定在波峰上，取一个包含波峰的控制体，并且这个控制体的两个侧面无限接近，使控制体的体积趋于0。气体的压缩波的厚度，在大气压下约为10-6m的量级，所以这样取控制体是合理的。设管道截面积为A，对控制体写出连续性方程，展开略去二阶小量。得；对控制体列动量方程，由于控制体的体积趋近于0，质量力为0，且可忽略切应力的作用，考虑质量流量守恒，有：10§9－2音速、滞止参数、马赫数同连续性方程联立，消掉dv，得音速方程为：这就是微小扰动的平面波－音速计算公式，同样适用于球面波。也适用于液体。弹性模量和压缩系数的关系：代入上式，得：由于声音的传播速度很快，在传播过程中来不及与外界进行热量交换，而且切应力的作用可以忽略，即无能量损失，所以可以认为这个传播过程是等熵绝热过程代入音速的微分式，得：11§9－2音速、滞止参数、马赫数二、滞止参数（StagnationProperties）滞止即为停止，因此，滞止参数是在气流的某截面处，设想其速度无摩擦绝热地降为0时，这个截面上的各种参数我们称为滞止参数，一般用下标0表示。常用的有：滞止压强、密度、温度、焓、音速。称为滞止音速。在实际工程上，为了分析和计算流动问题方便起见，常使用滞止参数这个概念，而且由于它比较容易测量，所以滞止参数得到广泛的应用。用温度计测气流的温度，有没有误差，如果有是偏大还是偏小？12在滞止状态下气流的动能全部转变为热能，可以用滞止焓表示之，它表示单位质量的气流所具有的总能量，称为总焓。有：上式表明，滞止温度要比气流的温度T高出，对于Cp=1005J/（kg·K）的空气，则高出例如速度为100m/s的空气流，滞止温度超过气流的温度约5K，也即约5℃。可见，将一个带小玻璃球的普通水银温度计或热电偶温度计放在气流中来测量气流的温度，读出的温度比气流的温度T要高。但小玻璃球上驻点处的温度虽达到滞止温度，但其上的其他各点的温度升高要小一些，所以普通水银温度计上读出的平均温度比滞止温度稍低一些。因此用任何静止温度计都不能直接测得气流的真实温度了，只有用与气流同样速度运动的温度计才能直接测得。13§9－2音速、滞止参数、马赫数结论：在有摩擦的绝热气流中，各断面的滞止温度、滞止焓、滞止音速值不变，表示总能量不变，但因为摩阻消耗掉的一部分能量转化为热能，使滞止压强P0沿程降低。在有摩擦的等温气流中，由于气流与外界不断交换热量，使滞止温度T0沿程变化。a.等熵流动中，各断面滞止参数不变，其中T0、i0、c0反映了包括热能在内的气流全部能量。b.等熵流动中，若流速沿程增大，则气流温度、焓、音速沿程降低。c.同一气流中当地音速c永远小于滞止音速。气流中最大音速是滞止音速。14§9－2音速、滞止参数、马赫数三、马赫数（Machnumber）气流截面上的当地速度与当地音速之比是马赫数。马赫数反映的是气体流动过程中的压缩性能，马赫数越大、压缩性越大。马赫数是气体动力学中一个很重要得无因次性能参数，它反映的是惯性力与弹性力的相对比值，是确定气体流动状态的准数。M>1,v>c，超音速M=1,v=c，音速（跨音速）M<1,v<c，亚音速由作一变形可得：利用绝热过程方程式以及气体状态方程可以得到：15微弱扰动波在超声速气流中的传播是有界的，界限就是马赫锥（超音速飞机、子弹等）16§9－2音速、滞止参数、马赫数四、气流按不可压缩处理的极限可压和不可压两种情况下的滞止压强，当相对误差小于1%时，M等于多少？可压缩：不可压缩：把第一式按二项式定理展开，取前三项，有又因为代入上式，得：二项式展开:17§9－2音速、滞止参数、马赫数如果令为绝对误差，则称为相对误差，则当相对误差小于1％时，有：即：当M<0.2时，可以保证相对误差小于1％，工程上一般认为M≤0.2时可以忽略气体的压缩性。作业：9-12；9-1718§9－3气体一元恒定流动的连续性方程一、连续性微分方程(EquationofContinuity)可压缩流的连续性方程：ρvA＝常数对管流任意两断面：如果我们对连续性方程取微分：得：同联立，消去ρ，再用整理，得：19§9－3气体一元恒定流动的连续性方程二、气流速度与断面的关系（1）亚音速时：dv与dA成反比，速度随断面的增大而减小；随断面的减小而增大。同不可压缩流动的一样。（2）超音速时：dv与dA成正比，速度随断面的增大而增大；随断面的减小而减小。同不可压缩流动的不一样。为什么超音速流动的运动规律同亚音速的不同呢？从可压缩流体在两种流动中的膨胀程度与速度变化之间的关系来说明由代入可得：表明速度增加，密度减小。20§9－3气体一元恒定流动的连续性方程当M<1时，M2远远小于1，即密度的变化远远小于速度的变化，速度增加的快，密度减小的慢，气体的膨胀程度不显著。因此ρv的乘积随v的增大而增加。若速度增加，则ρv增加，由连续性方程可知ρ1v1A1＝ρ2v2A2，A1>A2.当M>1时，M2远远大于1，即密度的变化远远大于速度的变化，速度增加的较慢，密度减小的很快，气体的膨胀程度非常显著。说明密度的相对变化的特征，在亚音速与超音速流动中的存在根本差别。因此ρv的乘积随v的增大而减小。若速度增加，则ρv减小，由连续性方程可知ρ1v1A1＝ρ2v2A2，A1<A2，即超音速气流中速度随断面的增大而增大。当M＝1时，气流的速度等于当地音速，这时的气体处于临界状态。气体达到临界状态的断面，称为临界断面。临界断面的参数称为临界参数，用下脚标“k”表示包括：vk,ck,pk,Tk,ρk.临界断面的M＝1，密度的相对变化与速度的相对变化相等，断面不需要变化。21§9－3气体一元恒定流动的运动方程流向面积(A)流速(v)压力(p)密度(ρ)单位面积质量流量(ρv)亚音速流M<1增大减小增大增大减小减小增大减小减小增大超音速流M>1增大增大减小减小减小减小减小增大增大增大22§9－4等温管路中的流动(IsothermalFlow)一、气体管路运动微分方程微元段dl上单位质量气体的摩擦损失为：把这个式子代入到理想流体一元流动的微分方程中，即加上损失项，得：λ为沿程阻力系数，与Re与管子的相对粗糙度Δ/D有关。对于等温管流：(1)D是常数，管材一定，则相对粗糙度也一定；(2)μ是温度的函数，等温管流，温度不变，μ也不变；(3)等截面管道，A为常数，由连续性方程可知，ρv＝常数。由此可得，为常数，即管道上任意断面的Re数都相等。可得λ也沿程不变。23§9－4等温管路中的流动二、管中等温流动由连续性方程以及截面相等的条件可得：对于等温流动的气体，我们可以认为是理想气体由此可得：得：代入，对管长积分，得：24§9－4等温管路中的流动有：由等温时：得：这就是等温管路的基本公式把连续性方程和质量流量的计算公式代入该式，可得：质量流量：大压差公式25§9－4等温管路中的流动三、等温管路的特征气体管路运动微分方程：通除P/ρ，得：理想气体状态方程的微分式：连续性方程的微分式，dA＝0，比较二式，可得：26§9－4等温管路中的流动由音速公式得：压强的变化关系式为：27结论

kM2<1v增加，p减小。kM2>1v减小，p增加。变化率随摩阻的增大而增大。(2)kM2<1时，摩阻沿程增加，使流速不断增加，但是1－kM2不可能等于0，而使流速变为无穷大，所以管路出口断面上的马赫数不能超过，只能是(3)在M＝的l处求得的管长就是等温管流的最大管长，如果实际管长

超过最大管长，将使得进口断面流速受到阻滞。§9－4等温管路中的流动28§9－5绝热管路中的流动(IsentropicFlow)一、绝热管路运动方程由于绝热流动温度会沿程升高，因此λ沿程是变化的。作为比较准确的计算，可以取平均值，即沿程平均：用等熵绝热过程的方程式来进行近似计算再把质量流量的计算式代入上式，并用v2通除之。得：29§9－5绝热管路中的流动同样忽略对数项，得：这就是有摩擦阻力的绝热管流的基本方程。将此时对L管长的两个断面进行积分，可得：30§9－5绝热管路中的流动二、绝热管路的特性等熵过程方程式：等温过程特性：31§9－5绝热管路中的流动结论：(1)当L增加，摩阻增加时，有：M<1v增加，p减小。M>1v减小，p增加。变化率随摩阻的增大而增大。(2)M<1时，摩阻沿程增加，使流速不断增加，但是在管流中间绝不会出现临界断面，只有出口断面可能会出现临界断面，所以管路出口断面上的马赫数M2≤1。可以用（9－5－6）来证明。(3)在M=1的l处求得的管长就是等温管流的最大管长，如果实际管长超过最大管长，将使得进口断面流速受到阻滞。32实际管流常常是非等熵流，典型例子是具有摩擦但不计热交换的范诺（Fanno）流动，和具有热交换但不计摩擦的瑞利（Reyleight）流动。

(1)

有摩擦的绝热流与等熵流不同，无论是亚音速还是超声速流，由于摩擦的作用流动沿程熵值增加；(2)

摩擦使亚声速流（Ma<1）加速，但最多达到声速，且温度、压强、密度均降低，总压也降低；(3)

摩擦使超声速流（Ma>1）减速，但最小也只能达到声速，且温度、压强、密度增大，总压仍降低。对亚声速流（Ma<1），加热（dq>0）将引起流动加速（dV>0），但最多加速到Ma=1；对超声速流（Ma>1），冷却(dq<0)将引起流动进一步加速（dV>0）

瑞利（Reyleight）流动范诺（Fanno）流动加热造成壅塞现象对于无摩擦截面管流，加热促使气流趋向临界状态，过多的加热将造成壅塞现象。这是因为在临界状态时，气流已达最大流量，继续加热使总压进一步下降，原来的流量就通不过了造成壅塞。对亚声速流，壅塞造成的影响与绝热摩擦管流动相似，压强扰动逆向传至进口截面，造成溢流，使进口流量减小；对超声速流，壅塞在管中产生激波，使总压损失更大，激波向上游推移，这个过程直至进口截面前才停止。超声速气流先通过激波，变成亚声速流，然后再造成溢流，减小流量，才能通过管道。

摩擦造成壅塞现象对绝热摩擦等截面管流存在一个最大长度Lmax，使气流在该处达到声速，当实际管长

L>Lmax时将发生壅塞现象。这是因为在Lmax处气流已达声速，流量达最大值，L－Lmax管段的摩擦作用使气流总压进一步下降，原来的流量此时不能再通过，因此壅塞。对亚声速流，壅塞造成的压强扰动可向上游传播至入口，使入口处发生溢流，流量减小，直至出口截面正